2023年北师大版初三二次函数知识点总结归纳及练习.pdf

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1、学习必备 欢迎下载 二次函数 知识回顾 一、二次函数概念：1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零二次函数的定义域是全体实数 2.二次函数2yaxbxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是 2 abc，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 例 1（基础）.二次函数2365yxx的图像的顶点坐标是（）A（-1，8）B.（1，8）C（-1，2）D（1，-4）习题精练 1、二次函数yax2bxc的图象如图所示，反比例函数y ax 与正比例

2、函数y（bc）x在同一坐标系中的大致图象可能是（）2、若二次函数52bxxy配方后为kxy2)2(则b、k的值分别为（）A.0 5 B.0.1 C.-4.5 D.-4.1 3、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A B C D 22yx 22yx212yx 212yx学习必备 欢迎下载 4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（）A223yxx B 223yxx C223yxx D 223yxx 5.若2yaxbxc，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是（

3、）x 1 0 1 2ax 1 2axbxc 8 3 243yxx234yxx233yxx 248yxx 6、巴人广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高为 1 米的喷水管喷水最大高度为 3 米，此时喷水水平距离为 12米，在如图 4 所示的坐标系中，这支喷泉满足的函数关系式是（）A）21()32yx （B）213()12yx（图（1）图（2）函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 C）218()32yx （D）218(

4、)32yx 二、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2yax的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值0 0a 向下 00，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值0 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 2.2yax

5、c的性质：上加下减。3.2ya xh的性质：左加右减。a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y有最小值c 0a 向下 0c，y轴 0 x 时，y随x的增大而减小；0 x 时，y随x的增大而增大；0 x 时，y有最大值c a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 0h，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由

6、表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 4.2ya xhk的性质：三、二次函数图象的平移 1.平移步骤：方法一：将抛物线解析式转化成顶点式2ya xhk，确定其顶点坐标hk，；保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：值0 0a 向下 0h，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0 a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a 向上 hk，X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k 0a 向下 hk，X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时

7、，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 2.平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减，上加下减”方法二：cbxaxy2沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，cbxaxy2变成 mcbxaxy2（或mcbxaxy2）cbxaxy2沿轴平移：向左（右）平移m个单位，cbxaxy2变成cmxbmxay)()(2（或cmxbmxay)()(2）考

8、点 1.二次函数的平移 小试牛刀 例 2 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5yx与二次函数22yxxc 的图像交于点(1)Am，（1）求m、c的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax2函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 例 3 把抛物线 y=

9、3x2向上平移 2 个单位，得到的抛物线是（）A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x2+2 D.y=3x2-2 专题练习一 1.对于抛物线 y=13x2+103x163，下列说法正确的是（）A.开口向下，顶点坐标为（5，3）B.开口向上，顶点坐标为（5，3）C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3）2.若抛物线 y=x2-2x+c 与 y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（）A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是 x=1 C.当 x=1 时，y 的最大值为-4 D.抛物线与 x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数 y

10、=x2的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度后，所得图象的函数表达式是_.4.小明从图 2 所示的二次函数2yaxbxc的图象中，观察得出了下面五条信息：0c；0abc；0abc ；230ab；40cb，你认为其中正确信息的个数有_.（填序号）考点 2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式 图2 1 0 1 2 y x 13x 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式

11、：y=ax2+bx+c（a 0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a（x-h）2+k（a 0）；3.若已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a 0）.例 2 已知抛物线的图象以 A（-1，4）为顶点，且过点 B（2，-5），求该抛物线的表达式.例 3 已知一抛物线与 x 轴的交点是 A（-2，0）、B（1，0），且经过点 C（2，8）.（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标.专项练习二 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一

12、个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是 x，降价后的价格为 y 元，原价为 a 元，则 y 与 x 之间的函数表达式为（）A.y=2a（x-1）B.y=2a（1-x）C.y=a（1-x2）D.y=a（1-x）2 2.如图 2，在平而直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B两点，点 A在 x 轴负半轴，点 B 在 x 轴正半轴，与 y 轴交

13、于点 C，且 tan ACO=12，CO=BO，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 3.对称轴平行于 y 轴的抛物线与 y 轴交于点（0，-2），且 x=1 时，y=3；x=-1 时y=1，求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A，(23)B，(10)C，（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点 图 2 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是

14、巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 四、二次函数2ya xhk与2yaxbxc的比较 从解析式上看，2ya xhk与2yaxbxc是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，五、二次函数2yaxbxc图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()ya xhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点 0c，、以及 0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10 x，20 x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点

15、）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.六、二次函数2yaxbxc的性质 1.当0a 时，抛物线开口向上，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y有最小值244acba 2.当0a 时，抛物线开口向下，对称轴为2bxa，顶点坐标为2424bacbaa，当2bxa 时，y随x的增大而增大；当2bxa 时，y随x的增大而减小；当2bxa 时，y有最大值244acba 七、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2.顶点式

16、：2()ya xhk（a，h，k为常数，0a）；3.两根式：12()()ya xxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.专项练习三 1.抛物线 y=kx2-7x-7的图象和 x

17、轴有交点，则 k 的取值范围是_.2.已知二次函数22yxxm 的部分图象如图 2 所示，则关于x的一元二次方程220 xxm 的解为 3.已知函数的图象如图 3 所示，那么关于的方程 的根的情况是（）A.无实数根 B.有两个相等实数根 C.有两个异号实数根 D.有两个同号不等实数根 4.二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图 4 所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20axbxc 的两个根（2）写出不等式20axbxc 的解集（3）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围 2yaxbxcx220axbxc y x O 1 3 图 2 图 3 x y 0 3 函数右边是关于自变量的

18、二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载（4）若方程2axbxck 有两个不相等的实数根，求k的取值范围 八、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x轴对称 2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk；2.关于y轴对称 2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya

19、xhk；3.关于原点对称 2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到的解析式是2ya xhk；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca ；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk 5.关于点mn，对称 2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物

20、线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：一元二次方程20axbxc 是二次函数2yaxbxc当函数值0y 时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：当240bac时，图象与x轴交于两点 1200A xB x，12()xx，其中的12

21、xx，是一元二次方程200axbxca 的两根这两点间的距离2214bacABxxa.当0时，图象与x轴只有一个交点；当0时，图象与x轴没有交点.1 当0a 时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；2 当0a 时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y 2.抛物线2yaxbxc的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3.二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；根据图象的位置判断二次函数2yaxbxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位

22、置，要数形结合；二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbxc a本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 二次函数图像参考：0 抛物线与x轴有两个交点 二 次 三 项 式 的 值 可正、

23、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与x轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x2y=x22y=2x2y=x2y=2 x2-4y=2 x2+2y=2 x2y=-2x2y=-x2y=-x22y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x2y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x2函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间

24、的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 课后巩固练习：1、把抛物线2xy 向右平移 1 个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A 12xy B 21xy C 12xy D 21xy 2、在平面直角坐标系中，将二次函数22xy 的图象向上平移 2 个单位，所得图象的解析式为()A222 xy B 222 xy C 2)2(2 xy D 2)2(2 xy 3、把抛物线2yx 向左平移 1 个单位，然后向上平移 3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（）.A2(1)3yx B 2(1)3yx C2(1)3yx D 2(1)3yx 4、抛物线的顶点坐标是（）A B D D 5、二次函数 y=

25、ax2+bx+c的图象如图所示，若点 A(1,y1)、B(2,y2)是它图象上的两点，则 y1与 y2的大小关系是（）(A)y1y2 (B)y1=y2 (C)y1y2(D)不能确定 6、函数y=ax1 与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（）2(2)3yx(2 3)，(2 3)，(23)，(23)，函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 7、根据下表中的二次函数2yaxbxc的自变量x与函数y的对应值，可判断该二次函数的图象与x

26、轴（）A 只有一个交点 B 有两个交点，且它们分别在y轴两侧 C有两个交点，且它们均在y轴同侧 D 无交点 8、已知二次函数的与的部分对应值如下表：0 1 3 1 3 1 则下列判断中正确的是（）A抛物线开口向上 B抛物线与轴交于负半轴 C当4 时，0 D方程的正根在 3 与 4 之间 9、已知二次函数2(0)yaxbxc a的图象如图所示，则下列结论：0ac；方程20axbxc 的两根之和大于 0；y随x的增大而增大；0abc ，其中正确的个数（）cbxaxy2yxx1y3yxy02cbxax函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为

27、抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 A4 个 B3 个 C2 个 D1 个 10、已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，给出以下结论：a0.该函数的图象关于直线1x 对称.当13xx或时，函数y的值都等于 0.其中正确结论的个数是（）A3 B 2 C 1 D 0 11、二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是（）.Aa0 B.abc0 C.cba0 D.acb420 12、已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0 2a+b 0 4a2b+c 0 a+c 0，

28、其中正确结论的个数为（）A、4 个 B、3 个 C、2 个 D、1 个 二、填空题 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载 1、当x _ 时，二次函数222yxx有最小值 2、若把代数式223xx化为2xmk的形式，其中,m k为常数，则mk=.3、函数(2)(3)yxx 取得最大值时，x _ 4、请写出符合以下三个条件的一个函数的解析式 过点(31)，；当0 x 时，y随x的增大而减小；当自变量的值为 2 时，函数值小于 2 5

29、、已知二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点()P abc，在第_ 象限 三、解答题 1 1、如图，已知二次函数cbxxy221的图象经过 A（2，0）、B（0，6）两点。（1）求这个二次函数的解析式 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点 C，连结 BA、BC，求 ABC的面积。2、一座拱桥的轮廓是抛物线型（如左图所示），拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m（1）将抛物

30、线放在所给的直角坐标系中（如右图所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽 2m 的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由 3、王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线21855yxx，其中y（m）是球的飞行高度，x（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m y x C A O B 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建学习必备 欢迎下载（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式 函数右边是关于自变量的二次式的最高次数是是常数是二次项系数是一数配方后为则的值分别为图是一个横断面为抛物线形状的拱桥水面在时为若则由表格中信息可知与之间的函数关系式是巴人广场中心标志性建