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1、学习必备 欢迎下载 二次函数知识点总结与例题(带答案)一、二次函数图像与性质 1、二次函数的定义 般地，形如cbxaxy2（a，b，c 是常数，且 a0）的函数，叫做二次函数 注:函数关系式必须是整式 自变量 x 的取值范围为全体实数，且最高次数是 2.a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，写各项系数时包括他前面的符号 二次项系数 a 不等于 0 2、二次函数解析式的表示方法（1）一般式:cbxaxy2（a，b，c 为常数，a0）（2）顶点式:khxay2)(（a，h，k 为常数，a0），其中（h，k为点坐标（3）交点式（两根式）:y=a（x-x1）（x-x2）（a0，x1，x2
2、是抛物线与 x 轴两交点的横坐标，即一元二次方程cbxax2的两个根）注:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有学习必备 欢迎下载 的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b2-4ac0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示，二次函数解析式的这三种形式可以互化 3、二次函数cbxaxy2与khxay2)(的图像和性质 4.、二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况:（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式.（2）已
3、知抛物线顶点或对称轴或最大（小值，一般选用顶点式）（3）已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式（两根式）（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式.5、二次函数图象的变换（1）二次函数的平移变换 平移规律:上加下减、左加右减.上下平移变常数，左右平移变 x.例如，将抛物线cbxaxy2向左平移 m 个单位，再向上平移 n 个单位，得.)()()(2ncmxbmxay 是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法学习必备 欢迎下载 将
4、抛物线khxay2)(向右平移 m 个单位，再向下平移 n 个单位，得)()(2nkmhxay（2）二次函数的对称变换 关于 x 轴对称（变 y）抛物线cbxaxy2关于 x 轴对称后，系数全变号，得到的抛物线是cbxaxy2.抛物线khxay2)(关于 x 轴对称后，得到的抛物线是khxay2)(.关于 y 轴对称（变 x）抛物线cbxaxy2关于 y 轴对称后，系数变中间，得到的抛物线是cbxaxy2抛物线khxay2)(关于 y 轴对称后，得到的抛物线是khxay2)(关于原点对称（先变 x 再变 y）抛物线cbxaxy2关于原点对称后，系数变两头，得到的抛物线是cbxaxy2 抛物线k
5、hxay2)(关于原点对称后，得到的抛物线.khxay2)(关于顶点对称（变换前后的 y 值之和的平均数是原函数顶点纵坐标）抛 物 线cbxaxy2关 于 顶 点 对 称 后，得 到 的 抛 物 线 是abcbxaxy222 是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法学习必备 欢迎下载 抛物线khxay2)(关于顶点对称后得到的抛物线是khxay2)(关于点（m，n）对称（变换前后 x 的和为 2m、y 的和为 2n）抛物线khxay2)(关于点（m，
6、n）对称后，得到的抛物线是)2()2(2knmhxay 注:对于填空和选择题，利用口诀写出解析式 对于解答题，求抛物线的对称抛物线的表达式时，一般先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.平移时，抛物线的开口方向和形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变；对称时，抛物线的形状一定不会发生变化，因此|a|永远不变 方法技巧提炼 1、二次函数图像与系数的关系 2.根据二次函数表达式比较大小 答案：控制变量法。选 C 口诀:首先判断 a，b，c，再来判断不等式，最后代入特殊值，等量代换不等式。常见符判断:（1）
7、a：看开口方向（2）b：看对称轴“左同右异”对称轴在 y 轴侧，则 ab 同号；若在右侧，则 a、b 异号（3）c：看与 y 轴交点的位置（4）=b2-4ac:看图象与 x 轴交点的个数 可以根据点到对称轴的距离和开口方向直接判断（画简图）:在图2-1-1 中，由 d1d2，则 y1y2；在图 2-1-2 中，由 d1y2 是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法学习必备 欢迎下载 答案：选 C 答案：答案：顶点式或者一般式1242xxy 答案：D(
8、稍微难)答案：C 答案：D(分类讨论，难)答案：A 答案：9 答案：D 二、用函数观点看一元二次方程 是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法学习必备 欢迎下载 1、求交点问题 2、重要结论 3.利用二次函数图象求一元二次方程的近似解 对于二次函数cbxaxy2（a0），当 x 的值分别为1x，2x（1x2x）时，y 的值分别为1y，2y，若1y与2y异号，则在1x与2x 之间必存在一个数0 x，使得它对应的 y 的值为 0，因此一元二次方 程cbx
9、axy2（a0）有一个根0 x在1x与2x之间，即1x0 x2x 4.数学思想（1）方程思想.（2）函数思想.方法技巧提炼 1、关于恒大于恒小于的问题（两个函数比较）这种问题都可以转化为一个函数恒大于 0 或者恒小于 0 的问题:是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法学习必备 欢迎下载 例如：122232kxkxx对于任意的x 都成立，求 k 的取值范围对于任意的 x，03432 kxx都成立 2.静态表达式，看成动态的直线 例如：y=3x+b可以
10、看成 y=3x 沿 y 轴上下平移的动态直线 3.函数思想的应用 不熟悉的问题转化为熟悉的问题；例如:求方程0123 xx的根的情况；虽然是三次方程，但是可以通过函数角度思考问题，转化为22xy与xy1的交点问题.答案：（1）-2.5 和 0.5（2）-1（3）两个不等（4 无实数根 答案：（1）x1=x2=1（2）3,62xyxy 答案：81t 答案：C 答案：A 是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法学习必备 欢迎下载 答案：C 答案：C 答案
11、：A 答案：D 三、二次函数的应用 1.二次函数解决实际问题的步骤 审:借助表格或者标注审清题意；设:设未知数；列:根据题意列出函数表达式；解:解对应的一元二次方程或者不等式；验:根据 x 的范围取舍；答:回答题目的问题 2.二次函数的应用常见类型 是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法学习必备 欢迎下载 阅读类:比如经济利润问题、面积问题等直接根据公式列等式，求最大或者最小值；看图类:根据图中标注的信息，转化为文字语言，理解题目中的含义；建系类:
12、根据图形建立合适的坐标系使计算尽可能简单 方法技巧提炼 二次函数应用题的注意事项（1）关于自变量取值范围的取舍:根据实际情况满足的条件:比如人数、件数需要为正整数；长方形长大于宽等。由“如图”所显示的图象中自变量的范围 题目中一些语句的暗示:比如为了减少库存（售出数量少 的就需要排除），为了增加利润（利润少的需要排除）（2）单位的统一:题目中出现“万元”“万件”等，需要注意 前后的统一。答案：B 是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法学习必备 欢迎下载 答案：B 答案：D 答案：4.5 答案：答案：答案：答案：是常数项写各项系数时包括他前面的符号二次项系数不等于二次函数解化成一般式或顶点式但并非所有学习必备欢迎下载的二次函数都可以写定根据已知条件确定二次函数解析式通常利用待定系数法用待定系数法