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1、优秀学习资料 欢迎下载 第三章 整式及其加减 知识点 一、字母表示数 1、字母可以表示任何数，用字母表示数的运算律和公式法则；1 加法交换律abba 加法结合律abca（bc）2 乘法交换律abba 乘法结合律（ab）ca（bc）乘法分配律a（bc）abac 用字母表示计算公式：1 长方形的周长 2（ab）,面积ab （a、b分别为长、宽）2 正方形的周长 4a，面积a2（a表示边长）3 长方体的体积abc，表面积 2ab2bc2ac（a、b、c分别为长、宽、高）4 正方体的体积a3,表面积 6a2（a表示棱长）5 圆的周长 2r,面积r2（r为半径）6 三角形的面积21ah（a表示底边长，h
2、表示底边上的高）2、在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。3、用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。4、注意书写格式的规范：(1)表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；(2)数和字母相乘时，数字应写在字母前面；(3)带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；(4)除法运算写成分数形式，分数线具“”号和“括号”的双重作用。(5)在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。典型例题：例题 1.有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长
3、度，先称出这捆钢筋的总质量为 m 千克，再从中截取 5 米长的钢筋，称出它的质量为 n 千克，那么这捆钢筋的总长度为（）米 A、mn B、mn5 C、5m5 D、(5mn 5)例题 2.用代数式表示“2a与 3 的差”为（）A2a3 B32a C2（a3）D2（3a）例题 3.如图 131，轴上点 A 所表示的是实数 a，则到原点的距离是（）A、a Ba Ca D|a|例题 4.已知 a=120 x+20，b=120 x+19，c=120 x+21，那么代数式 a2+b2+c2abbcac 的值为（）A、4 B、3 C、2 D、1 练习：1、温度由t下降 3后是_.2、飞机每小时飞行a千米，火
4、车每小时行驶b千米，飞机的速度是火车速度的_倍.优秀学习资料 欢迎下载 3、无论a取什么数，下列算式中有意义的是（）A.11a B.a1 C.121a D.121a 4、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的 3 倍还多 2，那么全班同学数为（）A.23aa B.)23(aa C.23 aa D.)2(3aa 5、轮船在 A、B 两地间航行，水流速度为m千米时，船在静水中的速度为n千米时，则轮船逆流航行的速度为_千米时 6、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为x元的商品，甲超市连续两次降价 20%，乙超市一次性降价 40%，丙超市第一次降价 30%，第二次降价 10%，
5、此时顾客要想购买这种商品最划算，应到的超市是（）（A）甲 （B）乙 （C）丙 （D）乙或丙 7、下列说法中：a一定是负数；|a一定是正数；若0abc，则cba、三个有理数中负因数的个数是 0或 2，其中正确的序号是 8、设三个连续整数的中间一个数是n,则它们三个数的和是 9、设三个连续奇数的中间一个数是x,则它们三个数的和是 10、设n为自然数，则奇数表示为 ；偶数表示为 ；能被 5 整除的数为 ；被 4 除余 3 的数为 二、代数式 1、代数式：用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。如：n-2、0.8a、2n+500、abc、2ab+2bc+2ac（单独一个数或一个字母也是代数式）
6、注意：列代数式时，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用 表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。例：下列不是代数式的是（）0.A .sBt 1.Cx 20.1.Dxy 2、单项式：表示数与字母的积的代数式叫单项式。单独一个数或一个字母也是单项式。其中的数字因数（连同符号）叫单项式的系数，所有的字母的指数的和叫单项式的次数。注意：书写时，系数是 1 的时候可省略；是数字，不是字母。例：2ab的系数是 ；如2x的系数是 ；如212x的系数是 ；3、多项式：几个单项式的和叫多项式，次数最高项的次数叫做这个多项式的次数。每个单项式称为项。例：代数式251xyxx 有 项
7、，第二项的系数是 ，第三项的系数是 ，第四项的系数是 4、单项式多项式统称为整式。练习：1、某商品售价为a元，打八折后又降价 20 元，则现价为_ 元 2、橘子每千克a元，买 10kg以上可享受九折优惠，则买 20 千克应付_元钱.3、如图，图 1需 4 根火柴，图 2 需_ 根火柴，图 3 需_ 根火柴，图n需_ 根火柴。正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 （图 1）（图 2）（图 n）4、温度由t下降 3后是_.5、飞
8、机每小时飞行a千米，火车每小时行驶b千米，飞机的速度是火车速度的_倍.6、无论a取什么数，下列算式中有意义的是（）A.11a B.a1 C.121a D.121a 7、全班同学排成长方形长队，每排的同学数为a，排数比每排同学数的 3 倍还多 2，那么全班同学数为（）A.23aa B.)23(aa C.23 aa D.)2(3aa 8、填空23x y的系数为_，次数为_：232ab的次数为_；2ab的系数是 ；2x的系数是 ；212x的系数是 ；代数式251xyxx 有 项，第二项的系数是 ，第三项的系数是 ，第四项的系数是 9、下列不是代数式的是（）0.A .sBt 1.Cx 20.1.Dxy
9、 三、合并同类项 1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。注意:两个相同:字母相同；相同字母的指数相同.两个无关:与系数无关;与字母顺序无关.如：100a 和 200a，240b 和 60b，-2ab 和 10ba 2、合并同类项法则：（1）写出代数式的每一项连同符号，在其中找出同类项的项；（2）合并同类项：同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数不变.（3）不同种的同类项间，用“+”号连接（4）没有同类项的项，连同前面的符号一起照抄 如：合并同类项 3x2y 和 5x2y，字母 x、y 及 x、y 的指数都不变，只要将它们的系数 3 和 5 相加，即
10、3x2y+5x2y=（3+5）x2y=8x2y 3合并同类项的步骤：（1）准确的找出同类项（2）运用加法交换律，把同类项交换位置后结合在一起（3）利用法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变（4）写出合并后的结果 4.注意:（1）不是同类项不能合并（2）求代数式的值时,如果代数式中含有同类项,通常先合并同类项再代入数值进行计算.例 1.判断下列各组中的两个项是不是同类项：（1）23a2b 和-57a2 b （2）2m2 np 和-pm2n (3)0 和-1 例 2.下列各组中：xyyx5152与；22515yxyx与；22515yxax 与；338x与；2x与212x；23x与x23x与
11、2，同类项有 （填序号）例 3.如果13xky 与13x2y 是同类项，则 k=_，13xky+（-13x2y）=_ 例 4直接写出下列各式的结果：（1）-12xy+12xy=_；（2）7a2b+2a2b=_；（3）-x-3x+2x=_；正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载（4）x2y-12x2y-13x2y=_；（5）3xy2-7xy2=_ 例 5合并下列多项式中的同类项（1）4x2y-8xy2+7-4x2y+10 xy2
12、-4；（2）a2-2ab+b2+a2+2ab+b2 （3）223561xxx （4）222226245xyxx yyxx 例 6.若0,0 xy，22102xyaxy，则a 练习：1、单项式22bax与yba3是同类项，则x ，y 2、下列各组中：xyyx5152与；22515yxyx与；22515yxax 与；338x与；2x与212x；23x与x23x与2，同类项有 （填序号）3、合并同类项：223561xxx 222226245xyxx yyxx 4、若0,0 xy，22102xyaxy，则a 四、去括号法则 1.去括号法则：（1）括号前是“+”号，把括号和前面的“+”号去掉，括号里的各
13、项的符号都不改变。（2）括号前是“”号，把括号和前面的“”号去掉，括号里的各项的符号都要改变。2.去括号法则中乘法分配律的应用：若括号前有因式，应先利用乘法分配律展开，同时注意去括号时符号的变化规律。3.多重括号的化简原则（1）由里向外逐层去掉括号（2）由外向里逐层去掉括号 例 1、一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这个两位数是 例 2、去括号，合并同类项（1）3（2s 5）+6s (2)3x 5x（12x4）（3）6a24ab 4(2a2+12ab)（4）)6(4)2(322xyxxyx（5）()()xyxy （6）2()3()2mnmxx （7）)35(13222
14、xxxx （8）)21(4)3212(22aaaa （9）)2(2)35(babaa （10）mnmnnmnm2222612131 练习：正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 1、化简：()()xyxy 2()3()2mnmxx 2、一个两位数，十位数字是x，个位数字比十位数字 2 倍少 3，这个两位数是 3、化简：(1)35(13222xxxx (2)21(4)3212(22aaaa (3)2(2)35(babaa (4)
15、mnmnnmnm2222612131 五、代数式求值 先化简，再求值 代数式求值 1）、用具体的数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算，所得的结果是代数式的值。2）求代数式的值时应注意以下问题:（1）严格按求值的步骤和格式去做（2）一个代数式中的同一个字母，只能用同一个数值代替，若有多个字母，代入时要注意对应关系，千万不能混淆（3）在代入值时，原来省略的乘号要恢复，而数字和其他运算符号不变（4）字母取负数代入时要添括号（5）有乘方运算时，如果代入的数是分数或负数，要加括号 例 1 当 x=13，y=-3 时，求下列代数式的值:（1）3x2-2y2+1；（2）2()1xyxy 例 2
16、当2x 时，求代数式5(41)xx的值 例 3 已知ba，互为倒数，nm，互为相反数，求代数式2(223)mnab的值 例 4 化简，求值：1)32(36922babbab，其中21a，1b )3123()31(22122yxyxx,其中32,2yx 经典例题 例题 1.若 abx与 ayb2是同类项，下列结论正确的是（）AX2，y=1 BX=0，y=0 CX2，y=0 D、X=1，y=1 例题 2.2x x 等于（）Ax Bx C3x D3x 例题 3.x（2x y）的运算结果是（）Ax+y Bxy Cxy D3x y 练习：1、当2x 时，求代数式5(41)xx的值 正方形的周长面积表示边
17、长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 2、已知ba，互为倒数，nm，互为相反数，求代数式2(223)mnab的值 3、已知32 nm,求733mn的值。4、化简，求值：1)32(36922babbab，其中21a，1b )3123()31(22122yxyxx,其中32,2yx 5、已知2221Ax yxy，22121,2,2Bx yxyxy ，求2AB 六、探索规律列代数式 例题 1.观察下列数表：根据数表所反映的规律，猜想第 6 行与第 6
18、列的交叉点上的数应为_，第 n 行与第 n 列交叉点上的数应为_（用含有 n 的代数式表示，n 为正整数）例题 2.观察下列各等式：（1）以上各等式都有一个共同的特征：某两个实数的一等于这两个实数的_；如果等号左边的第一个实 数 用 x表 示，第 二 个 实 数 用 y 表 示，那 么 这 些 等 式 的 共 同 特 征 可 用 含 x，y 的 等 式 表 示 为_.（2）将以上等式变形，用含 y 的代数式表示 x 为_；（3）请你再找出一组满足以上特征的两个实数，并写出等式形式：_ 例题 3.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分如图 133 所示，则这串珠子被盒子遮住的部分
19、有_ 颗 综合练习题 1、代数式xy21的系数是_.2、ab2的系数为 正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 3、化简：yyyy536222=_ 4、下列各题中，去括号正确的是（）A.cbaacbaa232)23(222 B.1253)125(3cbacba C.123)123(yxayxa D.22)2()2(cbacba 5、cba32 的相反数是（）A.cba32 B.cba32 C.cba32 D.cba32 6、计
20、算：)104(3)72(5yxyx 7、计算 54321132 8、计算()()()22116224 9、长方形的一边长为ba23，另一边比它大ba，求这个长方形的周长。10、（1）当11ab，时，分别求代数式 222baba；2)(ba 的值.（2）当1123ab，时，分别求代数式 222baba；2)(ba 的值.（3）观察（1）（2）中代数式的值，222baba与2)(ba 有何关系？（4）利用你发现的规律，求227.357.357.13527.135的值.整式的加减单元检测题(时间:120 分钟 满分:150 分)一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）1.下
21、列各式中，不是整式的是 （）A3a B.2x=1 C.0 D.x+y 2.下列各式中，书写格式正确的是 （）A421 B.3 2y C.xy3 D.ab ()3.用整式表示“比 a 的平方的一半小 1 的数”是 （）A.(21a)2 B.21a21 C.21（a1）2 D.（21a1）2 （）4.在整式 5abc，7x2+1,52x，2131，24yx 中，单项式共有 （）正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 A.1 个 B
22、.2 个 C.3 个 D.4 个 （）5.已知 15mxn 和92m2n 是同类项，则24x+4x1的值为 （）A.1 B.3 C.8x3 D.13 （）6.已知x+3y5，则 5（x3y）28（x3y）5 的值为 （）A.80 B.170 C.160 D.60 （）7.下列整式的运算中，结果正确的是 （）A.3+x3x B.y+y+y=y3 C.6abab=6 D.41st+0.25st=0 （）8.将多项式 3x2yxy2+x3y3x4y41 按字母 x 的降幂排列，所得结果是（）A.1xy2+3x2y+x3y3x4y4 B.x4y4+x3y3+3 x2yx y21 C.x4y4+x3y3
23、xy2+3x2y1 D.1+3 x2yx y2+x3y3x4y4 9.已知 ab,那么 ab 和它的相反数的差的绝对值是 （）A.ba B.2b2a C.2a D.2b 10.下列说法错误的是 （）A.xy 的系数是1 B.3x32x2y223y3 C.当 a2b 时，2a+b+2a2b=5b D.多项式8)1(32x中 x2的系数是3 二、填空题：（本大题 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）11.3ab2c3的系数是 ，次数是 12.多项式 1+a+b4a2b 是 次 项式.13.把多项式 2xy2x2yx3y37 按 x 的升幂排列是 14.设 a、b 表示两数，则两数的平方和是
24、 ，两数和的平方是 15.若三个连续奇数中间一个是 2n+1(n0 的整数)，则这三个连续奇数的和为 16.化简 3a2b3（a2bab2）3ab2=17.一个多项式加上2+xx2得到 x21，则这个多项式是 正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 18.m、n 互为相反数，则（3m2n）（2m3n）=19.如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第 n 个图案中灰色瓷砖块数为 20.若 3a1nb2与21a3b3m的和仍是单项式
25、，则 m=,n=三、解答题：（本大题 8 个小题，每小题 10 分，共 80 分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。21.（10 分）计算：（1）（m+2n）（m2n）;(2)2(x 3)（x+4）22.(10 分)计算：（1）2x3(x2y+3x)+2(3x 3y+2z);(2)xy（4z2xy）（3xy 4z）23.(10 分)计算：（1）8m24m22m(2m25m);（2）2（ab3a2）2b2(5ba+a2)+2ab 24.(10 分)设 m和 n 均不为 0，3x2y3和5xnm 22y3是同类项，求322332239635933nmnnmmnmnnmm的值。第 1 个
26、图案 第 2 个图案 第 3 个图案 正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 25.（10 分）先化简，再求值：（1）3x2y25xy2（4xy23）+2x2y2,其中 x=3，y=2.(2)3x2y2x2y（2xyz x2y）4x2zxyz，其中 x=2，y3，z=1 26.（10 分）已知 Ax32y3+3x2y+xy23xy+4,B=y3x34x2y3xy3xy2+3,C=y3+x2y+2xy2+6xy6，试说明对于 x
27、yz 的任何值 A+B+C 是常数。27.（10 分）如果 a 的倒数就是它本身，负数 b 的倒数的绝对值是31，c 的相反数是 5，求代数式 4a 4a2（3b4a+c）的值。28.(10 分)已知a2+b+1+2c+30.（1）求代数式 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 的值；（2）求代数式(a+b+c)2的值；（3）从中你发现上述两式的什么关系？由此你得出了什么结论？正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 整式的
28、加减参考答案 一、BDBCD CDBBD 二、11.3，6；12.4，4；13.7+2xy2x2yx3y3 14.a2+b2,(a+b)2;15.6n+3;16.0;17.2x2x+1；18.0；19.2（n+1）;20.1，2 三、21.(1)解：原式m+2nm+2n 4n (2)解：原式2x6+x4 3x10 22.（1）解：原式2x3x+6y9z+6x6z+4z 5x5z (2)解：原式xy4z+2xy3xy+4z 2xy 23.(1)解：原式8m24 m2+2m+2 m25m 6 m23m (2)解：原式2ab+6a2（2b23 aba2）2ab+6a22b2+3 ab+a2 7 a2
29、+ab2b2 24.解：由题意知，22+2m+n,则 n=2m,所以，把 n=2m 代入原式，计算得 原式9755 25.（1）解：原式3x2y25xy2+4 xy2 32 x2y2 x2y2xy23 所以，当x=3，y=2 时，原式45 （2）解：原式3x2y2（2x2y2xyz+x2y4x2z）xyz 3 x2y2 x2y+2xyz x2y+4x2zxyz 4x2z+xyz 所以，当 x=2，y3，z1 时，原式10 26.解：因为 A+B+C x32y3+3x2y+xy23xy+4+y3x34x2y3xy3xy2+3+y3+x2y+2xy2+6xy61 所以，对于 x、y、z 的任何值
30、A+B+C 是常数 27.解：由题意得，a1，b3，c5 正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数优秀学习资料 欢迎下载 所以，原式4a2+3b+c18 28.解：（1）由题意得，a2,b1,c23，所以原式41；（2）（a+b+c）241；（3）两式相等，结论是（a+b+c）2a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 正方形的周长面积表示边长长方体的体积表面积分别为长宽高正方体的字母表示实际问题中某一数量时字母的取值必须使这个问题有意义并且面带分数与字母相乘时把带分数化成假分数除法运算写成分数形式分数