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1、名师总结 优秀知识点 分式的知识点解析与培优 一、分式的定义：如果 A、B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子BA叫做分式。二、判断分式的依据:例：下列式子中，yx 15、8a2b、-239a、yxba25、4322ba、2-a2、m1、65xy x1、21、212x、xy3、yx 3、ma1中分式的个数为（）A、2 B、3 C、4 D、5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 .（1）275xx；123x；25aa；22xx；22bb；.（7）78x（8）3yy（9）234x 二、分式有意义的条件是分母不为零；【B0】分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】分式值为零的条件分子为零且
2、分母不为零。【B0 且 A=0 即子零母不零】例 2.注意：（12x0）例 1：当 x 时，分式51x有意义；例 2：分式xx212中，当_x时，分式没有意义 例 3：当 x 时，分式112x有意义。例 4：当 x 时，分式12xx有意义 例 5：x，y满足关系 时，分式xyxy无意义；例 6：无论 x 取什么数时，总是有意义的分式是（）A122xx B.12 xx C.133xx D.25xx 例 7：使分式2xx 有意义的 x 的取值范围为（）A2x B2x C2x D2x 例 8：分式)3)(1(2xxx无意义，则 x 的值为（）A.2 B.-1或-3 C.-1 D.3 三、分式的值为零
3、：使分式值为零：令分子=0 且分母0，注意：当分子等于 0 时，看看是否使分母=0 了，如果使分母=0 了，那么要舍去。例 1：当 x 时，分式121aa的值为 0.例 2：当 x 时，分式112xx的值为 0.例 3：如果分式22aa的值为零,则 a 的值为()A.2 B.2 C.-2 D.以上全不对 例 4：能使分式122xxx的值为零的所有x的值是（）A.x=0 B.x-1 C.x=0 或 x=1 D.0 x或1x 例 5：要使分式65922xxx的值为 0，则 x 的值为（）A.3 或-3 B.3 C.-3 D 2 例 6：若01aa,则 a 是()A.正数 B.负数 C.零 D.任意
4、有理数 例 9：当 X=时，分式2212xxx 的值为零。例 10：已知1x-1y=3，则5352xxyyxxyy=。三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式，分式的值不变。例 1：abyaxy ；zyzyzyx2)(3)(6；如果75)13(7)13(5aa成立,则 a 的取值范围是_；例 2：例 3：如果把分式baba 2中的 a 和 b 都扩大 10 倍，那CBCABACBCABA222xyxy0C)(1332baab)(cbacb名师总结 优秀知识点 么分式的值（）A、扩大 10 倍 B、缩小 10 倍 C、是原来的 20 倍 D、不变 例 4：如果把分式y
5、xx10中的 x，y 都扩大 10 倍，则分式的值（）A扩大 100 倍 B扩大 10 倍 C不变 D缩小到原来的101 例 5：如果把分式yxxy中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍 例 6：如果把分式yxyx中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小 2 倍 例 7：如果把分式xyyx 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，即分式的值（）A、扩大 2 倍；B、扩大 4 倍；C、不变；D 缩小21倍 例 8：若把分式xyx23的 x、y 同时缩小 12 倍，则分式
6、的值（）A扩大 12 倍 B缩小 12 倍 C不变 D缩小 6 倍 例 9：若 x、y 的值均扩大为原来的 2 倍，则下列分式的值保持不变的是（）A、yx23 B、223yx C、yx232 D、2323yx 例 10：根据分式的基本性质，分式baa可变形为（）A.baa B.baa C.baa D.baa 例 11：不改变分式的值，使分式的分子、分母中各项系数都为整数，05.0012.02.0 xx ；例 12：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，211xxx=。例 13.不改变分式2323523xxxx的值，使分子、分母 最高次项的系数为正数，则是（）。四、分式的约分：关键先
7、是分解因式。分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分 分式约分的依据：分式的基本性质 分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式 约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例 1：下列式子（1）yxyxyx122；（2）cabaacab；（3）1baab；（4）yxyxyxyx中正确的是（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个 例
8、 2：下列约分正确的是（）A、326xxx；B、0yxyx；C、xxyxyx12；D、214222yxxy 例 3：下列式子正确的是()A022yxyxB.1yayaC.xzyxzxy D.0adcdcadcadc 例 4：下列运算正确的是（）A、aaabab B、2412xx 式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值为零的所有的值是或或例要使名师总结 优秀知识点 C、22aabb D、1112mmm 例 5：化简2293mmm的结果是（）A.3mm B.3mm C.3mm
9、D.mm3 例 7：约分：2264xyyx ；932xx=；xyxy132；yxyxyx536.03151。例 8：约分：22444aaa ；yxxy2164 )()(babbaa ；2)(yxyx 22yxayax ；1681622xxx ；6292xx 23314_21a bca bcbaab2205 29_3mm96922xxx_ 例 9：分式3a2a2，22baba，)ba(12a4，2x1中，最简分式有()A1 个 B 2 个 C3 个 D4 个 例 8.分式434yxa，2411xx，22xxyyxy，2222aababb中是最简分式的有（）。例 9.约分：（1）22699xxx；
10、（2）2232mmmm 例 10.通分：（1）26xab，29ya bc；（2）2121aaa，261a 例 11.已知 x2+3x+1=0，求 x2+21x的值 例 12.已知 x+1x=3，求2421xxx的值 四、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是它们的乘积。例如：222xxx最简公分母就是 22xx。“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例 如：4222xxx
11、最 简 公 分 母 就 是 2242xxx“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：2222xxxx最简公分母是：22xx 这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。例 1：分式nmnmnm2,1,122的最简公分母（）A)(22nmnm B222)(nm C)()(2nmnm D22nm 例 2：对分式2yx，23xy，14xy通分时，最简公分母是（）Ax2y B 例 3：下面各分式：221xxx,22xyxy,11xx,2222xyxy，其中最简分式有（）个。A.4 B.3 C.2 D.1 式没
12、有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值为零的所有的值是或或例要使名师总结 优秀知识点 例 4：分式412a，42 aa的最简公分母是 .例 5：分式 a 与1b的最简公分母为_；例 6：分式xyxyx2221,1的最简公分母为 。五、分式的运算：分式的乘，除，乘方以及加减 分式的乘法：乘法法测：badc=bdac.分式的除法：除法法则：badc=bacd=bcad 分式的乘方：求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(ba)n 分式的乘方，是把分子、分母各自乘
13、方.用式子表示为：(ba)n=nnba(n 为正整数)分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。例题：计算：（1）746239251526yxxx （2）aaa1 （3）24222aababaababa （4）4255222xxxx （5）2144122aaaaa （6）abab2362 （7）2xyxyxxy(8)22221106532xyxyyx（9）22213(1)69xxxxxxx (10)22121441aaaaaa 求值题：（1）已知：43yx，求
14、xyxyxyyxyxyx2222222的值。（2）已知：xyyx39，求2222yxyx的值。（3）已知：311yx，求yxyxyxyx2232的值。乘方例题：计算：（1）232()3yx （2）52ba=（3）32323 xy=（4）3222ab=（5）4322ababba（6）22221111aaaaaaa（7）已知：0325102yxx求yxyxx222的值。(8).当分式211x-21x-11x的值等于零时，则x=_。(9)已知 a+b=3，ab=1，则ab+ba的值等于_。(10).先化简，再求值:3aa-263aaa+3a，其中a=32。8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异
15、分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例 1：mnm22=例 2：141322222aaaa=例 3：xyxyxy=例 4：22222222yxxxyyyxyx=例 5 计算：（1）4133mmm ,abab acadbcadbccccbdbdbdbd 式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条
16、件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值为零的所有的值是或或例要使名师总结 优秀知识点 （2）abbbaa （3）2222)()(abbbaa （4）2253a bab2235a bab228a bab.例 6：化简1x+12x+13x等于（）A12x B32x C116x D56x 例 7：cabcab （2）22142aaa （2）xxxx3)3(32（4）xxxxxx13632 （5）2212aaa 224aa （6）11aaa （7）211xxx (8)22ababbab (9)xxxx2144212（10）
17、2129a+23a.例 8：计算11aaa的结果是（）A 11a B 11a C 112aaa D 1a 例 9：请先化简：21224xxx，然后选择一个使原式有意义而又喜欢的数代入求值.例 10：已知：0342 xx 求442122xxxxx的值。9、分式的混合运算：例 1：4421642xxxx 例 2：34121311222xxxxxxx 例 3：222)2222(xxxxxxx 例 4：1342xxx 例 5：1111xxx 例 6：22224421yxyxyxyxyx 例 7:xxxxxxx112122 例 8：xxxxxxxx4)44122(22 10、分式求值问题：例 1：已知
18、x 为整数，且23x+23x+22189xx为整数，求所有符合条件的 x 值的和.例 2：已知 x2，y12，求222424()()xyxy11xyxy的值.例 3：已知实数 x 满足 4x2-4x+l=O，则代数式 2x+x21的值为_ 例 4：已 知 实 数 a满 足 a2 2a 8=0，求34121311222aaaaaaa的值.例 5：若13xx 求1242xxx的值是（）A81 B101 C21 D41 例 6：已知113xy，求代数式21422xxyyxxyy的值 例 7：先化简，再对a取一个合适的数，代入求值221369324aaaaaaa 练习题：（1）168422xxxx，其
19、中 x=5.（2）1616822aaa,其中 a=5 （3）2222babaaba,其中 a=-3，b=2（4）2144122aaaaa；其中 a=85；式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值为零的所有的值是或或例要使名师总结 优秀知识点（5）xxxxxxxx4)44122(22，其中 x=-1（6）先化简，再求值：324xx(x+252x).其中 x2.（7）（8）先化简，2111xxx，再选择一个你喜欢的数代入求值 11、分式其他类型试题：例 1：观察下面一列有规律的数
20、：32，83，154，245，356，487，根据其规律可知第个数应是（n为正整数）例 2：观察下面一列分式：2345124816,.,x xxxx根据你的发现，它的第 8 项是 ，第 n 项是 。例 3：当 x=_时,分式x51与x3210互为相反数.例 4：在正数范围内定义一种运算，其规则为abba11，根据这个规则x23)1(x的解为（）A32xB1xC32x或 1D32x或1 例 5：已知4)4(422xCBxxAxx，则_,_,CBA；例6：已知37(1)(2)12yAByyyy，则（）A10,13AB B10,13AB C10,13AB D10,13AB 例 7：已知yx32，求2
21、2222yxyyxxy的值；例 8：设mnnm,则nm11的值是()A.mn1 B.0 C.1 D.1 12、化为一元一次的分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程分式方程。（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3）解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根 例 1：如果分式121xx的值为1，则 x 的值是 ；例 2：要使2415xx与的值
22、相等，则x=_。例 3：当 m=_ 时，方程21mxmx=2 的根为12.例 4：如果方程3)1(2xa 的解是 x5，则 a 。例 5：(1)132xx (2)13132xxx 例 6:解方程：22416222xxxxx 例 7：已知：关于 x 的方程xxxa3431无解，求a 的值。例 8：已知关于 x 的方程12xax的根是正数，求a 的取值范围。例 9：若分式21x与32xx的 2 倍互为相反数，则所列方程为_；例10：当m 为 何 值 时 间？关 于x的 方 程21122xxxxxxm的解为负数？例 11：解关于x的方程)0(2aabxaxb 例12：解关于x的方程:)0(21122
23、abaabaxbax 例 13：当 a 为何值时,)1)(2(21221xxaxxxxx的解是负数?例 14：先化简,再求值:222)(222yxxyxyxyxx,3,32,1)()2(222222babaabaababaabaa其中式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值为零的所有的值是或或例要使名师总结 优秀知识点 其中 x,y 满足方程组232yxyx 例 15 知关于 x 的方程)1)(2(121xxmxxxx的解为负值，求 m的取值范围。练习题：(1)164412x
24、x (2)0)1(213xxxx (3)XXX1513112 (4)625xxxx (5)2163524245xxxx (6)11112xx (7)xxx21321 (8）21212339xxx （9）311223xx 13、分式方程的增根问题：（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。（2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例 1：分式方程3xx+1=3xm有增根，则 m=例 2：当 k 的值等于 时，关于 x 的方程3423xxxk不会
25、产生增根；例 3：若解关于 x 的分式方程234222xxmxx会产生增根，求 m的值。例 4：m取 时，方程323xmxx会产生增根；例 5：若关于 x 的分式方程3232xmxx无解，则m的值为_。例 6：当 k 取什么值时？分式方程0111xkxxxx有增根.例 7：若方程441xmxx有增根，则 m的值是（）A4 B3 C-3 D1 例 8：若方程342(2)axxx x 有增根，则增根可能为（）A、0 B、2 C、0 或 2 D、1 15、分式的应用题：（1）列方程应用题的步骤是什么？(1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答（2）应用题有几种类型；基本公式是什么？基本上有四种
26、：a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 b.数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法 c.工程问题：基本公式：工作量=工时工效 d.顺水逆水问题:v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水 工程问题：例 1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要_ 小时。例 2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打 6 个字，小明打 120 个字所用的时间和小张打 180 个字所用的时间相等。设小明打字速度为 x 个/分钟，则列方程正确的是（）A.xx1806120 B.xx1806120 C.6180120 xx D.6180
27、120 xx 例 3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独 做,恰好如期完成;如果乙工作队独做,则超过规定日 期 3 天,现在甲、乙两队合作 2 天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期 为 x 天,下面所列方程中错误的是()A.213xxxB.233xx C.1122133xxxx D.113xxx 例 4：一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数 是（）式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值
28、为零的所有的值是或或例要使名师总结 优秀知识点 A.ba B.ba11 C.ba 1 D.baab 例 5：赵强同学借了一本书，共 280 页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读 21 页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读 x 页,则下列方程中,正确的是（）A、1421140140 xx B、1421280280 xx C、1211010 xx D、1421140140 xx 例 6：某煤厂原计划x天生产 120 吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产 3 吨，因此提前 2 天完成任务，列出方程为（）A 31202120 xx B
29、 32120120 xx C 31202120 xx D 32120120 xx 例 7：某工地调来 72 人参加挖土和运土工作，已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此问题，可设派x人 挖 土 列 方 程 7213xx；723xx；372xx；372xx 例 8：八（1）、八（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种 2 棵树，八（1）班种 66 棵树所用时间与八（2）班种 60 棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各种几棵树？例 9：某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能
30、完成，如果乙独做就要超过日期 3 天，现在甲、乙两人合做 2 天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？例 10：服装厂接到加工 720 件衣服的订单，预计每天做48 件，正好可以按时完成，后因客户要求提前 5 天交货，则每天应比原计划多做多少件？例 11：为加快西部大开发的步伐，决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好可以按期完成；如果乙工程队单独施工就要超过 6个月才能完成。现在甲、乙两队先共同施工 4 个月，剩下的由乙队单独施工，则也刚好可以按期完成。问师宗县原来规定修好这条公路需多长时间？例 12：某工程由甲、乙两队合做 6 天
31、完成，厂家需付甲、乙两队共 4350 元；乙、丙两队合做 10 天完成，厂家需付乙、丙两队共 4750 元；甲、丙两队合做 5 天完成全部工程的32，厂家需付甲、丙两队共 2750 元。（1）求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（2）若工期要求不超过 20 天完成全部工程，问可由哪队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由。价格价钱问题：例 1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为 180 元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3 元钱车费，设参加游览的同学共 x 人，则所列方程为 （）A32180180 xx B31802180 x
32、x C32180180 xx D31802180 xx 例 2：用价值 100 元的甲种涂料与价值 240 元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少 3 元，比乙种涂料每千克的售价多 1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为 x 元，则根据题意可列方程为_ 例 3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为 600 元和 1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的 2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？例 4：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐
33、款。已知第一次捐款总额为 4800 元，第二次捐款总额为 5000 元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多 20 人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？例 5：随着 IT 技术的普及，越来越多的学校开设了微机课.某初中计划拿出 72 万元购买电脑，由于团体购买，结果每台电脑的价格比计划降低了 500 元，因此实际支出了 64 万元.学校共买了多少台电脑？若每台电脑每天最多可使用 4 节课，这些电脑每天最多可供多少学生上微机课？(该校上微机课时规定为单人单机)例 6：光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动，联系了甲、乙两家旅游公司，甲公司提供的优惠条件是：1 名
34、教师收行业统一规定的全票，其余的人按7.5折收费，乙公司则是：所有人全部按 8折收费经核算甲公司的优惠价比乙公司的优惠价便式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值为零的所有的值是或或例要使名师总结 优秀知识点 宜132，那么参加活动的学生人数是多少人？例 7：某商厦用 8 万元购进奥运纪念运动休闲衫，面 市后供不应求，商厦又用 17.6 万元购进了第二批这种 衬衫，所购数量是第一批购进数量的 2 倍，但单价贵 了 4 元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是 58 元，最后剩
35、下的 150 件按八折销售，很快售完，请问 在这两笔生意中，商厦共赢利多少元？顺水逆水问题：例 1：A、B两地相距 48 千米，一艘轮船从 A地顺流航行至 B地，又立即从 B地逆流返回 A地，共用去 9 小时，已知水流速度为 4 千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（）A、9448448xx B、9448448xx C、9448x D、9496496xx 例 2：一只船顺流航行 90km 与逆流航行 60km 所用的时间相等，若水流速度是 2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为 xkm/h，则可列方程（）A、290 x=260 x B、290 x=260 x
36、C、x90+3=x60 D、x60+3=x90 例 3：轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行 48 千米所需时间相同，已知水流速度是每小时 3 千米，求轮船在静水中的速度。行程问题：例 1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这 段路上、下坡的平均速度是每小时（）A、221vv 千米 B、2121vvvv千米 C、21212vvvv千米 D、无法确定 例 2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙那么甲的速度是乙的速度的（）abb倍 bab倍 baba倍 baba倍 例 3：八年级 A、B
37、两班学生去距学校 4.5 千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后，B 班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的 3 倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？例 4：A、B 两地的距离是 80 公里，一辆公共汽车从 A地驶出 3 小时后，一辆小汽车也从 A 地出发，它的速度是公共汽车的 3 倍，已知小汽车比公共汽车迟 20 分钟到达 B 地，求两车的速度。例 5：甲、乙两火车站相距 1280 千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的 3.2 倍，从甲站到乙站的时间缩短了 11 小时，求列车提速后的速度。数字问题：例 1：一
38、个分数的分子比分母小 6,如果分子分母都加1,则这个分数等于41,求这个分数.例 2：一个两位数，个位数字是 2，如果把十位数字与 个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数 之比是 7：4，求原来的两位数。例 3：一个分数的分母加上 5，分子加上 4，其结果仍 是原来的分数，求这个分数。例 4：一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小 2，个位上的数字加上 8 以后去除这个两位数时，所得到 的商是 2，求这个两位数。16、公式变形问题：例 1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为 U 像距为V，凸透镜的焦距为 F，且满足FVU111，则用U、V 表示 F 应是（）（A）UVVU （B）VUU
39、V （C）VU （D）UV 例 2：已知公式12111RRR（12RR），则表示1R的公式是（）A212RRRRR B212RRRRR C1212()R RRRR D 212RRRRR 例 3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距 u，像距 v和凸透镜的焦距 f 满足关系式：1u1v1f.若 f 6 厘米，v8 厘米，则物距 u 厘米.式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值为零的所有的值是或或例要使名师总结 优秀知识点 例 4：已知梯形面积,)(21hbaSS、a、b、h 都大
40、于零，下列变形错误是（）AbaSh2 B.bhSa2 C.ahSb2 D.)(2baSh 例 5：已知bbaaNbaMab11,1111,1,则 M 与 N 的关系为()A.MN B.M=N C.MN D.不能确定.六、任何一个不等于零的数的零次幂等于 1 即)0(10 aa；当 n 为正整数时，nnaa1 （)0a 例 1.若25102x,则x10等于()。A.51 B.51 C.501 D.6251 例 2.若31aa,则22 aa等于()。A.9 B.1 C.7 D.11 例 3.计算:(1)10123)326(34 (2)32132xyba 七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数
41、幂(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa)(;（3）积的乘方：nnnbaab)(；（4）同底数的幂的除法：nmnmaaa(a 0)；（5）商的乘方：nnnbaba)(b 0)八、科学记数法：把一个数表示成na 10的形式（其中101 a，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。1、用科学记数法表示绝对值大于 10 的 n 位整数时，其中10 的指数是1n。2、用科学记数法表示绝对值小于 1 的正小数时,其中 10的指数是第一个非 0 数字前面 0 的个数(包括小数点前面的一个 0)。例 21.人类的遗传物质就是 DNA,人类的 DNA 是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是_。例 22.计算_1031032125。例 23已知 52 个纳米的长度为 0.000000052 米,用科学记数法表示这个数为_。式没有意义的条件是分母等于零分式值为零的条件分子为零且分母不为意义的分式是例使分式有意义的的取值范围为例分式无意义则的值为或为零则的值为以上全不对例能使分式的值为零的所有的值是或或例要使