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1、2017-2018 学年高中数学人教A版必修 1 学案2.1 指数函数互动课堂疏导引导2.1.1 指数与指数幂的运算1.根式一般地,如果 xn=a,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n1,n N*.当 n 是奇数时,正数的 n次方根是一个正数,负数的 n次方根是一个负数.当 n是偶数时,正数的 n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数 a 的正的 n 次方根用符号na表示,负的 n 次方根用符号-na表示,方根可以合并成na(a0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作 n0=0.式子na叫做根式,n 叫根指数,a 叫做被开方数.结论:当 n 是奇数时,nna
2、=a;当 n 是偶数时,nna=|a|=0,0,aaaa疑难疏引在初中代数的学习过程中,我们接触过平方根和立方根的概念.对于平方根的定义我们在上面复习时已经提到了.立方根的定义是:如果 x 3=a,那么 x 就叫 a 的立方根.如此类推,我们便得出了n 次实数方根的定义:如果 xn=a(n N 且 n1),那么 x 就叫 a 的 n 次方根.2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义:规定:anm=nma(a0,m、nN*,n1);a-nm=nma1=nma1(a0,m、nN*,n1).0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义;指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到
3、了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.疑难疏引(1)当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式,并由此引出了正数的正分数指数幂的意义,然后依照负整数指数幂的意义规定了负分数指数幂的意义,从而将指数幂的概念推广到有理数.除此之外,还可将有理数指数幂推广到实数指数幂,有理数指数幂的运算性质对实数指数幂同样适用.(2)指数幂与根式运算的统一性.指数幂与根式运算的统一性是指化简需要先将小数化为分数,根式化为分数指数幂,结果要化为最简形式.在最简结果中,不能既有根式又有分数指数幂的形式,同时,也不能出现既有指数幂又有根式的形式.(3)有理指数幂的运
4、算性质的记忆口诀.a ra s=a r+s同底两数作乘法,底数不变指数加.(a r)s=a r s幂的乘方要记明,底数不变指数乘.(ab)r=a r b r积的乘方大不同,变为幂后再相乘.3.有理指数幂的运算性质(1)a ra s=a r+s(a0,r、sQ);(2)(a r)s=a rs(a0,r、sQ);(3)(ab)r=a r b r(a0,b0,rQ).4.无理指数幂一般地,无理数指数幂a(a0,是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂.案例 1 化简:(1)332)(xyxy;(2)323222yxyx-323222yxyx(|x|y|)【探究】对题(
5、1),要化简的式子中有根式及幂式,可将根式化成幂式后进行幂的运算;对题(2),要化简的式子中全是指数式的运算,注意运用乘法公式使其分子分母能够产生公因式,从而可通过约分化简.(1)332)(xyxy=xy 2(x21y21)331=xy 2x23y2331=(x25y27)31=x65y67=y65yx.(2)323222yxyx-323222yxyx=3232323233)()(yxyx-3232323233)()(yxyx.|x|y|,原式=(x-32)2-x-32y-32+(y-32)2-(x-34+x-32y-32+y-34)=-2x-32y-32=-xyxy32.【溯源】对多个根式组
6、成的式子进行化简.我们解题的一般原则是先算根号内的,后进行根式运算.进行根式、分数指数幂的乘、除、乘方、开方等混合运算时,一般是先将根式化成分数指数幂,按指数运算法则计算比较简洁;对根式、分数指数幂的混合运算,最后结果一般用最简根式表示;在指数式的运算中,要注意乘法公式的相应形式,注意灵活运用乘法公式进行化简.案例 2 已知 a=-278,b=7117,求333327933131343232baabaababa的值.【探究】由于此题式子结构复杂,先根据公式化简然后代入求值.a0,原式=31313131313131323)27()3(32ababaabbaa.又 a-27b 0,原式=49)23
7、()32()278()27()3()(22333232323131abaaba【溯源】化简、求值一类问题,往往是先将被求代数式化简,然后再代入已知字母的值,求得代数式的值.首先应化简被求式,遇到小数应化成分数;遇到指数是负数,可以对调底数的分子和分母,将负指数化为正指数.2.1.2 指数函数及其性质1.定义一般地,函数 y=a x(a0 且 a1)叫做指数函数.它的定义域为R.疑难疏引(1)指数函数的解析式y=ax中,ax的系数是 1.有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如 y=ax+k(a0且 a1,k Z);有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如 y=a-x(a0,且 a1),因为它可
8、以化为y=xa1,其中a10,且a1 1.(2)在指数函数的定义中我们限定底数的范围为a0 且 a 1,这主要是使函数的定义域为实数集,且具有单调性.若 a=0,当 x0 时,a x=0,当 x0 时,a x没有意义;若 a0,如 y=(-2)x对于 x=21、43等都是没有意义的;若 a=1,则函数为y=1 x=1 是一个常数函数,它的性质没有研究的必要,且不具有单调性.2.性质y=a x图象0a1 时的图象性质(1)定义域为R,值域为(0,+)(2)a 0=1,即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点(3)ax=a,即 x=1 时,y 等于底数a,图象都经过(1,a)点(4)在定义域
9、上是单调减函数在定义域上是单调增函数(5)x1;x0时,0a x1 x0 时,0a x0时,a x1(6)既不是奇函数,也不是偶函数3.单调性是指数函数的重要性质,特别是由函数图象的无限伸展,x 轴是函数图象的渐近线.当 0a1 时,x-,y 0;当 a1 时,a 的值越大,图象越靠近y 轴,递增速度越快;当 0a1 时,a 的值越小,图象越靠近y 轴,递减的速度越快.记忆口诀:指数增减要看清,抓住底数不放松,反正底数大于0,不等于 1 已表明;底数若是大于1,图象从下往上增;底数 0 到 1 之间,图象从上往下减.无论函数增和减,图象都过(0,1)点.案例 1 如何判断三个数1.5-0.2,
10、1.3 0.7,(32)31的大小关系？【探究】先比较 1.5-0.2即(32)0.2和(32)31的大小,考察指数函数y=(32)x,由于底数32在区间(0,1)内,所 以指数函数y=(32)x在(-,+)上是 减函数.故 由 0.2=51(32)0.2(32)31.另一方面,由于 1.31,y=1.3 x在(-,+)上是增函数,由 0.70,得 1.3 0.71.所以(32)311.5-0.21.3 0.7.于是(32)311.5-0.20且 y1.(2)因为 y=(31)|x|中的|x|0,所以 x R,0y 1.所以所求函数的定义域为R,值域为 y|01.(4)已知函数可化为y=211
11、x,由11x0,得 x1;又由11x0,得 y=211x1.所以定义域为x|x1,值域为 y|y1.【溯源】求自然定义域的问题,即要求表达式有意义时相应的x 的取值范围(集合);求值域的问题均为复合函数的值域问题,而求复合函数值域的一般步骤是先求出定义域,然后求出内层函数的值域,由内层函数的值域求出相应的外层函数的值域,即是复合函数的值域.案例 3 某种放射性物质不断变化为其他物质,每经过 1 年剩留的这种物质是原来的84%,画出这种物质的剩留量随时间变化的图象,并从图象上求出经过多少年,剩量留是原来的一半(结果保留 1 个有效数字).【探究】通过恰当假设,将剩留量y 表示成经过年数x 的函数
12、,并列表、描点、作图,进而求得所求.设这种物质最初的质量是1,经过 x 年,剩留量是y.经过 1 年,剩留量 y=1 84%=0.84;经过 2 年,剩留量 y=1 84%84%=0.71;,一般地,经过 x 年,剩留量 y=0.84x.根据这个函数关系式可以列表如下:x 0 1 2 3 4 5 6 y 1 0.84 0.71 0.59 0.50 0.42 0.35 用描点法画出指数函数y=0.84x的图象.从图上看出y=0.5只需 x4.答:约经过 4 年,剩留量是原来的一半.【溯源】在解决实际应用问题时,首先判断函数模型,再根据函数性质和图象解决问题,此题就是指数函数图象的应用,也是数形结
13、合思想的体现.案例 4 讨论函数y=(41)x-(21)x+1(x -3,2)的单调区间,并求出它的值域.【探究】通过代换u=(21)x,则 y 就成了关于u 的二次函数.令 u=(21)x,则 y=u 2-u+1=(u-21)2+43.x-3,2,41u=(21)x8.43y 57.值域为43,57.再求单调区间.(1)41u21,即41(21)x21,故 x 1,2 时,u=(21)x是单调减函数,y=(u-21)2+43是单调减函数,y=(21)x-212+43是单调增函数.(2)21u8,即21(21)x8,故 x-3,1 时,u=(21)x是单调减函数,y=(u-21)2+43是单调
14、增函数,y=(21)x-212+43是单调减函数.函数的单调增区间是1,2,单调减区间是-3,1.【溯源】在解决指数和其他函数相复合构成的新函数的性质问题时,一般采取换元的做法,无论是求值域还是单调性,都要注意内层函数的取值范围和对指数底的讨论,在解决单调性问题时,要记清复合函数单调性的规律,即“内外层单调性相同,则函数在此区间上递增,如果内外层单调性相反,则此函数在此区间上递减”.活学巧用1.计算下列各式.(1)432981;(2)(253)0+2-2(241)21-(0.01)0.5.【思路解析】第(1)小题将根式变为分数指数幂,也可以把分数指数化为根式去做;第(2)小题将负分数指数化为正
15、分数指数,将小数指数化为分数指数.(1)【解法一】432981=422132)9(9=423199=4379=(937)41=9127=367.【解法二】432981=438181=468181=24283=673=363(2)【解】(253)0+2-2(241)-21-(0.01)0.5=1+41(94)21-(1001)21=1+4132-101=1516.2.计算:(1)(27125)32;(2)0.00832;(3)(240181)43;(4)(2a+1)0;(5)65-(53)-1-1.【思路解析】在幂的运算中,首先观察幂的底数,如果幂的底数能化成幂的形式时如(1)(2)(3),就先
16、把幂的底数写成幂的形式,再进行幂的乘、除、乘方、开方运算,这样比较简便.在幂的运算中,对于形如m0的式子,要注意对底数m是否为零进行讨论,因为只有在m0 时,m 0才有意义;而对于形如(ab)-n的式子,我们一般是先变形为(ba)n,然后再进行运算.【答案】(1)(27125)-32=(3335)32=2235=2253=259.(2)0.00832=(0.2 3)32=0.2-2=(51)-2=5 2=25.(3)(240181)43=(4473)-43=3373=3337=27243.(4)(2a+1)0=1,a-21,无意义,a=-21.(5)65-(53)-1-1=(65-35)-1=
17、(-65)-1=-56.3.把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为，()A.-2(a-b)-52B.-2(a-b)-25C.-2(a-52-b-52)D.-2(a-25-b-25)【思路解析】考查根式与分数指数幂的转化.原式可化为-2(a-b)-52=-2(a-b)-52.故选A.【答案】A 4.化简下列各式:(1)(x-1+x+x 0)(x-21-x21);(2)323232322222yxyxyxyx;(3)333)21(42832323134aabbababaa.【思路解析】注意题中各式的结构特点,善于识别平方差、立方差等公式.【答案】(1)原式=(x21)3-(x21)3=
18、x23-x23.(2)原式=3232323233)()(yxyx-3232323233)()(yxyx=(x-32)2-x-32y-32+(y-32)2-(x-32)2-x-32y-32+(y-32)2)=2(xy)-32=-2xyxy3.(3)原式=ababaaabaabbaabaa3322)2()()8(2)2(2)()8(3131313131313131313131313131.5.下列各等式中,正确的是()A.44a=a B.62)2(=32C.a0=1D.105)12(=(2-1)21【思路解析】要想判断等式是否正确,首先要使等式两边都有意义,然后计算两边的值,如果相等则正确,如果不
19、等,则不正确,在计算时要充分应用幂的运算法则.【解】44a=|a|,由于不知道a 的符号,因此 A 不正确;0)2(62,321,105)12()12(105=(2-1)105=(2-1)21.D 正确.因此,选 D.【答案】D 6.已知 a21+a-21=2,求下列各式的值.(1)a2+a-2;(2)a3+a-3;(3)a4+a-4.【思路解析】本题主要考查的是已知条件与所求式子之间的联系.由(a21+a-21)2=a+a-1+2=4可知 a+a-1=2.同理可知(a+a-1)2=a2+a-2+2,(a2+a-2)2=a4+a-4+2.【答案】(1)2;(2)2;(3)2.7.已知 x21+
20、x21=3,求 x+x-1与32233222xxxx的值.【思路解析】由(x21+x21)2=9,可得 x+x-1=7.(x21+x21)3=27,x23+3x x+3x21x-1+x-23=27.x23+x-23=18.故原式=2.8.关于函数(1)y=x2和(2)y=2x的下列说法正确的是()A.(1)和(2)都是指数函数B.(1)和(2)都不是指数函数C.(1)是指数函数,(2)不是D.(2)是指数函数,(1)不是【思路解析】由指数函数特征知(1)不是,(2)是.【答案】D 9.已知对不同的a 值,函数 f(x)=2+a x-1(a0,且 a1)的图象恒过定点P,则 P 点的坐标是()A
21、.(0,3)B.(0,2)C.(1,3)D.(1,2)【思路解析】函数图象过定点,则函数解析式中含有待定系数(也叫参数)的“项”或“部分表达式”一定为常数,本题要想使a x-1为常数,又 a 取不同的值,因此 x-1=0.从而得解.为使 y 为定值,应使 x-1=0,则此时 y=2+a0=3,故 P 点坐标为(1,3).因此,选 C.【答案】C 10.设 y1=4 0.9,y 2=8 0.44,y 3=(21)-1.5,则()A.y 3y 1y 2B.y 2y 1y 3C.y 1y 2y 3D.y 1y 3y 2【思路解析】把给出的三个函数化为同底的指数式,y1=21.8,y2=21.32,y
22、3=21.5,再根据指数函数 y=2 x是增函数即可判断y 1y 3y 2.【答案】D 11.当 x0 时,函数 f(x)=(a 2-1)x的值总大于1,则实数 a 的取值范围是()A.1|a|2 B.|a|1 D.|a|2【思路解析】由指数函数的性质可知f(x)在(0,+)上是递增函数,所以a2-11,a22,|a|2.【答案】D 12.函数 y=3(x2+1)的值域为.【思路解析】考查指数函数的性质、函数值域的求法.由于 x 2+11,而 y=3 x在(-,+)上是增函数,所以 y=3 x2+13,即 y=3 x2+1的值域为 3,+).【答案】3,+)13.求函数 y=f(x)=(41)
23、x-(21)x+1,x -3,2 的值域.【思路解析】将(21)x看作一个未知量t,把原函数转化为关于t 的二次函数求解.【答案】f(x)=(21)x2-(21)x+1,x -3,2,(21)2(21)x(21)-3,即41(21)x8.设 t=(21)x,则41t 8.将函数化为f(t)=t 2-t+1,t41,8.f(t)=(t-21)2+43,f(21)f(t)f(8).43f(t)57.函数的值域为43,57 .14.曲线 C 1、C 2、C 3、C 4分别是指数函数y=a x、y=b x、y=c x和 y=d x的图象,则 a,b,c,d与 1 的大小关系是()A.ab1cd B.a
24、b1dcC.ba1cd D.ba1d1,d1,0a1,0b1,在 y 轴右侧令 x=1,对应的函数值由小到大依次为b、a、d、c.故应选 D.【答案】D 15.函数 f(x)=(a 2-1)x是减函数,则 a 的取值范围是_.【思路解析】如果此函数是减函数则0a2-10,a2-10,且 a1)的单调区间和值域.【思路解析】本题是一个复合函数,而且还有未知参数,因此首先要分类讨论,但是在分类讨论之前还要对指数部分的二次函数进行分析判断,在二次函数的单调区间中分类讨论未知参数以确定函数的单调区间和值域.【解】y=a-x2+2x+2=a-(x-1)2+3.令 t=g(x)=-(x-1)2+3,t在区
25、间(-,1 上递增,在区间 1,+)上递减.y=f(t)=a t=f g(x).当 a1 时,y=f(t)=a t递增,y=f g(x)在区间(-,1 上递增,在区间 1,+)上递减.当 x=1 时,y max=a3,又 y=a t0,函数的值域为(0,a3.当 0a1 时,y=f(t)=a t递减,y=f g(x)在区间(-,1 上递减,在区间 1,+)上递增,当 x=1 时,y min=a3,函数的值域为 a3,+).18 函数 y=(2-1)(x+1)(x-3)的单调递增区间是()A.(1,+)B.(-,1)C.(1,3)D.(-1,1)【思路解析】此函数可以看成是以u=(x+1)(x-
26、3)与 y=(2-1)u复合而成的函数,显然 y=(2-1)u单调递减,所以求内层函数也是递减区间即可,借助二次函数图象可知它在(-,1)上满足要求.【答案】B 21 集合 A 是由适合以下性质的函数f(x)组成的:对于任意的x0,f(x)(1,4,且 f(x)在 0,+)上是减函数.判断函数f1(x)=2-x及 f2(x)=1+3(21)x(x 0)是否在集合A 中？若不在集合A 中,试说明理由.【答案】f1(49)=2-49=-5(1,4,f1(x)不在集合A 中.又 x0,0(21)x 1.03(21)x3.从而 11+3(21)x4.f2(x)(1,4 .又 f2(x)=1+3(21)x在 0,+)上为减函数,f2(x)=1+3(21)x在集合 A 中.