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1、2021-2021学年安徽省合肥市一中、六中、八中高一下学期期末联考数学试题 一、单项选择题 1设复数 z 满足1 242i zi，那么 z=A3i B3i C2i D2i【答案】C【分析】利用复数的除法运算法那么求解即可得出【详解】解：4212422121212iiiziiii，应选：C 2向量 1,2a，,1cm，假设 aac，那么实数 m 的值为 A9 B7 C17 D21【答案】B【分析】由垂直的坐标表示计算【详解】由(1,3)acm ，因为 aac，所以 160aacm ，解得7m 应选：B 3 某校高一年级 15 个班参加庆祝建党 100 周年的合唱比赛，得分如下：85 87 88
2、 89 89 90 91 91 92 93 93 93 94 96 98，那么这组数据的 40%分位数、90%分位数分别为 A90.5，96 B91.5，96 C92.5，95 D90，96【答案】A【分析】根据40%分位数及90%分位数的计算规那么计算可得；【详解】解：因为一个 15 个数据，所以1540%6，那么40%分位数为从小到大排列的第6个和第 7 个数据的平均数，即为909190.52，15 90%13.5，那么90%分位数为从小到大排列的第14个数据为96，应选：A 4从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，以下各对事件中，互斥而不对立的是 A“至少一个白
3、球和“都是红球 B“至少一个白球和“至少一个红球 C“恰有一个白球和“恰有一个红球 D“恰有一个白球和“都是红球【答案】D【分析】根据互斥事件与对立事件的概念依次判断各个选项即可得到结果.【详解】A 选项中“至少一个白球和“都是红球二者是互斥事件，同时二者必发生其一，是对立事件，A 错误；B 选项中“至少一个白球和“至少一个红球有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，B 错误；C 选项中“恰有一个白球和“恰有一个红球有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，C 错误；D 选项中“恰有一个白球和“都是红球不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球事件，故不是对立事件，
4、D 正确.应选：D.5 设，是两个不同的平面，a，b 是两条不同的直线，以下说法正确的选项是 假设/，/a，那么/a或a 假设a，b，那么/a b 假设a，a，那么/假设，b，a，ab，那么a A B C D【答案】D【分析】根据面面平行的性质，线面垂直的性质，面面平行判定这，面面垂直的性质分别判断各命题【详解】一条直线与两个平行平面中的一个平行，那么这条直线在另一平面内或与另一平面平行，正确；垂直于同一平面的两条直线平行，这是线面垂直的性质定理，正确；垂直于同一直线的两个平面平行，即两个平面的法向量相同，显然它们平行，正确；两个平面垂直，一个平面内与交线垂直的直线必与另一平面垂直，这是面面垂
5、直的性质定理，正确 应选：D 6在一次体检中，甲、乙两个班学生的身高统计如下表：班级 人数 平均身高 方差 甲 20 x甲 10 乙 30 x乙 15 其中x甲x乙5，那么两个班学生身高的方差为 A19 B18 C18.6 D20【答案】A【分析】求出总平均值，再根据方差公式计算方差【详解】由5xx甲乙，所以5xx甲乙+，设两个班总均值为x，那么203020(5)3025050 xxxxxx 甲乙乙乙乙，所以两个班的方差为222203010()15()20302030sxxxx甲乙 22203010315(2)1920302030 应选：A 7在一个掷骰子的试验中，事件 A 表示“向上的面小于
6、 5 的偶数点出现，事件 B 表示“向上的面小于 4 的点出现，那么在一次试验中，事件AB发生的概率为 A12 B23 C13 D56【答案】B【分析】求出事件AB后易得概率【详解】由题意AB“向上的面的点数为 2 或 4 或 5 或 6，所以其概率为4263P 应选：B 8在ABC中，coscosacAbcB，那么ABC的形状是 A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰或直角三角形【答案】D【分析】由余弦定理化角为边，然后通过代数式的变形可得【详解】因为coscosacAbcB，所以22222222bcaacbabba ，222222222()2()a ba bcaabb aca ，
7、222()()0ab cab，所以ab或222cab，所以ABC为等腰三角形或直角三角形 应选：D 9如图，矩形ABCD中，3AB，正方形ADEF的边长为 1，且平面ABCD 平面ADEF，那么异面直线BD与FC所成角的余弦值为 A77 B77 C55 D55【答案】C【分析】取 AF 的中点 G，联结 AC 交 BD 于 O 点，异面直线BD与FC所成角即直线BD与OG所成角.在OBG中，分别求得,OB OG BG，利用余弦定理即可求得cosBOG，从而求得异面直线夹角的余弦值.【详解】取 AF 的中点 G，联结 AC 交 BD 于 O 点，如下图，那么OGCF，且12OGCF，异面直线BD
8、与FC所成角即直线BD与OG所成角，由平面ABCD 平面ADEF知，AF 平面ABCD，由题易知2ACBD，22125CF，那么1522OGCF，112OBBD，22113()(3)22BG，那么在OBG中，由余弦定理知，2222225131()()522cos255212OBOGBGBOGOB OG，由两直线夹角取值范围为0,2，那么直线BD与OG所成角即异面直线BD与FC所成角的余弦值为55 应选：C【点睛】方法点睛：将异面直线平移到同一个平面内，利用余弦定理解三角形，求得线线夹角.10如图，在ABC中，ABBC6，90ABC，点D为AC的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，使PCPD
9、，连接PC，得到三棱锥PBCD，假设该三棱锥的所有顶点都在同一球面，那么该球的外表积是 A B3 C5 D7【答案】D【详解】由题意可得该三棱锥的面PCD是边长为3的正三角形，且BD 平面PCD，设三棱锥PBCD的外接球球心为O，PCD的外接圆的圆心为1O，那么1OO 平面PCD，所以四边形1OO DB为直角梯形.由3BD,11O D 及OBOD，可得72OB，即为外接球半径，故其外表积为7.点睛：设几何体底面外接圆半径为x,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规那么图形的外心,可利用正弦定理来求.假设长方体长宽高分别为,a b c那么其体对角线长为22
10、2abc;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心 11如图，在平行四边形ABCD中，22ADAB，120BAD，动点 M 在以点 C 为圆心且与BD相切的圆上，那么AM BD的最大值是 A33 B332 C53 D352【答案】A【分析】先求出ACAB，然后以,AB AC为,x y轴建立平面直角坐标系，求出圆C的方程丹凤 出M点坐标，用坐标表示向量积，结合三角函数性质可得最大值【详解】由题意3ABC，所以222122 1 2cos33AC ，即222ACABBC，所以2CAB，以,AB AC为,x y轴建立平面直角
11、坐标系，如图，那么(1,0)B，(0,3)C，(1,3)D 直线BD方程为101 130 xy，即3230 xy，所以圆C半径为2 3321734r，圆C方程为223(3)7xy，设2121(cos,3sin)77M，2121(cos,3sin)77AM，(2,3)BD，所以2 213 7cossin377AM BD，显然其最大值为222 213 733377 应选：A 12四棱锥PABCD的底面是边长为 8 的正方形，PD 平面ABCD，且4PD，E，F，M 为PA，PC，AB的中点，那么经过 E，F，M 的平面截四棱锥PABCD的截面面积为 A24 2 B30 2 C36 2 D42 2【
12、答案】B【分析】取BC中点G，PD的四等分点I，顺次连接E、M、G、F、I，那么平面EMGFI就是经过E，F，M的平面截四棱锥PABCD所得截面，由此能求出经过E，F，M的平面截四棱锥PABCD所得截面的面积【详解】解：取BC中点G，PD的四等分点I，顺次连接E、M、G、F、I，设MG 交 BD 于 N，连接NI交 EF 于 J，那么 N 也为 BD 的四等分点，IN/PB，ME/PB，那么 ME/IN，同理 GF/IN，那么E、M、G、F、I共面，那么平面EMGFI就是经过E，F，M的平面截四棱锥PABCD所得截面，四棱锥PABCD的底面是边长为 8 的正方形，4PD，E，F，M为PA，PC
13、，AB的中点，8 2ACBD，2212PBBDPD 4 22ACEFGM，62PBEMGFNJ，且ABCD是矩形，31294IN ，963IJINNJ ,经过E，F，M的平面截四棱锥PABCD所得截面的面积为：14 264 2330 22EFIEFGMSSS 矩形 应选：B 二、填空题 13在ABC中，23B，7AC，1AB，那么BC _.【答案】2【分析】由余弦定理列方程求解【详解】由余弦定理得2222cosACABBCAB BCB，即22712cos3BCBC，整理得260BCBC，解得2BC 负数舍去 故答案为：2 14 底面直径为2的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，那么该圆锥的外表积为
14、_.【答案】3【分析】由展开图求出圆锥母线长，再由圆锥外表积公式计算【详解】设圆锥母线长为l，由题意1r，所以22rll，2l，所以圆锥外表积为221 213Srlr 故答案为：3 15在某次测试中，甲、乙通过的概率分别为 0.8，0.5，假设两人测试是否通过相互独立，那么至少有一人通过的概率为_.【答案】0.9【分析】通过其对立事件两人都未通过来计算概率【详解】由题意两人都未通过的概率为0.20.50.1，所以至少有一人通过的概率为1 0.10.9 故答案为：0.9 16在ABC中，角 A，B，C 满足222sin3sin3sin2 3sinsinsinABCABC，那么C _.【答案】6【
15、分析】由正弦定理可得222332 3sinabcbcA，结合余弦定理可得 22sin()=62bcAbc，利用三角函数同角关系得出2221cos()=()62Abcbc，结合二次根式的意义得到BC和2=3A，求出角 C 即可.【详解】因为222sin3sin3sin2 3sinsinsinABCABC 由正弦定理，得222332 3sinabcbcA，由余弦定理，得2222cosabcbcA，所以22332 3sin=bcbcA222cosbcbcA，整理，得22sin()=62bcAbc，所以2222221cos()=1-()=()622bcAbcbcbc，因为222222()0()0bcb
16、c，所以22=0bc，得bc，即BC，此时cos()=06A，又0()A，所以5()666A ，所以=62A，得2=3A，所以6C.故答案为：6 三、解答题 17复数 1124zaiii aR .1假设z在复平面中所对应的点在直线0 xy 上，求a的值；2求1z的取值范围.【答案】11a ；27 2,2.【分析】1化简z，得z在复平面中所对应的点的坐标，代入直线0 xy 计算；2代入模长公式表示出1z，再利用二次函数的性质求解最值即可.【详解】1化简得 11243(5)zaiiiaai，所以z在复平面中所对应的点的坐标为3,5a a，在直线0 xy 上，所以3(5)0 aa，得1a .2222
17、1(2)(5)(2)(5)2629 zaaiaaaa，因为aR，且24926292aa，所以27 2126292 zaa，所以1z的取值范围为7 2,2.18某校高一年级为了提高教学效果，对老师命制的试卷提出要求，难度系数须控制在0.65,0.7难度系数是指学生得分的平均数与试卷总分的比值，例如：总分值为 100分的试卷平均分为 68 分，那么难度系数680.68100，某次数学考试总分值 100 分后，王老师根据所带班级学生的等级来估计高一年级 1800 人的成绩情况，学生的成绩分为 A，B，C，D，E 五个等级，统计数据如下图，根据图中的数据，答复以下问题：1试估算该校高一年级学生获得等级
18、为 B 的人数.2假设等级 A，B，C，D，E 分别对应 90 分，80 分，70 分，60 分，50 分，请问按王老师的估计：本次考试试卷命制是否符合要求.3王老师决定对成绩为 E 的 16 名学生其中男生 4 人，女生 12 人先找 4 人进行单独辅导，按分层抽样抽取的 4 人中任取 2 人，求恰好抽到 1 名男生的概率.【答案】1252 人；2符合要求；312.【分析】1用样本频率估计总体频率后可得；2根据统计图表数据计算均值后可得；3按分层抽样，抽到的 4 人中男生 1 人，女生 3 人，可用列举法写出任取 2 人的方法，得抽取的方法数后计算概率【详解】解析：1高一年级获得成绩为 B
19、的人数为141800252100人.2王老师所带班级平均分为90780 147041602250 1667.4100 ，所以估计难度系数为 0.674，符合要求.3按分层抽样，抽到的 4 人中男生 1 人，编号为a，女生 3 人编号为 1，2，3，4 人中任取 2 人有1,2,3,12,13,23aaa共有 6 种取法，2 人中恰有 1 名男生有1,2,3aaa共 3 种取法，所以恰好抽到 1 名男生的概率为3162.19ABC的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且sinsinsin3sinbACacBC.1求 A；2假设ABC的面积为 2，求ABC的周长的最小值.【答案】16
20、A；22 34 22.【分析】1由正弦定理化角为边，然后由余弦定理可求得角A；2由三角形面积求得bc，再由根本不等式求得bc的最小值，结合余弦定理求得a的最小值，从而得周长最小值【详解】解析：1由，得 sin3sinsinsinbBCacAC，由正弦定理，得 3b bcacac，即2223bcabc.再由余弦定理得2223cos22bcaAbc.又0A，所以6A.2由1及得，ABC的面积为1sin226ABCSbc，所以8bc.又24 2bcbc，当且仅当2 2bc 时等号成立，于是 222222cos23168 3abcbcAbcbcbcbc ，所以三角形周长 2168 3168 34 22
21、 324 2abcbcbc ，所以周长最小值为2 34 22，此时2 32a，2 2bc.20如图，三棱柱111ABCABC中，侧面11ABB A是边长为 2 的菱形，且160ABB，点 M，G 分别在1CC，1AB上，且11MCGBa，212BC.1证明：直线/MG平面111ABC.2 假设点 G 恰好是点1C在平面11ABB A内的正投影，此时32a，求三棱锥111MABC的体积.注：本大题用空间坐标系解题一律不给分【答案】1证明见解析；234.【分析】1过 G 作1/GE AA交11AB于 E，连接1C E，证明1MGEC是平行四边形，得1/MGC E后可证得线面平行；2用换底法与体积公
22、式求体积：1 111 1111 1MA B CGA B CCMA BVVV【详解】解析：1过 G 作1/GE AA交11AB于 E，连接1C E，因为11AB A为等边三角形，所以1GEGB，又11GBMC，所以1GEMC，又11/MCAA，11/AAMC,所以1/GE MC，所以四边形1MGEC为平行四边形，所以1/MG EC，又MG 平面111ABC，1EC 平面111ABC，所以直线/MG平面111ABC.2因为212BC，所以11212BC，又132GB，所以，在直角三角形11C GB中，13C G，1 1133 32 sin60224AB GS ，又/MG平面111ABC 所以1 1
23、 11 1 111 113 333344MAB CGAB CCAB GVVV.【点睛】此题考查证明线面平行，考查求棱锥的体积，求三棱锥的体积常常利用换底法，一是利用线面平行，换顶点不换底；二是换底换顶点，三棱锥的每个面都可以作为底，另外一个点作为顶点这样可选择高易求的点为顶点，求出底面积即可 21 合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2021 年 8 月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形ABCD的区域进行改造，如下图，其中4DCa米，2DAa米，ABC为正三角形.改造后BCD将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，A
24、BD将作为对三国历史文化的介绍区域.1当3ADC时，求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD的面积；2求旅游观光、休闲娱乐的区域BCD的面积的最大值.【答案】1224 3ma；22244 3ma.【分析】1由余弦定理求得AC，再由正弦定理求得ACD，求出BCBC，易得面积；2 不妨设ADC，ACD，用余弦定理表示出2AC，用正弦定理表示出sin，再用余弦定理表示出cos，然后表示出BCD的面积，利用两角和的正弦公式展开代入2sin,cos,AC，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值 【详解】解析：12222cos3ACADDCAD DC，2 3ACa，又sinsin3ACADACD
25、，1sin2ACD，易知ACD是锐角，所以6ACD，2BCD，22142 34 3m2BCDSaaa，2不妨设ADC，ACD，于是由余弦定理得2220 16cosACa，22 sinsinsinsinACaaAC，22222124168coscos8ACaaACaaACaaaAC，14sin23BCDSaAC 2(sincoscossin)33a AC2222sin1238aACaACACAC 2222sin2 3cos4 34sin4 344 33aaa，当且仅当5 326 时取等号，BCDS最大值为2244 3ma.【点睛】此题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表
26、示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值 22如图，在直三棱柱111ABCABC中，BD 平面1ABC，其垂足 D 落在直线1BC上.1求证：1ACBC；2 假设 P 是线段AB上一点，3BD，2BCAC，三棱锥1BPAC的体积为33，求二面角1PBCA的平面角的正弦值.【答案】1证明见解析；21313.【分析】1由直三棱柱的定义可得1ACBB，由BD 平面1ABC，得ACBD，从而由线面垂直的判定可得AC 平面11BB C C，从而得1ACBC；2由于ACBC，2BCAC，可得2 2AB，设APx，那么22PAC
27、Sx，由1RtRtB BCBDC可得12 3BB，从而由三棱锥1BPAC的体积为33，可求得22x，那么13APPB，连接AD，过 P 作/PO BD交AD于 O 点，过 P 作1PEBC，E 为垂足，连接OE，可证得PEO为二面角1PBCA的平面角，然后PEO中求解即可【详解】1证明：三棱柱111ABCABC是直三棱柱，1ACBB，又BD 平面1ABC，ACBD，1BDBBB，AC 平面11BB C C，1B C 平面11BB C C，1ACBC.2解：由1知AC 平面11BB C C，ACBC，2BCAC，2 2AB，设APx，那么12222PACSxx ，1BDBC，1RtRtB BCB
28、DC，2BC，3BD，12 3BB，11232 3323BPACVx，22x，13APPB，连接AD，过 P 作/PO BD交AD于 O 点，易知1344POBD，过 P 作1PEBC，E 为垂足，连接OE，1BCPE，1BCPO，1PEPOPBC 平面POE，OE 平面POE，所以1BCOE，那么PEO为二面角1PBCA的平面角，在1PB C中，易求102PC，1662PB，14BC，由等面积法可知394PE，所以3134sin13394POPEOPE.【点睛】关键点点睛：此题考查线线垂直的判定和二面角的求解，解题的关键是利用条件在图中连接AD，过 P 作/PO BD交AD于 O 点，过 P 作1PEBC，E 为垂足，连接OE，从而可得PEO为二面角1PBCA的平面角，然后求解即可，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题