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1、 1 二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。例 1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x（x0）、0、42、-2、1xy、xy（x0，y 0）分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或 0 知识点二：取值范围 1、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大
2、于或等于零即可。2、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时，没有意义。例 2当 x 是多少时，31x在实数范围内有意义？例 3当 x 是多少时，23x+11x在实数范围内有意义？知识点三：二次根式（）的非负性（）表示 a 的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。2 注：因为二次根式（）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则a=0,b=
3、0。例 4(1)已知 y=2x+2x+5，求xy的值(2)若1a+1b=0，求 a2004+b2004的值 知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.例 1 计算 1（32）2 2（35）2 3（56）2 4（72）2 例 2 在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3)2x2-3 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。3 注：1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数 a 是正数还
4、是负数，若是正数或 0，则等于a 本身，即；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即；2、中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。例 1 化简 （1）9 （2）2(4)（3）25 （4）2(3)例 2 填空：当 a0 时，2a=_；当 aa，则 a 是什么数？例 3 当 x2，化简2(2)x-2(12)x 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的
5、运算的结果是有差别的，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.4 知识点七：二次根式的乘除 1、乘法abab（a0，b0）反过来：ab=ab（a0，b0）2、除法ab=ab（a0，b0）反过来，ab=ab（a0，b0）（思考：b 的取值与 a 相同吗？为什么？不相同，因为 b 在分母，所以不能为 0）例 1计算 （1）457 （2）139 （3）927 （4）126 例 2 化简（1）9 16 （2）16 81 （3）229x y （4）54 例 3判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1）(4)(9)49 （2）1242525=4122525=4122525=4
6、12=83 例 4计算：（1）123 （2）3128 （3）11416 （4）648 例 5化简：（1）364 （2）22649ba （3）2964xy （4）25169xy 例 6已知9966xxxx，且 x 为偶数，求（1+x）22541xxx的值 3、最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数不含分母或分母中不含二次根式；（2）被开方数中不含开得尽方的因数或因式（熟记 20 以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断 5 是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是 2（或 2 的倍数），若是则说明含有能开方的因式，则不满足条件，就不是最简二次根式）例 1把下列
7、二次根式化为最简二次根式(1)5312;(2)2442x yx y;(3)238x y 4、化简最简二次根式的方法：(1)把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；(2)化去根号内的分母（或分母中的根号），即分母有理化；(3)将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来（此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题）5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化 13、同类二次根式：被开方数相同的（最简）二次根式叫同类二次根式。判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如8与18 知识点
8、八：二次根式的加减 1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。例 1计算（1）8+18 （2）16x+64x 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：（1）8+18=22+32=（2+3）2=52 （2）16x+64x=4x+8x=（4+8）x=12x 6 例 2计算 （1）348-913+312（2）（48+20）+（12-5）例 3已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求（293xx+y23xy）-（x21x-5xyx）的值 2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减 3、二次根式的比较：（1）若，则有；（2）若，则有 （3）将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小 例 4比较 312与45的大小