2023年解三角形精品讲义.pdf

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1、 1 高一数学必修 5 第一章解三角形教学设计 三明九中 林晴岚 一课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当到达以下学习目标：1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。二教学内容及课时安排建议 正弦定理和余弦定理约 4 课时 1.2应用举例约 4 课时 三课时具体安排如下：课题:111 正弦定理 授课类型：新授课 教学目标：知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的

2、探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来表达事物之间的普遍联系与辩证统一。教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。教学过程 理解定理 正弦定理

3、：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinabABsincC 1正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sinakA，sinbkB，sinckC；2sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。2 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。例题分析 例题.在ABC中,已知3

4、a,2b,B=450.求 A、C和 c.解:004590B 且,ba A有两解.由正弦定理,得23245sin3sinsin0bBaA 0012060AA或 1)当 A=600时,C=1800-A-B=750,00sin2sin7562sin2sin45bCcB 2)当 A=1200时,C=1800-A-B=150,00sin2sin1562sin2sin45bCcB 练习：1),32,45,6,0aAcABC中求 B、C、b.2),2,45,6,0aAcABC中求 B、C、b.3已知ABC中，sin:sin:sin1:2:3ABC，求:a b c 小结由学生归纳总结 1定理的表示形式：sin

5、sinabABsincC0sinsinsinabck kABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k 2正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。课题:授课类型：新授课 教学目标:知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法：利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间

6、的普遍联系与辩证统一。教学重点:余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。教学过程:理解定理 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA 2222cosbacacB 2222coscababC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可求出第四个量，能否由三边求出 3 一角？由学生推出从余弦定理，又可得到以下推论：222cos2bcaAbc，222cos2acbBac，222cos2bacCba 从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意

7、两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？由学生总结假设ABC中，C=090，则cos0C，这时222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。例题分析 例 1在ABC中，已知2 3a，62c，060B，求 b 及 A 解：2222cos bacacB=22(2 3)(62)2 2 3(62)cos045=212(62)4 3(3 1)=8 2 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：解法一：cos22

8、2222(2 2)(62)(2 3)1,222 2 2(62)bcaAbc 060.A 解法二：sin02 3sinsin45,2 2aABb 又622.4 1.4 3.8,2 32 1.8 3.6,ac，即00A090,060.A 评述：解法二应注意确定 A的取值范围。练习：在ABC中，假设222abcbc，求角 A答案：A=1200 小结：1余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；2余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。课题:113 解三角形的进一步讨论 授课类型：新授课 教学目标:知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对

9、角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。教学重点:在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；4 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。教学难点:正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。教学过程 探索研究

10、例 1在ABC中，已知,a b A，讨论三角形解的情况 分析：先由sinsinbABa可进一步求出 B；则0180()CA B，从而sinaCcA 1当 A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。2当 A为锐角时，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：1假设sinabA，则有两解；2假设sinabA，则只有一解；3假设sinabA，则无解。以上解答过程详见课本第 9-10 页 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当 A为锐角且sinbA ab 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。练习:1在ABC中，已知80a，100b，045A

11、，试判断此三角形的解的情况。2在ABC中，假设1a，12c，040C，则符合题意的 b 的值有_个。3在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。答案：1有两解；20；322 2x 利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状 例 2根据所给条件,判断ABC的形状.1在ABC中，已知7a，5b，3c。2;coscosBbAa 3 CcBbAacoscoscos 分析：由余弦定理可知222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角abcAabcAabcA ABC 是锐角三角形 注意：是锐角A ABC 是锐角三角形 1解：22

12、2753，即222abc，ABC 是钝角三角形。2解:解法一(化边)由余弦定理得)2()2(coscos222222acbcabbcacbaBbAa 0422422bcbaca,0)()(22222bacba 022ba 或0222bac222cba 或ba 故ABC是直角三角形或等腰三角形 5 解法二(化角)由;coscosBbAa可得BBRAARcossin2cossin2 即BA2sin2sin BA22或,180220 BA即BA或 A+B=900 故ABC是直角三角形或等腰三角形 3解：(化角)解法一:由正弦定理得CAcasinsin,CBcbsinsin 代入已知等式得CcCBBc

13、CAAccossincossinsincossin,CCBBAAcossincossincossin 即CBAtantantan ),0(,CBA CBA 故ABC是等边三角形(化边)解法二:由已知等式得CCRBBRAARcossin2cossin2cossin2 即CBAtantantan ),0(,CBA CBA 故ABC是等边三角形 练习：1在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。2在ABC中，060A，1a，2b c，判断ABC的形状。3判断满足以下条件的三角形形状，sinC=BABAcoscossinsin 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”

14、或“化角为边”三角形面积公式，S=21absinC，S=21bcsinA,S=21acsinB 例 3、在ABC中，求证：1;sinsinsin222222CBAcba 22a+2b+2c=2bccosA+cacosB+abcosC 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：1根据正弦定理，可设 Aasin=Bbsin=Ccsin=k 显然 k0，所以 左边=CkBkAkcba222222222sinsinsin=CBA222sinsinsin=右边 2根据余弦定理的推论，右边=2(bcbcacb2222+cacabac2222+a

15、babcba2222)=(b2+c2-a2)+(c2+a2-b2)+(a2+b2-c2)=a2+b2+c2=左边 变式练习 1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=63,求 a 及ABC的面积 例 4在ABC中，060A，1b，面积为32，求sinsinsinabcABC 的值 分析：可利用三角形面积定理111sinsinsin222SabCacBbcA以及正弦定理 sinsinabABsincCsinsinsinabcABC 6 解：由13sin22SbcA得2c，则2222cosabcbcA=3，即3a，从而sinsinsinabcABC 2sinaA 练习：1在ABC中，假设55a，1

16、6b，且此三角形的面积220 3S，求角 C 2在ABC中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积2224abcS，求角 C 答案：1060或0120；2045 小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。1在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2三角形各种类型的判定方法；3三角形面积定理的应用。课题:解三角形应用举例第一课时 授课类型：新授课 教学目标:知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关

17、测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例 2 这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 教学重点:实际问题中抽象出一

18、个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点:根据题意建立数学模型，画出示意图 教学过程：首先研究如何测量距离。1解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解(2)例 1、如图，设 A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A的同侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC的距离是 55m，BAC=51，ACB=75。求 A、B两点的距离(精确到 0.1m)7 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件告诉了边 AB的对角，AC为

19、已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出 AC的对角，应用正弦定理算出 AB边。解：根据正弦定理，得ACBABsin=ABCACsin AB=ABCACBACsinsin=ABCACBsinsin55=)7551180sin(75sin55=54sin75sin55 65.7(m)变式练习：两灯塔 A、B与海洋观察站 C的距离都等于 a km,灯塔 A在观察站 C的北偏东 30，灯塔 B在观察站 C南偏东 60，则 A、B之间的距离为多少？老师指导学生画图，建立数学模型。解略：2a km 例 2、如图，A、B两点都在河的对岸不可到达，设计一种测量 A、B两点间距离的方法。分析：

20、这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定 C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出 AC和 BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a，并且在 C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在ADC和BDC中，应用正弦定理得 AC=)(180sin)sin(a=)sin()sin(a BC=)(180sinsina=)sin(sina 计算出 AC和 BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出 AB两点间的距离 AB=cos22

21、2BCACBCAC 分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行比照、分析。变式训练：假设在河岸选取相距 40 米的 C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60 略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=206 评注：在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最正确的计算方式。学生阅读课本 4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。小结：解斜三角形应用题的一般步骤：1分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 2建模：根据已知条

22、件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解 8 斜三角形的数学模型 3求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解 4检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 课题:应用举例第二课时 授课类型：新授课 教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题。过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过 3 道例题的安排和练习的训练来稳固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导讨论

23、归纳，目的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学生更广阔的思考空间。情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力 教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。教学过程：共同探讨测量底部不可到达的建筑物高度这方面的问题 例 1、AB是底部 B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB的方法。分析：求 AB长的关键是先求 AE，在ACE中，如能求出 C点到建筑物顶部 A的距离 CA，再测出由 C点观察 A的仰角，就可以计算

24、出 AE的长。解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、B三点在同一条直线上。由在 H、G两点用测角仪器测得 A的仰角分别是、，CD=a，测角仪器的高是 h，那么，在ACD中，根据正弦定理可得 AC=)sin(sina AB=AE+h=ACsin+h=)sin(sinsina+h 例 2、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A的俯角=5404，在塔底 C 处测得 A处的俯角=501。已知铁塔 BC部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m)解:在ABC中,BCA=90+,ABC=90-,BAC=-,BAD=.根据正弦定理,)sin(BC=)90sin(AB 所以 AB=)si

25、n()90sin(BC=)sin(cosBC 解 RtABD中,得 BD=ABsinBAD=)sin(sincosBC 将测量数据代入上式,9 得 BD=)1500454sin(0454sin150cos3.27=934sin0454sin150cos3.27177(m)CD=BD-BC 177-27.3=150(m)答:山的高度约为 150 米.例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A处时测得公路南侧远处一山顶 D在东偏南15的方向上,行驶 5km后到达 B 处,测得此山顶在东偏南 25的方向上,仰角为 8,求此山的高度 CD.解:在ABC中,A=15,C=25-15=10

26、,根据正弦定理,ABCsin=CABsin,BC =CAABsinsin=10sin15sin5 7.4524(km)CD=BCtanDBC BCtan81047(m)答:山的高度约为 1047 米 小结：利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。课题:解三角形应用举例第三课时 授课类型：新授课 教学目标：知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安

27、排课本上的例 1，还针对性地选择了既具典型性有具启发性的 2 道例题，强调知识的传授更重能力的渗透。课堂中要充分表达学生的主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的探索精神。教学重点：能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 教学难点：灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 教学过程：在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？探讨关于角度这方面的测量问题。例 1、如图，一艘

28、海轮从 A出发，沿北偏东 75的方向航行 67.5 n mile后到达海岛 B,然后从 B出发,沿北偏东 32,距离精确到 0.01n mile)解：在ABC中，ABC=180-75+32=137，根据余弦定理，10 AC=ABCBCABBCABcos222 =137cos0.545.6720.545.6722 根据正弦定理,CABBCsin=ABCACsin sinCAB=ACABCBCsin =15.113137sin0.540.3255,所以 ,75-的方向航行,需要航行 113.15n mile 例 2、在某点 B处测得建筑物 AE的顶端 A的仰角为，沿 BE方向前进 30m，至点 C

29、处测得顶端 A的仰角为 2，再继续前进 103m至 D点，测得顶端 A的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE的高。解法一：用正弦定理求解由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=103，ADC=180-4，2sin310=)4180sin(30。因为sin4=2sin2cos2 cos2=23,得 2=30 =15，在 RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为 15m 解法二：设方程来求解设 DE=x，AE=h 在 RtACE中,(103+x)2+h2=302 在 RtADE中,x2+h2=(103)2 两式相减，得 x=53,h=15 在 RtACE

30、中,tan2=xh310=33 2=30,=15 答：所求角为 15，建筑物高度为 15m 解法三：用倍角公式求解设建筑物高为 AE=8，由题意，得 BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=103m 在 RtACE中，sin2=30 x-在 RtADE中，sin4=3104-得 cos2=23,2=30,=15，AE=ADsin60=15 答：所求角为 15，建筑物高度为 15m 例 3、某巡逻艇在 A处发现北偏东 45相距 9 海里的 C处有一艘走私船，正沿南偏东 75的方向以10 海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该

31、沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？解：如 图，设 该 巡 逻 艇 沿AB 方 向 经 过x小 时 后 在B 处 追 上 走 私 船，则CB=10 x,AB=14x,AC=9,ACB=75+45=120 (14x)2=92+(10 x)2-2910 xcos120 化简得 32x2-30 x-27=0，即 x=23,或 x=-169(舍去)所以 BC=10 x=15,AB=14x=21,11 又因为 sinBAC=ABBC120sin=211523=1435 BAC=3831,或BAC=14174 钝角不合题意，舍去，3831+45=8331 答：巡逻艇应该沿北偏东 8331 方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船.评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。小结：解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：1已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。2已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解。