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1、ababccABCDE勾股定理（第一课时）教学目标：知识与技能 1了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。2培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。3介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。过程与方法 经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。情感态度与价值观 培养学生严谨的数学学习态度，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的内容及证明 难点：勾股定理的证明 教学过程 一、课堂引入 目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国
2、数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实可以说明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为 3cm 和 4cm 的直角ABC，用刻度尺量出 AB 的长。以上这个事实是我国古代 3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是 3，长的直角边（股）的长是 4，那么斜边（弦）的长是 5。再画一个两直角边为 5 和 12 的直角ABC，用刻度尺量 AB 的长。你是否发现 32+
3、42与 52的关系，52+122和 132的关系，即 32+42=52，52+122=132，那么有勾2+股2=弦2。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、探索新知：方法一；如图 1，让学生剪 4 个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明。方法二；如图 2：在ABC 中，C=90，A、B、C 的对边为 a、b、c。求证：a2b2=c2。方法三：如图 3以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 ab21 .把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上.图 1 图 2 图 3 三、例题讲解 例 1在 RtABC 中，C
4、=90 已知 a=b=5,求 c。已知 a=1,c=2,求 b。已知 c=17,b=8,求 a。cbaDCABbbbbccccaaaabbbbaaccaa 已知 a：b=1：2,c=5,求 a。已知 b=15，A=30，求 a，c。分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例 2 已知直角
5、三角形的两边长分别为 5 和 12，求第三边。分析：已知两边中较大边 12 可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例 3已知：如图，等边ABC 的边长是 6cm。求等边ABC 的高。求 SABC。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高 CD，可将其置身于 RtADC 或 RtBDC中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求 AD=CD=21AB=3cm，则此题可解。四、课堂练习 1填空题 在 RtABC，C=90，a=8，b=15，则 c=。在
6、RtABC，B=90，a=3，b=4，则 c=。在 RtABC，C=90，c=10，a：b=3：4，则 a=，b=。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 。已知直角三角形的两边长分别为 3cm 和 5cm，则第三边长为 。已知等边三角形的边长为 2cm，则它的高为 ，面积为 。2填空题 在 RtABC，C=90，如果 a=7，c=25，则 b=。如果A=30，a=4，则 b=。如果A=45，a=3，则 c=。如果 c=10，a-b=2，则 b=。如果 a、b、c 是连续整数，则 a+b+c=。如果 b=8，a：c=3：5，则 c=。3已知在 RtABC 中，B=90，a、b、
7、c 是ABC 的三边，则 c=。（已知 a、b，求 c）a=。（已知 b、c，求 a）b=。（已知 a、c，求 b）4勾股定理的具体内容是：。5如图，直角ABC 的主要性质是：C=90，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；若 D 为斜边中点，则斜边中线 ；若B=30，则B 的对边和斜边：；三边之间的关系：6ABC 的三边 a、b、c，若满足 b2=a2c2，则 =90；若满足 b2c2a2，则B 是 角；若满足 b2c2a2，则B 是 角。D C B A ACBD7已知：如图，在ABC 中，C=60，AB=34，AC=4，AD 是 BC 边上的高，求 BC 的长。8已知等腰三角形腰长是 10
8、，底边长是 16，求这个等腰三角形的面积。9已知：如图，四边形 ABCD 中，ADBC，ADDC，ABAC，B=60，CD=1cm，求 BC 的长。7 题图 9 题图 12 题图 10如下表，表中所给的每行的三个数 a、b、c，有 abc，试根据表中已有数的规律，写出当 a=19 时，b，c 的值，并把 b、c 用含 a 的代数式表示出来。3、4、5 32+42=52 5、12、13 52+122=132 7、24、25 72+242=252 9、40、41 92+402=412 19，b、c 192+b2=c2 11在ABC 中，BAC=120，AB=AC=310cm，一动点 P 从 B 向
9、 C 以每秒 2cm 的速度移动，问当P 点移动多少秒时，PA 与腰垂直。12已知：如图，在ABC 中，AB=AC，D 在 CB 的延长线上。求证：AD2AB2=BDCD 若 D 在 CB 上，结论如何，试证明你的结论。五、课堂小结 勾股定理（第二课时）教学目标 知识与技能 1会用勾股定理解决简单的实际问题。2树立数形结合的思想。过程与方法 经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。情感态度与价值观 培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。ADCBACBDBCDA重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。教学过程 一、复习巩固：求出下列直角三角
10、形中未知的边 在解决问题时，每个直角三角形需知晓几个条件？直角三角形中哪条边最长？二、应用提高：例 1：（1）在长方形 ABCD 中 AB、BC、AC 大小关系？（2）在长方形 ABCD 中，宽 AB 为 1m，长 BC为 2m，求 AC 长 （3）一个门框的尺寸如图 1 所示 若有一块长 3 米，宽 0.8 米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长 3 米，宽 1.5 米呢？若薄木板长 3 米，宽 2.2 米呢？为什么？图 1 图 2 例 2：如图 2，一个 3 米长的梯子 AB，斜着靠在竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 2.5 米 球梯子的底端 B 距墙角 O 多少米？如果梯的顶端
11、 A 沿墙下滑 0.5 米至 C，请同学们猜一猜，底端也将滑动 0.5 米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）例 3：教材第 26 页练习第 1 题 变式：以教材第 26 页练习第 1 题为背景，请同学们再设计其他方案构造直角三角形（或其他几何图形），测量池塘的长 AB 例 4 如图 3，分别以 Rt ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1、S2、S3表示，容易得出 S1、S2、S3之间有的关系式 三、课堂练习 1小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着 45 度的坡路走了 500 米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是 米。2如图，山坡上两株树木之间的坡面距
12、离是 43米，则这两株树之间的垂直距离是 米，水平距离是 米。6 10 A C B 2 45 A 15 C B 2 30 B C 1m 2m A O B D CA C A O B O D S1S2S3BAC图 3 30ABCCAB 2 题图 3 题图 4 题图 3如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用 15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是 。4如图，原计划从 A 地经 C 地到 B 地修建一条高速公路，后因技术攻关，可以打隧道由 A 地到 B 地直接修建，已知高速公路一公里造价为 300 万元，隧道总长为 2 公里，隧道造价为 500 万元，AC=80 公里，BC=60公里，则改建后可省
13、工程费用是多少？5题图 7 题图 8题图 5如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取 B、C 两点，在江对岸取一点 A，使 AC 垂直江岸，测得 BC=50米，B=60，则江面的宽度为 。6有一个边长为 1 米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为 米。7一根 32 厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在 P、Q两点，PQ=16厘米，且 RP PQ，则 RQ=厘米。8如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高 24 米，B=C=30，E、F 分别为 BD、CD 中点，试求B、C 两点之间的距离，钢索 AB 和 AE 的长度。（精确到 1 米）四、课堂小结 勾股定理（第三课时）教学目标
14、 知识与技能 1会用勾股定理解决较综合的问题。2树立数形结合的思想。过程与方法 经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。情感态度与价值观 培养学生思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值。重点：勾股定理的综合应用。难点：勾股定理的综合应用。教学过程 一、复习巩固：复习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。二、应用提高：例 1（教材 P26 页探究）分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。ACBRPQACBDEF变式训练：在数轴上画出表示22,13的点。例 2 图 例 3 图 例 4 图 例2已知：在 Rt
15、ABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60，CD=3，求线段 AB 的长。分析：本题是“双垂图”的计算题，“双垂图”是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质掌握非常熟练，能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有：3 个直角三角形，三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2，两对相等锐角，四对互余角，及 30或 45特殊角的特殊性质等。要求学生能够自己画图，并正确标图。引导学生分析：欲求 AB，可由 AB=BD+CD，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 BD=3 和 AD=1。或欲求 AB，可由22BCACAB，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出 AC=
16、2 和 BC=6 例3.已知：如图，ABC 中，AC=4，B=45，A=60，根据题设可知什么？分析：由于本题中的ABC 不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得ACB=75。在学生充分思考和讨论后，发现添置 AB 边上的高这条辅助线，就可以求得 AD，CD，BD，AB，BC 及 SABC。让学生充分讨论还可以作其它辅助线吗？为什么？例4 已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形 ABCD 的面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC，或延长 AB、DC 交于 F，或延长 AD、BC 交于 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三
17、种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深入体会。解：延长 AD、BC 交于 E。A=60，B=90，E=30。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=48=34。DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE=12=32。S四边形ABCD=SABE-SCDE=21ABBE-21CDDE=36 三、课堂练习：1ABC 中，AB=AC=25cm，高 AD=20cm,则 BC=，SABC=。2 ABC 中，若A=2B=3C，AC=32cm，则A=度，B=度,C=度，BC=，SABC=。3ABC 中，C=90，AB=4，BC=32，CDAB 于 D，则
18、AC=，CD=，BD=，AD=,SABC=。BACDCABDABCDEABC4已知：如图，ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求 SABC。5在 RtABC 中，C=90，CDBC 于 D，A=60，CD=3，AB=。6 在 RtABC 中，C=90，SABC=30，c=13，且 ab，则 a=，b=。7已知：如图，在ABC 中，B=30，C=45，AC=22，求（1）AB 的长；（2）SABC。8在数轴上画出表示52,5的点。四、课堂小结 勾股定理的逆定理 教学目标 知识与技能 探索并掌握直角三角形判别思想，会应用勾股逆定理解决实际问题 过程与方法 经历直角三角形判别条件的探究过
19、程，体会命题、定理的互逆性，掌握情理数学意识 情感态度与价值观 培养数学思维以及合情推理意识，感悟勾股定理和逆定理的应用价值 重点：理解并掌握勾股定理的逆定性，并会应用 难点：理解勾股定理的逆定理的推导 教学过程 一、创设情境，导入课题【实验观察】用一根钉上 13 个等距离结的细绳子，让同学操作，用钉子钉在第一个结上，再钉在第 4 个结上，再钉在第 8 个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一起 然后用角尺量出最大角的度数（90），可以发现这个三角形是直角三角形 归纳结论：勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。二、研究新知、应用举例 1.勾股定
20、理的逆定理应用 例 1：以 6，8，10 为三边的三角形是直角三角形吗？如三边为 5，6，7 的三角形是不是直角三角形？例 2：根据下列条件，分别判断 a,b,c 为边的三角形是不是直角三角形（1）a=7,b=24,c=25;(2)a=32,b=1,c=32 例 3：已知ABC的三边分别为a,b,c。a=22nm,b=2mn,c=22nm(mn,m,n 是正整数)，ABC是直角三角形吗？说明理由。ABC分析：先来判断 a,b,c 三边哪条最长，可以代 m,n 为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则 a=9,b=40,c=41,c最大。解：2222222222)()2()(cnmmnnmba
21、 ABC是直角三角形 注意事项：（1）书写时千万别写成ABCcba,25247,222222是直角三角形。这里你弄错了勾股定理的逆定理的条件和结论。（2）分清何时利用勾股定理，何时利用其逆定理 例 4：（见课本 P33 例 2）思路点拨：首先应根据题意画出图形，（见课本 P33）这是一种象限图，依图形可以看出，“远航”号的航向已经知道，只要求出两艘轮船的航向所成的角，就可以知道“海天”号的航向 变式：一根 30 米长的细绳折成 3 段，围成一个三角形，其中一条边的长度比较短边长 7 米，比较长边短 1米，请你试判断这个三角形的形状。分析：若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，
22、求出三角形的三边长 5、12、13；根据勾股定理的逆定理，由 52+122=132，知三角形为直角三角形。例 5：如图，在正方形 ABCD中，F 为 DC 的中点，E 为 BC 上一点，且 EC=14BC，求证：AFEF 思路点拨：要证 AF EF，需证AEF是直角三角形，由勾股定理的逆定性，只要证出 AF2+EF2=AF2就可以了 例 6 已知：如图，四边形 ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。求：四边形 ABCD 的面积。分析：使学生掌握研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题。本题辅助线作平行线间距离无法求解。创造 3、4、5 勾股数，利用勾股定
23、理的逆定理证明 DE 就是平行线间距离。作 DEAB，连结 BD，则可以证明ABDEDB（ASA）；DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；在DEC 中，3、4、5 勾股数，DEC 为直角三角形，DEBC；利用梯形面积公式可解，或利用三角形的面积。例 7 已知：如图，在ABC 中，CD 是 AB 边上的高，且 CD2=ADBD。求证：ABC 是直角三角形。分析：勾股定理及逆定理的综合应用，注意条件的转化及变形。AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2 AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2ADBD+BD2=（AD+BD）2=AB2 ABCDEBACD 例 6 图 例
24、 7 图 2.原命题与逆命题 以勾股定理及其逆定理为例说明什么是原命题，什么是逆命题。题设和结论相反的两个命题叫做互为逆命题。练习：教材 P33 页练习第 2 题 三、随堂练习，巩固深化 1 课本 P33 “练习”1，2，3 2若ABC的三边 a，b，c 满足条件 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定ABC的形状 （提示：根据所给条件，只有从关于 a，b，c 的等式入手，找出 a，b，c 三边之间的关系，应用分解因式可得（a-5）2+（b-12）2+（c-13）2=0，求出 a=5，b=12，c=13，a2+b2=c2，ABC是 Rt）3.如下图中分别以ABC三边 a,b,
25、c 为边向外作正方形，正三角形，为直径作半圆，若 S1+S2=S3成立，则ABC是直角三角形吗？4小强在操场上向东走80m 后，又走了60m，再走 100m 回到原地。小强在操场上向东走了 80m 后，又走 60m 的方向是 。5如图，在操场上竖直立着一根长为 2 米的测影竿，早晨测得它的影长为 4 米，中午测得它的影长为 1米，则 A、B、C 三点能否构成直角三角形？为什么？6如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距 13 海里的 A、B 两个基地前去拦截，六分钟后同时到达 C 地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行 120 海里，乙巡逻艇每小时航行 5
26、0 海里，航向为北偏西 40，问：甲巡逻艇的航向？5题图 6题图 9 题图 7一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为 ，此三角形的形状为 。8一根 12 米的电线杆 AB，用铁丝 AC、AD 固定，现已知用去铁丝 AC=15 米，AD=13 米，又测得地面上 B、C 两点之间距离是 9 米，B、D 两点之间距离是 5 米，则电线杆和地面是否垂直，为什么？9如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得 AB=4 米，BC=3 米，CD=13 米，DA=12 米，又已知B=90。A C a
27、 b c SSSB A B C a b c SSSA B C a b c SSSENABCABCDDCAB 10若ABC 的三边 a、b、c，满足（ab）（a2b2c2）=0，则ABC 是（）A等腰三角形；B直角三角形；C等腰三角形或直角三角形；D等腰直角三角形。11若ABC 的三边 a、b、c，满足 a：b：c=1：1：2，试判断ABC 的形状。12已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC=43，CD=413，AD=3，且 ABBC。求：四边形 ABCD 的面积。13已知：在ABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，且 CD2=ADBD。求证：ABC 中是直角三角形。14若ABC 的三边 a、b、c 满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求ABC 的面积。15在ABC 中，AB=13cm，AC=24cm，中线 BD=5cm。求证：ABC 是等腰三角形。16已知：如图，DAC=EAC，AD=AE，D 为 BC 上一点，且 BD=DC，AC2=AE2+CE2。求证：AB2=AE2+CE2。17已知ABC 的三边为 a、b、c，且 a+b=4，ab=1，c=14，试判定 ABC 的形状。16 题图 四、课堂小结 BCAED