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1、 1 二次函数 一、选择题：1.抛物线3)2(2xy的对称轴是（）A.直线3x B.直线3x C.直线2x D.直线2x 2.二次函数cbxaxy2的图象如右图，则点),(acbM在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知二次函数cbxaxy2，且0a，0cba，则一定有（）A.042 acb B.042 acb C.042 acb D.acb420 4.把抛物线cbxxy2向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图象的解析式是532xxy，则有（）A.3b，7c B.9b，15c C.3b，3c D.9b，21c 5.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二
2、次函数cxcaaxy)(2与一次函数caxy的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）O x y A O x y B O x y C O x y D 6.抛物线322xxy的对称轴是直线（）A.2x B.2x C.1x D.1x 7.二次函数2)1(2xy的最小值是（）A.2 B.2 C.1 D.1 8.二 次 函 数cbxaxy2的 图 象 如 图 所 示，若cbaM24cbaN，baP 4，则（）A.0M，0N，0P B.0M，0N，0P C.0M，0N，0P D.0M，0N，0P O x y 2 1-1 O x y 2 二、填空题：9.将二次函数322xxy配方成khxy2)(的形式
3、，则 y=_.10.已知抛物线cbxaxy2与 x 轴有两个交点，那么一元二次方程02cbxax的根的情况是_.11.已知抛物线cxaxy2与 x 轴交点的横坐标为1，则ca=_.12.请你写出函数2)1(xy与12xy具有的一个共同性质：_.13.如图，抛物线的对称轴是1x，与 x 轴交于 A、B 两点，若 B 点坐标是)0,3(，则 A 点的坐标是_.OxyAB1116 题图 三、解答题：1.已知函数12bxxy的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当0 x时，求使 y2 的 x 的取值范围.2.如右图，抛物线nxxy52经过点)0,1(A，与 y 轴交于点 B.（1）求
4、抛物线的解析式；（2）P 是 y 轴正半轴上一点，且PAB 是以 AB 为腰的等腰三角形，试求点 P 的坐标.3.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）.O x y 1-1 B A 3（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到 30 万元；（3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？提高题 1.如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时
5、水面 AB的宽为 20m，如果水位上升 3m 时，水面 CD 的宽是10m.（1）求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时 40km 的速度开往乙地，当行驶 1 小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时 0.25m 的速度持续上涨（货车接到通知时水位在 CD 处，当水位达到桥拱最高点 O 时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？2.某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套.经过一
6、段时间的经营发现：当每套机械设备的月租金为270元时，恰好全部租出.在此基础上，当每套设备的月租金提高 10 元时，这种设备就少租出一套，且未租出的一套设备每月需要支出费用（维护费、管理费等）20 元，设每套设备的月租金为 x（元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入支出费用）为 y（元）.（1）用含 x 的代数式表示未租出的设备数（套）以及所有未租出设备（套）的支出费用；（2）求 y 与 x 之间的二次函数关系式；（3）当月租金分别为 4300 元和 350 元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该租出多少套机械设备？请你简要说明理由；（4）请把（2）中所求的二次函数配方成a
7、bacabxy44)2(22的形式，并据此说明：当 x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益是多少？4 参考答案 一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D D A A D D D B D 二、填空题：1.2)1(2xy 2.有两个不相等的实数根 3.1 4.（1）图象都是抛物线；（2）开口向上；（3）都有最低点（或最小值）5.358512xxy或358512xxy或178712xxy或178712xxy 6.122xxy等（只须0a，0c）7.)0,32(8.3x，51x，1，4 三、解答题：1.解：（1）函数12bxxy的图象经过点（3，2），213
8、9 b.解得2b.函数解析式为122xxy.（2）当3x时，2y.根据图象知当 x3 时，y2.当0 x时，使 y2 的 x 的取值范围是 x3.2.解：（1）由题意得051n.4n.抛物线的解析式为452xxy.（2）点 A 的坐标为（1，0），点 B 的坐标为)4,0(.OA=1，OB=4.在 RtOAB 中，1722OBOAAB，且点 P 在 y 轴正半轴上.当 PB=PA 时，17PB.417 OBPBOP.此时点 P 的坐标为)417,0(.当 PA=AB 时，OP=OB=4 此时点 P 的坐标为（0，4）.3.解：（1）设 s 与 t 的函数关系式为cbtats2，5 由题意得；5
9、.2525,224,5.1cbacbacba或.0,224,5.1ccbacba 解得.0,2,21cba tts2212.（2）把 s=30 代入tts2212，得.221302tt 解得101t，62t（舍去）答：截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元.（3）把7t代入，得.5.10727212s 把8t代入，得.16828212s 5.55.1016.答：第 8 个月获利润 5.5 万元.4.解：（1）由于顶点在 y 轴上，所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为1092 axy.因为点)0,25(A或)0,25(B在抛物线上，所以109)25(02 a，得12518a.因此所
10、求函数解析式为109125182xy（25x25）.（2）因为点 D、E 的纵坐标为209，所以10912518209，得245x.所以点 D 的坐标为)209,245(，点 E 的坐标为)209,245(.所以225)245(245DE.因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.01100225（米）.5.解：（1）AB=3，21xx，312xx.由根与系数的关系有121xx.11x，22x.OA=1，OB=2，221amxx.1tantanABCBAC，1OBOCOAOC.OC=2.2m,1a.此二次函数的解析式为22xxy.（2）在第一象限，抛物线上存在一点P，使 SPAC=6.解法
11、一：过点 P 作直线 MNAC，交 x 轴于点 M，交 y轴于 N，连结 PA、O A B M x P N y C 6 PC、MC、NA.MNAC，SMAC=SNAC=SPAC=6.由（1）有 OA=1，OC=2.6121221CNAM.AM=6，CN=12.M（5，0），N（0，10）.直线 MN 的解析式为102 xy.由,2,1022xxyxy 得；4311yx18,422yx（舍去）在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P，使 SPAC=6.解法二：设 AP 与 y 轴交于点),0(mD（m0）直线 AP 的解析式为mmxy.,22mmxyxxy 02)1(2mxmx.1mxxPA，2
12、 mxP.又 SPAC=SADC+SPDC=PxCDAOCD2121=)(21PxAOCD.6)21)(2(21mm，0652 mm 6m（舍去）或1m.在 第一象限，抛物线上存在点)4,3(P，使 SPAC=6.提高题 1.解：（1）抛物线cbxxy2与 x 轴只有一个交点，方程02cbxx有两个相等的实数根，即042 cb.又点 A 的坐标为（2，0），024cb.由得4b，4a.7（2）由（1）得抛物线的解析式为442xxy.当0 x时，4y.点 B 的坐标为（0，4）.在 RtOAB 中，OA=2，OB=4，得5222OBOAAB.OAB 的周长为5265241.2.解：（1）76)3
13、4()10710710(1022xxxxxS.当3)1(26x时，16)1(467)1(42最大S.当广告费是 3 万元时，公司获得的最大年利润是 16 万元.（2）用于投资的资金是13316万元.经分析，有两种投资方式符合要求，一种是取 A、B、E 各一股，投入资金为13625（万元），收益为0.55+0.4+0.9=1.85（万元）1.6（万元）；另一种是取 B、D、E 各一股，投入资金为 2+4+6=12（万元）1.6（万元）.3.解：（1）设抛物线的解析式为2axy，桥拱最高点到水面CD 的距离为 h 米，则),5(hD，)3,10(hB.3100,25haha 解得.1,251ha
14、抛物线的解析式为2251xy.（2）水位由 CD 处涨到点 O 的时间为 10.25=4（小时），货车按原来速度行驶的路程为 401+404=200280，货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.设货车的速度提高到 x 千米/时，当2801404x时，60 x.要使货车安全通过此桥，货车的速度应超过 60 千米/时.4.解：（1）未出租的设备为10270 x套，所有未出租设备的支出为)5402(x元.（2）54065101)5402()1027040(2xxxxxy.540651012xxy.（说明：此处不要写出 x 的取值范围）（3）当月租金为 300 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，
15、此时出租的设备为 37 套；当月租金为 350 元时，租赁公司的月收益为 11040 元，此时出租的设备为 32 套.因为出租 37 套和 32 套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应选择出租32 套；如果考虑市场占有率，应选择出租 37 套.（4）5.11102)325(1015406510122xxxy.当325x时，y 有最大值 11102.5.但是，当月租金为 325 元时，租出设备套数为 34.5，而 34.5 不是整数，故租出设备应为 34 套或 35 套.即当月租金为为 330 元（租出 34 套）或月租金为 320 元（租出 35 套）时，租赁 8 公司的月收益最大，最大月收益均为11100 元.