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1、学习必备 欢迎下载 专题三 图形折叠型题、专题精讲:折叠的规律是：关注“两点一线”在翻折过程中，我们应关注“两点”，即对称点，思考自问“哪两个点是对称点?”；还应关注“一线”，即折线，也就是对称轴。这是解决问题的基础.折叠部分的图形，折叠前后，关于折痕成轴对称，两图形全等.折 叠图形中有相似三角形，常用勾股定理.、典型例题剖析：一折叠后求度数 例 1.如图,把一个长方形纸片沿 EF折叠后，点 D、C分别落在 D、C的位置，若EFB 65，则AED 等于（）A50 B55 C60 D65 例 2.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，EM，MF为折痕（如图所示），则EMF的度数为 变式：已知点
2、P是矩形 ABCD 边 AB上的任意一点（与点 A、B不重合）（1）如图，现将PBC沿 PC翻折得到PEC；再在 AD上取一点 F，将PAF沿 PF翻折得到PGF，并使得射线 PE、PG重合，试问 FG与 CE的位置关系如何，请说明理由；（2）在（1）中，如图，连接 FC，取 FC的中点 H，连接 GH、EH，请你探索线段 GH和线段 EH的大小关系，并说明你的理由；（3）如图，分别在 AD、BC上取点 F、C，使得APF=BPC ，与（1）中的操作相类似，即将PAF沿 PF翻折得到PFG，并将CPB 沿CP 翻折得到CPE，连接CF，取CF 的中点 H，连接 GH、EH，试问（2）中的结论还
3、成立吗？请说明理由 例 3.用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中BAC 度.E B A G B C E D F A P H 图 A B D P C C F E G H 图 G F B A C D P E 图 学习必备 欢迎下载 例 4.（1）观察与发现：小明将三角形纸片 ABC（AB AC）沿过点 A的直线折叠，使得 AC落在 AB边上，折痕为 AD，展开纸片（如图）；再次折叠该三角形纸片，使点 A和点 D重合，折痕为 EF，展平纸片后得到AEF（如图）小明认为AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由（2）
4、实践与运用：将矩形纸片 ABCD 沿过点 B的直线折叠，使点 A落在 BC边上的点 F处，折痕为 BE（如图）；再沿过点 E的直线折叠，使点 D落在 BE上的点 D处，折痕为 EG（如图）；再展平纸片（如图）求图中的大小 二、折叠后求面积 例 5.如图,有一矩形纸片 ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使 AD边落在 AB边上，折痕为 AE，再将AED以 DE为折痕向右折叠，AE与 BC交于点 F，则CEF的面积为（）A4 B6 C8 D10 例 6.如图，正方形硬纸片 ABCD 的边长是 4，点 E、F 分别是 AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则
5、图中阴影部分的面积是（）A2 B4 C8 D10 例 7.如图，ABCD 中，AB=3，BC=4，如果将该沿对角线 BD，求图中阴影部分的面积.图（2）例 5 图 A C D B 图 A C D B 图 F E E DC F B A 图 E D C A B F G C D A D E C B F G 图 图 折痕成轴对称两图形全等折叠图形中有相似三角形常用勾股定理典型例式已知点是矩形边上的任意一点与点不重如图现将沿翻折得到再在上取在上取点使得与中的操作相类似即将沿翻折得到并将沿翻折得到连接取学习必备 欢迎下载 变式：如图，把一个矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA、OC 分别落在x轴
6、、y轴上，连结OB，将纸片OABC 沿OB折叠点A落在A的位置上.若OB 5，BC/OC 0.5，求点A的坐标为?三折叠后求长度 例 8.已知矩形纸片 ABCD，AB 2，AD 1 将纸片折叠，使顶点 A与边 CD上的点 E重合.（1）如果折痕 FG分别与 AD，AB交于点 F，G（如图（1），）AF 23.求 DE的长.（2）如果折痕 FG分别与 CD，AB，AE交于点 F，G，O（如图（2），），O到 BC的距离等于 OE，求折痕 FG的长.例 9.如图，已知边长为 5 的等边三角形 ABC纸片，点 E在 AC边上，点 F 在 AB边上，沿着 EF折叠，使点 A落在 BC边上的点 D的位置
7、，且EDBC，则 CE的长是（）A.10315 B.105 3 C.535 D.2010 3 四折叠后得图形 例 10.将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到、两部分，将展开后得到的平面图形是（）A矩形 B三角形 C梯形 D菱形 例 11.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片 ABCD，使 AD与 BC重合，得到折痕 EF，把纸片展开（如图 1）；第二步：再一次折叠纸片，使点 A落在 EF上，并使折痕经过点 B，得到折痕 BM，同时得到线段 BN（如图 2）A B C D E F G A B C D E F G 折痕成轴对称两
8、图形全等折叠图形中有相似三角形常用勾股定理典型例式已知点是矩形边上的任意一点与点不重如图现将沿翻折得到再在上取在上取点使得与中的操作相类似即将沿翻折得到并将沿翻折得到连接取学习必备 欢迎下载 请解答以下问题：（1）如图 2，若延长 MN交 BC于 P，BMP是什么三角形？请证明你的结论；（2）在图 2 中，若 AB=a，BC=b，a、b 满足什么关系，才能在矩形纸片 ABCD 上剪出符合（1）中结论的三角形纸片 BMP？（3）设矩形 ABCD 的边 AB=2，BC=4，并建立如图 3 所示的直角坐标系设直线 BM 为 y=kx，当M BC=60 时，求 k的值此时，将ABM 沿 BM 折叠，点
9、 A是否落在 EF上（E、F分别为 AB、CD中点），为什么？例 12.如图 1 所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（）例 13.如图，已知 BC为等腰三角形纸片 ABC的底边，AD BC，AD=BC.将此三角形纸片沿 AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4 五折叠后得结论 例14.一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为 .六折叠和剪切的应用 例 15.在一张长 12cm、宽 5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH
10、（见方案一），张丰同学沿矩形的对角线 AC折出CAE=DAC，ACF=ACB的方法得到菱形 AECF（见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？A D H F B C G（方案一）A D F B C（方案二）图 1 图 2 图 3 折痕成轴对称两图形全等折叠图形中有相似三角形常用勾股定理典型例式已知点是矩形边上的任意一点与点不重如图现将沿翻折得到再在上取在上取点使得与中的操作相类似即将沿翻折得到并将沿翻折得到连接取学习必备 欢迎下载 七以折叠为背景的存在性问题 例 16.已知矩形纸片 OABC 的长为 4，宽为 3，以长 OA所在的直线为 x 轴，O为坐标原点
11、建 立平面直角坐标系；点 P是 OA边上的动点（与点 O、A不重合），现将POC沿 PC翻折 得到PEC，再在 AB边上选取适当的点 D，将PAD沿 PD翻折，得到PFD，使得 直线 PE、PF重合（1）若点 E落在 BC边上，如图，求点 P、C、D的坐标，并求过此三点的抛物线的函数关系式；（2）若点 E落在矩形纸片 OABC 的内部，如图，设 OP x，AD y，当 x 为何值时，y 取得最大值？（3）在（1）的情况下，过点 P、C、D三点的抛物线上是否存在点 Q使PDQ是以 PD为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点 Q的坐标 八以折叠为背景的探索题 例 17.已知：矩形
12、纸片 ABCD 中，AB 26cm，BC 18.5cm，点 E在 AD上，且 AE 6cm，点 P 是 AB边上一动点，按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点 P与点 E重合，展开纸片得折痕 MN（如图（1）所示）；步骤二，过点 P作 PTAB交 MN所在的直线于点 Q，连结 QE（如图（2）所示）；（1）无论点 P在 AB边上任何位置，都有 PQ QE（填“”、“=”、“”号）（2）如图（3）所示，将矩形纸片 ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：当点 P在 A点时，PT与 MN交于点 Q1，Q1点的坐标是（，）；当 PA 6cm时，PT与 MN交于点 Q2，Q2点的坐标是（，）
13、；当 PA 12cm时，在图（3）中画出 MN，PT（不要求写画法）并求出 MN与 PT的交点 Q3的坐标；（3）点 P在在运动过程中，PT与 MN形成一系列的交点 Q1，Q2，Q3观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.C D E M B C（P）C y E B F D A P x O 图 A B D F E C O P x y 图 折痕成轴对称两图形全等折叠图形中有相似三角形常用勾股定理典型例式已知点是矩形边上的任意一点与点不重如图现将沿翻折得到再在上取在上取点使得与中的操作相类似即将沿翻折得到并将沿翻折得到连接取学习必备 欢迎下载 A B C D P E M N T Q（A）B C D E x N 1Q O 6 12 18 24 6 12 18 2Q y 折痕成轴对称两图形全等折叠图形中有相似三角形常用勾股定理典型例式已知点是矩形边上的任意一点与点不重如图现将沿翻折得到再在上取在上取点使得与中的操作相类似即将沿翻折得到并将沿翻折得到连接取