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1、名校真题 测试卷 10 （数论篇一）1、（05 年人大附中考题）有_个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。2、（05 年 101 中学考题）如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的 9 倍，问这个两位数 是_。3 （05 年首师附中考题）121+2022121+5051313131321212121212121=_。4 （04 年人大附中考题）甲、乙、丙代表互不相同的 3 个正整数，并且满足：甲 甲=乙+乙=丙 135那么甲最小是_。(02 年人大附中考题)下列数不是八进制数的是()A、125 B、126 C
2、、127 D、128 【附答案】1 【解】：6 2 【解】：设原来数为 ab，这样后来的数为 a0b,把数字展开我们可得：100a+b=9(10a+b),所以我们可以知道 5a=4b,所以 a=4,b=5,所以原来的两位数为 45。3 【解】：周期性数字，每个数约分后为121+221+521+1321=1 4 【解】：题中要求丙与 135 的乘积为甲的平方数，而且是个偶数（乙+乙），这样我们分解 135=5333，所以丙最小应该是 2253，所以甲最小是：2335=90。5 【解】：八进制数是由除以 8 的余数得来的，不可能出现 8，所以答案是 D。第十讲 小升初专项训练 数论篇（一）一、小升
3、初考试热点及命题方向 数论是历年小升初的考试难点，各学校都把数论当压轴题处理。由于行程题的类型较多，题型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼。数论内容包括：整数的整除性，同余,奇数与偶数,质数与合数,约数与倍数,整数的分解与分拆等。作为一个理论性比较强的专题，数论在各种杯赛中都会占不小的比重，而且数论还和数字谜,不定方程等内容有着密切的联系,其重要性是不言而喻的。二、考点预测 的小升初考试将继续以填空和大题形式考查数论，命题的方向可能偏向小题考察单方面的知识点，大题则需综合运用数的整除，质数与合数，约数倍数以及整数的分拆等方法，希望同学们全面掌握数论的几大知识点，能否在考试中取得高分解
4、出数论的压轴大题是关键。三、基本公式 1）已知 b|c,a|c,则a,b|c,特别地，若(a,b)=1,则有 ab|c。讲解练习：若 3a75b 能被 72 整除，问 a=,b=.（迎春杯试题）2）已知 c|ab，(b,c)=1,则 c|a。3）唯一分解定理：任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即 n=p11a p22a.pkak（#)其中 p1p2.bcd 那么从小到大的第 5 个就是 dacb,它是 5 的倍数，因此 b=0 或 5，注意到 bcd,所以 b=5;从大到小排列的第 2 个是 abdc,它是不能被 4 整除的偶数；所以 c 是偶数，cb=5，c=4 或 2
5、 从小到大的第二十个是 adbc,第五个是 dacb,它们的差在 3000-4000之间，所以 a=d+4；因为 ab,所以 a 至少是 6，那么 d 最小是 2，所以 c 就只能是 4。而如果 d=2，那么 abdc 的末 2 位是 24，它是 4 的倍数，和条件矛盾。因此 d=3,从而 a=d+4=3+4=7。这 24 个四位数中最大的一个显然是 abcd,我们求得了 a=7,b=5,c=4,d=3 所以这 24 个四位数中最大的一个是 7543。【例 2】（）一个 5 位数，它的各个位数字和为 43，且能被 11 整除，求所有满足条件的 5 位数？思路：现在我们有两个入手的选择，可以选择
6、数字和，也可以选择被 11 整除，但我们发现被 11 整除性质的运用要具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手 【解】：5 位数数字和最大的为 95=45，这样 43 的可能性只有 9，9，9，9，7 或 9，9，9，8，8。这样我们接着用 11 的整除特征，发现符合条件的有 99979，97999，98989 符合条件。【例 3】（）由 1，3，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？【解】：各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28 所以偶数位和奇数位上数字和均为 14 为了使得该数最大，首位必须是 8，第 2 位是 7，14-8=6 那么第
7、 3 位一定是 5，第 5 位为 1 该数最大为 875413。拓展：一个三位数，它由 0，1，2，7，8 组成，且它能被 9 整除，问满足条件的总共有几个？【例 4】（）一个学校参加兴趣活动的学生不到 100 人，其中男同学人数超过总数的 4/7，女同学的人数超过总数的 2/5。问男女生各多少人？【来源】：06 年理工附入学测试题 【解】：男生超过总数的 4/7 就是说女生少个总数的 3/7，这样女生的范围在 2/53/7 之间，同理可得男生在 4/73/5 之间，这样把分数扩大，我们可得女生人数在 28/7030/70 之间，所以只能是 29 人，这样男生为 41 人。2 质数与合数（分解
8、质因数）【例 5】（）2005684375最后 4 位都是 0,请问里最小是几?【解】：先分析 123410 的积的末尾共有多少个 0。由于分解出 2 的个数比 5 多，这样我们可以得出就看所有数字中能分解出多少个 5 这个质因数。而能分解出 5 的一定是 5 的倍数。注意：5 的倍数能分解一个 5，25 的倍数分解出 2 个 5，125 的倍数能分解出 3 个 5最终转化成计数问题，如 5 的倍数有10/5=2 个。2005=5401 684=22171 375=3555 前三个数里有 2 个质因子 2，4 个质因子 5，要使得乘积的最后 4 位都是 0 应该有 4 个质因子 2 和 4 个
9、质因子 5，还差 2 个质因子。因此里最小是 4。拓展：2005684375最后 4 位都是 0，且是 7 的倍数，问里最小是_ 【例 6】（）03 年 101 中学招生人数是一个平方数，04 年由于信息发布及时，04 年的招生人数比03 年多了 101 人，也是一个平方数，问 04 年的招生人数？【解】：看见两个平方数，发现跟平方差相关，这样我们大胆的设 03 年的为 A2，04 年的为 B2，从中我们发现 04 年的比 03 年多 101 人，这样我们可以列式子 B2-A2=101 此后思路要很顺，因为看见平方差只有一种方法那就是按公式展开，所以 B2-A2=（A+B）（A-B）=101，
10、可见右边的数也要分成 2 个数的积，还得考虑同奇偶性，但 101 是个质数，所以 101 只能分成 1011，这样 A+B=101，A-B=1，所以 A=50，B=51，所以 04 年的招生人数为 5151=2601。拓展：一个数加上 10，减去 10 都是平方数，问这个数为多少？（清华附中测试题）约数和倍数 【例 7】（）从一张长 2002 毫米，宽 847 毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形。按照上面的过程不断的重复，最后剪得的正方形的边长是多少毫米？【解】：边长是 2002 和 847 的最大公约数
11、，可用辗转相除法求得（2002,847）=77 所以最后剪得的正方形的边长是 77 毫米。辗转相除示例：2002847=2308 求 2 个数的最大公约数，就用大数除以小数 847308=2231 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 308231=177 用上一个式子的除数除以余数一直除到除尽为止 23177=3 最后一个除尽的式子的除数就是两个数的最大公约数 【例 8】（）一根木棍长 100 米，现从左往右每 6 米画一根标记线，从右往左每 5 米作一根标记线，请问所有的标记线中有多少根距离相差 4 米？【解】：100 能被 5 整除，所以每 5 米作标记线从左往右还是从右往左都是一
12、样的。这样我们都以从左往右作，可见转化成讨论 5，6 的最小公倍数中的情况，画图可得有 2 根距离为 4 米，所以 30，60，90 里各有2 条，但发现最后 96 和 100 也是距离 4 米，所以总共 23+1=7。拓展：在一根长木棍上，有三种刻度线.第一种刻度线将木棍分成十等份；第二种将木棍分成十二等份；第三种将木棍分成十五等份.如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？【例 9】（）1、2、3、42008 这 2008 个数的最小公倍数等与多少个 2 与一个奇数的积？【解】：最小公倍数就是分解质因数中共有的最多因数，这样我们发现除 2 以外都是奇数质因数，可见我们只要找需要
13、多少个 2，所以只要看 12008 中 2n 谁最大，可见 210=1024，所以为 10 个 2。【例 10】（）有 15 位同学，每位同学都有编号，它们是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说“这个数能被 3 整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1 号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）【解】：1）首先可以断定编号是 2，3，4，5，6，7 号的同学说的一定都对。
14、不然，其中说的不对的编号乘以 2 后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被 2，3，4，5，6，7 都整除。其次利用整除性质可知，这个数也能被 25，34，27 都整除，即编号为 10，12，14 的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是 8 和 9。2）这个数是 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15 的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是 60060 因为 60060 是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 号同学写的数就是 60060。数论的综合题型 【例 11】（）某住宅区有 12 家住
15、户，他们的门牌号分别是 1，2，,12.他们的电话号码依次是 12个连续的六位自然数，并且每家的电话号码都能被这家的门牌号整除，已知这些电话号码的首位数字都小于 6，并且门牌号是 9 的这一家的电话号码也能被 13 整除，问：这一家的电话号码是什么数？【解】：设第一户电话号是 x+1,第二户 x+2,.第 12 户电话号 x+12 根据条件得 x+i 是 i 的倍数(i=1,2,12)因此 x 是 1，2，.12 的公倍数 1,2,.12=27720 所以 x=27720m 27720m+9 是 13 的倍数，27720 除以 13 余数为 4 所以 4m+9 是 13 的倍数 m=1,14,
16、27.第一家电话号码是 27720m+1 m 取 14 合适；因此第一家电话号码是 27720*14+1=388081 拓展：写出连续的 11 个自然数，要求第 1 个是 2 的倍数，第二个是 3 的倍数第 11 个是 12 的倍数？【例 12】（）有 15 位同学，每位同学都有编号，它们是 1 号到 15 号。1 号同学写了一个自然数，2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说“这个数能被 3 整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1 号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：（1）说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？（2）如果告诉
17、你，1 号写的数是五位数，请求出这个数。（写出解题过程）【解】：1）首先可以断定编号是 2，3，4，5，6，7 号的同学说的一定都对。不然，其中说的不对的编号乘以 2 后所有编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合。因此，这个数能被 2，3，4，5，6，7 都整除。其次利用整除性质可知，这个数也能被 25，34，27 都整除，即编号为 10，12，14 的同学说的也对。从而可以断定说的不对的编号只能是 8 和 9。2）这个数是 2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15 的公倍数 由于上述十二个数的最小公倍数是 60060 因为 60060 是一个五位
18、数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 号同学写的数就是 60060。小结 本讲主要接触到以下几种典型题型：1）数的整除。参见例 1，2，3，4 2）质数与合数（分解质因数）。参见例 5，6 3）约数和倍数。参见例 7，8，9，10 4）数论的综合题型。参见例 11，12 【课外知识】打开另一扇心窗 很久以前，在意大利的庞贝古城里，一个普通人家出生了一个叫莉蒂雅的女孩。莉蒂雅自小双目失明，但她并不怨天怨地，也没有垂头丧气，反而热爱生活，对生活充满信心和希望。稍稍长大后，她像常人一样劳动，靠卖花自食其力。不久，维苏威火山爆发，庞贝城面临一次大的灾难，整座城市被笼罩在浓烟尘埃之中。浓密的
19、火山灰，遮掩了太阳、月亮和星星，大地一片漆黑。黑暗中，惊慌失措的居民跌跌撞撞地根本找不到出路，人们好像生活在人间的地狱中。莉蒂雅虽然看不见，但这些年来，她走街串巷在城里卖花，对城市的各条道路了如指掌。她就靠自己的触觉和听觉找到了生路，不但救了自己的家人，还救了许多市民。后来，莉蒂雅的事迹一直被后人所传颂，并出现在很多的文学作品中。启迪：莉蒂雅的不幸反而成了她的大幸，她的残疾反而成了她的财富。不要总以为自己是最倒霉的。其实，上苍很公平。有时候，命运向你关闭这一心窗的同时，又为你开启了另一心窗，同样可以享受人生的快乐 作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题 1，4类型 1；题 2，6类型
20、 3；题 3，5，8类型 2；题 7类型 2 1（）在 1100 这 100 个自然数中，所有不能被 9 整除的数的和是多少？解：1+2+100=5050 9+18+27+99=9(1+2+11)=495 随意 1-100中所有不能被 9 整除的数的和是 5050-495=4555 2（）某班学生不超过 60 人，在一次数学测验中，分数不低于 90 分的人数占71，得 8089 分的人数占21，得 7079 分得人数占31，那么得 70 分以下的有_人。解：有71、21、31，说明总人数一定为 7 的倍数、2 的倍数、3 的倍数，故为7、2、342 的倍数；又由于人数不超过 60 人，故这班的
21、人数只能为 42 人。从而 70 分以下的有：4231217111 人。3（）自然数 N 是一个两位数，它是一个质数，而且 N 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数有_个。解：枚举法：23，37，53，73，有 4 个 4.（）三个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除，那么这样的三个自然数的和的最小值是多少？解：这三个自然数最小是 6，10，15（分别是 23,25,35）和的最小值为 31。5、（）五个连续偶数之和是完全平方数，中间三个偶数之和是立方数（即一个整数的三次方），这样一组数中的最大数的最小值是多少？解：设中间一个数为 2x 那
22、么 5 个数的和为 10 x=m2 中间 3 个数的和为 6x=n3 设 x=2p 3q 5r 再根据一个数是完全平方数等价于它的各个质因子的幂都是偶数，一个数是立方数等价于他的各个质因子的幂都是 3 的倍数可以求得 p=5,q=2,r=3 X=36000 因此所求为 2x+4=72004 6、（）一个数减去 100 是一个平方数，减去 63 也是一个平方数，问这个是多少？解：A2-B2=（A+B）（A-B）=37=371，考虑同奇偶性，可知 A=19，B=18，这样这个数为 461。7、（）从左向右编号为 1 至 1991 号的 1991 名同学排成一行从左向右 1 至 11 报数，报数为
23、11 的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右 1 至 11 报数，报数为 11 的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右 1 至 1l 报数，报到 11 的同学留下，其余同学出列那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是_【来源】北京市第七届“迎春杯”决赛第二题第 4 题【解】第一次报数后留下的同学，他们最初编号都是 11 的倍数；第二次报数后留下的同学，他们最初编号都是211=121 的倍数；第三次报数后留下的同学，他们最初编号都是311=1331 的倍数因此，第三次报数后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是 1331 8、（）有 1997 个奇数，它们的和等于它们的乘积其中只有三个数不是 l，而是三个不同的质数那么，这样的三个质数可以是 、【解】设 a、b、c 为三个不同的质数，根据题意 1994+a+b+C=a b c 取 a=3，b=5，得 1994+3+5+c=15c，解出 c=143 不是质数；取 a=3，b=7，得 1994+3+7+c=21c，解出 c=5501不是整数；取 a=5，b=7，得 1994+5+7+c=35C，解出 c=59 故 5、7、59 是满足题意的三个质数