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1、精品_精品资料_数论基础学问学校数论问题,起因于除法算式：被除数除数商余数1. 能整除：整除,因数与倍数,奇数与偶数,质数与合数,公因数与公倍数,分解质因数等.2. 不能整除：余数,余数的性质与运算（余数）,同余问题（除数）,物不知数问题（被除数）.一、因数与倍数1、因数与倍数（ 1） 定义：定义 1：如整数 a 能够被 b 整除, a 叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的因数.定义 2：假如非零自然数a、b、c 之间存在 a b c,或者 c a b,那么称 a、b 是 c 的因数, c 是 a、b的倍数.留意：倍数与因数是相互依存关系,缺一不行.（a、 b 是因数, c 是倍数） 一个数
2、的因数个数是有限的,最小的因数是1,最大的因数是它本身.一个数的倍数个数是无限的,最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.（ 2） 一个数的因数的特点： 最小的因数是 1,其次小的因数肯定是质数. 最大的因数是它本身,其次大的因数是：原数其次小的因数（ 3） 完全平方数的因数特点： 完全平方数的因数个数是奇数个,有奇数个因数的数是完全平方数. 完全平方数的质因数显现次数都是偶数次. 1000 以内的完全平方数的个数是31 个, 2022 以内的完全平方数的个数是44 个, 3000 以内的完222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_全平方数的个数是54 个.（ 31 =961, 442
3、、数的整除（数的倍数）（ 1） 定义：=1936, 54 =2916）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义 1：一般的,三个整数a、b、c,且 b 0,如有 a b c,就我们就说, a 能被 b 整除,或 b 能整除 a, 或 a 能整除以 b.定义 2：假如一个整数 a,除以一个整数 b（ b 0）,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a 能被b 整除或 b 能整除 a,记作 b|a .（ a b）（ 2） 整除的性质：假如 a、b 能被 c 整除,那么（ a+b）与（ a-b ）也能被 c 整除.假如 a 能被 b 整除, c 是整数,那么 ac 也能被 b 整除.假
4、如 a 能被 b 整除, b 又能被 c 整除,那么 a 也能被 c 整除.假如 a 能被 b、c 整除,那么 a 也能被 b 和 c 的最小公倍数整除.（ 3） 一些常见数的整除特点（倍数特点）：末位判别法2、5 的倍数特点：末位上的数字是2、5 的倍数.4、25 的倍数特点：末两位上的数字是4、25 的倍数.8、125 的倍数特点：末三位上的数字是8、125 的倍数.截断求和法（从右开头截）9（及其因数 3）的倍数特点：一位截断求和99（及其因数 3、9、 11、33）的倍数特点：两位截断求和999（及其因数 3、9、27、37、111、 333）的倍数特点：三位截断求和截断求差法（从右开
5、头截）11 的倍数特点：一位截断求差101 的倍数特点：两位截断求差可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1001（及其因数 7、11、13、 77、91、143）的倍数特点：三位截断求差公倍数法6 的倍数特点： 2 和 3 的公倍数.先判定是否2 的倍数,再判定是否3 的倍数.12 的倍数特点： 4 和 3 的公倍数.先判定是否4 的倍数,再判定是否3 的倍数.3、奇数与偶数 （自然数按是否能被2 整除分类）（ 1） 定义：奇数：不是 2 的倍数的数.在自然数中,最小的奇数是1.偶数：是 2 的倍数的数.在自然数中,最小的偶数是0.（ 2） 数的奇偶性质： 奇偶相连,奇偶相间,偶数
6、个连续自然数中,奇偶各半. 奇数个奇数的和是奇数.偶数个奇数的和是偶数.任意多个偶数的和是偶数. 两个奇（偶）数的差是偶数.一个偶数与一个奇数的差是奇数. 如 a 、b 为整数,就 a+b与 a-b有相同的奇偶性.n 个奇数的乘积是奇数,n 个偶数的乘积是 2 n 的倍数. 算式中有一个是偶数, 就乘连续的奇数或偶数差为2.如,与奇数 m相邻的两个奇数分别是m-2 和m+2 .奇偶分析：奇奇偶奇奇偶奇奇奇奇偶奇偶偶偶奇偶偶偶偶偶奇偶奇偶偶偶积必是偶数.4、质数与合数 （非 0 自然数按因数个数分类）（ 1） 定义：质数：只有 1 和它本身两个因数的数.（因数个数：2 个）合数：除了 1 和它本
7、身仍有其它因数的数.（因数个数：3 个或 3 个以上）（ 2） 常见质数特点：1 既不是质数,也不是合数（1 只有 1 个因数）.2 是最小的质数.4 是最小的合数.2 是质数中唯独的偶数,也是偶数中唯独的质数（除2 外,其它质数都是奇数）.（ 3） 100 以内质数表（ 25 个）： 2、3、5、7、11、13、17、19、23、 29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97（ 4） 分解质因数唯独分解定理：任何一个大于1 的自然数N,假如 N 不是质数,那么 N可以唯独分解成有限个质数的乘积.质因数：假如某个质数是某个数的因数,那么这个质
8、数叫做这个数的质因数.分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式.如：28 2 2 7 22 7通常用短除法分解质因数.任何一个合数分解质因数的结果是唯独的.要求出乘积中末尾0 的个数, 只需要知道这些乘数分解质因数后2 和 5 的个数, 不用考虑其它质因数.（ 5） 互质数： 公因数只有 1 的两个数为互质数.常见的互质数：相邻自然数： 8 和 9相邻奇数： 21 和 232 与任意奇数： 2 和 15不同的两个质数：11 和 171 与任意非零自然数： 1 和 4当合数不是质数的倍数时,这个合数和这个质数互质:3 和 14公因数只有 1 的两个合数： 6 和 25假如几个数中任意两
9、个都互质,就说这几个数两两互质：3、5、75、最大公因数与最小公倍数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1）定义：最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一个叫做最大公因数,用a ,b 表示.最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做最小公倍数,用a ,b 表示.（ 2） 最大公因数的性质：几个数都除以它们的最大公因数,所得的几个商是互质数.几个数的最大公因数都是这几个数的因数.几个数的公因数,都是这几个数的最大公因数的因数.几个数都乘一个自然数m,所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m.（ 3）最小公倍数的性质：两个数的任意
10、公倍数都是它们最小公倍数的倍数.两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积.即a , b a , b a b（ 4） 求最大公因数的方法：列举法短除法分解质因数法：先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来.辗转相除法：每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公因数.（ 5） 求最小公倍数基本方法：列举法短除法分解质因数法（ 6） 分类求最大公因数和最小公倍数：倍数关系： a 是 b 的倍数, a , b b, a , b a互质关系： a 与 b 互质, a , b 1, a ,b a b一般关系： a 与 b 不互质也不倍数,用短除法.a , b 左侧除数连乘积,
11、 a , b 除数和商连乘积6、分解质因数的运用：（ 1）求一个数因数的个数列举法： 2 个一组列举分解质因数法：分解质因数全部不同质数显现次数+1 连乘积（指数加 1 再相乘）如： 360 23 32 5, 360 的因数个数： 3+1 2+1 1+1 43 2 24（个）（ 2）求一个数的全部因数的和步骤：分解质因数全部不同质因数的各种取法之和的连乘积.01201201可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： 180 22 32 5, 180 的全部因数之和：2 2 2 3 3 3 55 7 13 6 546可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
12、 欢迎下载精品_精品资料_1、余数的性质(1) 余数小于除数.二、余数性质与同余问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如 a、b 除以 c 的余数相同,就 a-b 或b-a可以被 c 整除.(3) a 与 b 的和除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数加 b 除以 c 的余数的和除以c 的余数.（和的余数余数的和）(4) a 与 b 的差除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数减 b 除以 c 的余数的差除以c 的余数.（差的余数余数的差）(5) a 与 b 的积除以 c 的余数等于 a 除以 c 的余数与 b 除以 c 的余数的积除以c 的余数.（积的余数余数的积
13、）2、余数的运算（求余数）1末位判定法： 2, 5, 4, 25,8, 125可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 数字求和法： 3, 9各个数位上数字之和除以3 或 9 的余数某数除以 3 或 9 的余数.如： 234569.2+3+4+5+6+929,由于 29 9 3 2,所以 234569 9？ 2,即 234569 29mod 9(3) 截断求和法： 99,999 及其因数99（ 3、9、11、33）：两位截断求和,得到的和除以99 余数,即原数除以99 的余数.999（3、 9、27、 37、111、 333）：三位截断求和,得到的和除以999 余数,即原数除以9
14、99 的余数.如： 12345.345+12=357,357 999,所以 12345999 余 357.(4) 截断求差法：从右开头截断,奇段和偶段和.11, 101,1001 及其因数 7、11、13、77、91、143. 11：一位截断作差.从右开头,1 位截断, 奇数位数字之和 - 偶数位数字之和 11 的余数 , 即为原数 11 的余数.如不够减,求出的负数+11.如： 234569.奇数位数字之和3+5+9 17,偶数位数字之和2+4+612, 17-12 5,所以 234569 11余 5,即 234569 5mod 11如： 98,（奇数位 8偶数位 9） 8-9 -1 , -
15、1+11=10 ,就 9811 8 10,即 98 10mod 11101：两位截断作差.从右开头,2 位截断, 奇位和 -偶位和 101 的余数 , 即为原数 101 的余数.如不够减,求出的负数+101.1001（ 7、11、13、77、91、143）：三位截断作差. 从右开头, 3 位截断, 奇位和 - 偶位和 1001的余数 , 即为原数 1001 的余数.如不够减,求出的负数+1001.3、费马小定理p-1假如 p 是质数, a 是自然数,且a 不能被 p 整除,就 a 1mod p .即：假如 a 是自然数, p 是质数,且 a,p 互质,那么 a 的p-1 次方除以 p 的余数恒
16、等于1.（ 5-1 ）如： a 是自然数 2,p 是质数 5, 2 和 5 互质, 2 5 余 1.a是自然数 10,p 是质数 3, 10 和 3 互质, 10（3-1 ） 3 余 1.4、同余问题（求除数）同余的定义：(1) 如两个整数 a、b 除以 m的余数相同,就称a、b 对于模 m同余.(2) 已知三个整数 a、b、 m,假如 m能被 a-b 整除,就称 a、 b 对于模 m同余,记作 a bmod m,读作 a同余于 b 模 m.5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数） 在一千多年前的孙子算经中有闻名算题：今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何？ 物不
17、知数问题,又叫孙子问题、韩信点兵问题.方法：最小公倍数法：和同加和,余同加余,差同减差（缺同减缺）.列举法（逐步满意条件法）口诀法 仅适应于 3、5、7 ：三人同行七十稀,五树梅花廿一枝.七子团聚正半月,除百零五便得知.口诀法说明 只看数字即可 ：将除以 3 的余数乘 70,将除以 5 的余数乘 21,将除以 7 的余数乘 15,全部加起来后除以 105,得到的余数就是答案.步骤： 2 70+3 21+2 15=140+63+30=233, 233 105=2 23三、完全平方数完全平方数： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,2
18、56,289,324,361,400,441,484完全平方数特点：(1) 末位数字只能是： 0、1、 4、5、6、9.（个位数字是2、3、7、8 的肯定不是完全平方数）(2) 奇数的平方的个位数字是奇数,十位数字是偶数,如25,49,81 .（个位数和十位数都是奇数的整数肯定不是完全平方数）(3) 假如完全平方数的十位数字是奇数,就它的个位数字肯定是6.反之,假如完全平方数的个位数字是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6,它的十位数字肯定是奇数.如16,36,196 ,256.（个位数是6,十位数是偶数的肯定不是平方数）(4) 偶数的平方是 4 的倍数,奇数的平方是4 的倍数加
19、 1.(5) 奇数的平方是 8n+1 型,偶数的平方是8n 或 8n+4 型.（形如 8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7 型的肯定不是完全平方数）(6) 完全平方数的形式肯定是3k 或 3k+1,即除以 3 余 0 或 1.（形如 3k+2 的肯定不是完全平方数）(7) 完全平方数的形式肯定是4k 或 4k+1,即除以 4 余 0 或 1.（形如 4k+2 和 4k+3 的肯定不是平方数）(8) 能被 5 整除的数的平方是5k 型,不能被 5 整除的数的平方是5k 1 型.9完全平方数对的形式具有：16m, 16m+1, 16m+4, 16m+9.(10) 完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9.（各数位数字和是2、3、5、6、8 的肯定不是平方数）(11) 如质数 p 能整除完全平方数a,就 p2 也能整除 a.(12) 两个相邻整数的平方之间不行能再有完全平方数.(13) 一个自然数 n 是完全平方数的充要条件是n 有奇数个因数.（因数个数为奇数个的自然数是平方数）22(14) 任何四个连续整数的乘积加1,必定是一个平方数.平方差公式： X -Y =X-YX+Y222完全平方和公式：（ X+Y） =X +2XY+Y222完全平方差公式：（ X-Y） =X -2XY+Y可编辑资料 - - - 欢迎下载