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1、多元微分学的基本概念、计算与应用 一、考试内容（一）多元函数微分学计算法则 1、记忆下述推理框图：且偏导连续 z可偏导 z可微 方向导数存在（数一）z连续 2、记忆二元函数的偏导数定义：000(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)limlimxyxyxf xffyffxfffxyx；00000000(,)(,)(,)(,)(,)lim,(,)limxyhyf xh yf x yf x yhf x yfx yfx yhh；0000000(,)(,)(,)lim()xhf xmh yf xnh yfx yamn ah，对00(,)yfx ya类似；000
2、00lim(,)(,)(,)xxxyyfx yfx yfx y在0=y y处连续，对0(,)yfx y在0=x x处连续类似；00lim(,)(,)(,)xxxyyfx yfx yfx y在0=y y处连续，对(,)yfx y在0=x x处连续类似；00()()00()(,)(,)lim(,)(,)(,)x yx yx yx yx yfx yfx yfx y在00(,)x y处连续.3、记忆多元复合函数的求导法：(),()zf u x v x，则全导数dzz duz dvdxu dxv dx，或()()()uvz xu x fv x f.(),(,)zf u x v x y，则()xuxvzu
3、 x fv f，yyvzv f.(,),(,)zf u x y v x y，则xxuxvzu fv f，yyuyvzu fv f.()()()()xxxuxxvxxxuxxvxxuuxuvxxvuxvvxxuxxvzufvfufv fu u fv fv u fv fufv f222uvvuffxuuxxuvxvvxxuxxvu fu v fv fufv f;222yyyuuyyuvyvvyyuyyvzu fu v fv fufv f()xyxyuuxyxyuvxyvvxyuxyvyxzu u fu vv ufv v fufvfz.4、隐函数的求导法（两端求导法与公式法）：公式法 1：(,)0F
4、 x y，若0yF，则存在()yy x，且()xyy xFF.公式法 2：(,)0F x y z，若0zF，则存在(,)zz x y，且xxzyyzzFFzFF ，.若(,)0F x y z 确定(,),(,),(,)xx y zyy x zzz x y，则1yzxxyz .5、记忆多元函数高阶混合偏导数的求导法：若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关.6、记忆多元函数的求微法：(,)zz x y满足2200()lim0()()xyxyzzxzyxy ，则xydzz dxz dy，且有zdz.(,)uu x y z可微，则xyzduu dxu dyu dz.(,),(,)zf u
5、 x y v x y可微，则uvxydzz duz dvz dxz dy.(,)0(,)0F x y zG x y z可微，且确定()()yy xzz x，则由00 xyzxyzF dxF dyF dzG dxG dyG dz计算(),()y x z x.（二）多元函数的极值与最值问题 1、极值的必要条件和极值的充分条件 必要条件设函数),(yxfz 在点),(00yx具有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则有 .0),(,0),(0000yxfyxfyx 充分条件设函数),(yxfz 在点),(00yx的某个邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又,0),(,0),(0000yxfyxfy
6、x令CyxfByxfAyxfyyxyxx),(,),(,),(000000 则),(yxfz 在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：（1）02 BAC时具有极值，且当0A时有极大值，当0A时有极小值；（2）02 BAC时没有极值；（3）02 BAC时可能有极值也可能没有极值，还需另外讨论.2、多元函数的极大值、极小值.求),(yxfz 的极值的一般步骤为：第一步 解方程组,0),(,0),(yxfyxfyx 求出),(yxf的所有驻点；第二步 求出函数),(yxf的二阶偏导数，依次确定各驻点处 A、B、C 的值，并根据2BAC 的符号判定驻点是否为极值点.最后求出函数),(yxf在极值点
7、处的极值.3、条件极值 解条件极值途径是将条件极值问题转化为无条件极值问题.一般有三个方法：一是降元法；二是升元法-拉格朗日乘数法；三是几何法.降元法是解决条件极值问题最彻底的方法，它可使得原目标函数降元，变成一（二）元函数，得到驻点后，利用极值的充分条件进行判定，但有时降元无法实现，也会出现降元后的目标函数变得非常繁琐.对升元法-拉格朗日乘数法，一般有以下两种情况：（1）在条件(,)0 x y（0),(zyx）下,求目标函数(,)uf x y（),(zyxfu）的极值.引进拉格朗日函数(,)(,)(,)L x yf x yx y（(,)(,)(,)L x y zf x y zx y z）它将
8、有约束条件的极值问题化为无条件的极值问题.求解时，一般先利用=0 xyzLLL消去，得到,x yz（）的关系，在与(,)0 x yz（）联立求解.若得到唯一驻点，则根据实际情况判断其极值性；若得到几个驻点，则根据其相应的函数值大小判断其极值性.（2）在条件(,)0 x y z和(,)0 x y z下，求目标函数),(zyxfu 的极值，则引 进拉格朗日函数 0),(),(),(),(zyxzyxzyxfzyxL.用几何法时需记忆一些平面（空间（数一）解析几何的公式，如：（1）点0000(,)Mxyz到平面0AxByCzD 距离公式0001222AxByCzDdABC.（2）点0000(,)Mx
9、yz到直线111xxyyzzmnp的距离公式201dM MSS.（3）求点0000(,)Mxyz到曲面(,)0F x y z 的距离,需用到曲面的切平面公式.4、多元函数的最大值与最小值（闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值）求函数),(yxf的最大值和最小值的一般步骤为：第一步 求函数),(yxf在D内所有驻点处的函数值；第二步 求),(yxf在D的边界上的最大值和最小值；第三步 将前两步得到的函数值进行比较，其中最大者即为最大值,最小者即为最小值.注：在证明不等式(,)DAf x y dB的问题时，需将),(yxf在D上的最值问题与积分 估值定理联合考虑.连续记忆多元复合函数的求导法则
10、全导数则则或隐函数的求导法两端求忆多元函数的求微法满足则且有可微则可微则可微且确定则由计算二多阶及二阶连续偏导数又令则在点处是否取得极值的条件如下时有极大值（三）特殊曲面（数一）1、平面的方程为0AxByCzD，抛物面方程为22,022xyzapqpq（）.2、球面方程为2222000()()()xxyyzzR,椭球面方程为2222221xyzabc.3、锥面方程为2222(),a zxy其中锥面的半顶角为arctan a.4、对(,)00F y zx，绕z轴旋转生成的旋转曲面方程为22(,)0Fxyz.5、空间曲线(,)0:(,)0F x y zG x y z关于xoy面的投影柱面方程为(,
11、)0H x y(消z).（四）空间切向量与法向量（数一）1、空间曲线():()()xx tyy tzz t过相应于0tt点处的切向量为000(),(),()sx ty tz t，切线方程为000000()()()()()()xx tyy tzz tx ty tz t，有向曲线元ds(,)dx dy dze ds，(cos,cos,cos)e是与同向的单位向量，222()()()dsxtytzt为弧长元素.（数二需掌握平面弧长元素）2、(,)0(,)0F x y zG x y z过其上点000(,)M xyz处的切向量为00(,)(,)xyzxyzsF F FG G G.3、曲面(,)0F x
12、y z 过其上点000(,)M xyz处的法向量为0(,)xyznF F F，切平面方程为000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxyzxxFxyzyyF xyzzz.注：数二需掌握平面曲线(,)0F x y 上点00(,)M xy处的法向量为0(,)xynF F.4、曲面:(,)zf x y过相应于00(,)xy点处的法向量为0000(,),(,),1)xynfxyfxy，有向曲面元dS(,)ndydz dzdx dxdye dS，(cos,cos,cos)ne是与同侧的单位向量，曲面面积元素2211cosxynkdSddffdn k.（五）方向导数与梯度（数一）1
13、、记忆方向导数与梯度的计算公式：(,)zf x y在P点处的梯度为grad(,)xyxyff if jff，(,)zf x y在P点处沿方向l的方向导数为gradlflf e，(cos,cos)(cos,sin)le，,为l的方向角，为x轴到l的转角，gradflfl 是在 上的投影，在P处沿梯度方向的fl 达到最大值grad f.注：(,)zf x y在(,)P x y处的全微分(,)(,)gradxydzffdx dyf ds(,)uf x y z在(,)P x y z处沿方向l的方向导数为grad(,)lflf x y ze (,)(cos,cos,cos)xyzfff，其沿梯度方向的f
14、l 达到最大值grad(,)f x y z.连续记忆多元复合函数的求导法则全导数则则或隐函数的求导法两端求忆多元函数的求微法满足则且有可微则可微则可微且确定则由计算二多阶及二阶连续偏导数又令则在点处是否取得极值的条件如下时有极大值二、典型例题（公共）例 1、设(0,0)1,(0,0)2xyff，则0(2,0)(0,3)lim2(0,0)+3(0,0)8xyxfxfxffx.例 2、设222212222()sin(),0(,)0,0 xyxyxyf x yxy，问),(yxf在点)0,0(处:(1)偏导数是否存在?(2)偏导数是否连续?(3)是否可微?解：(1)200(,0)(0,0)1(0,0
15、)limlimsin0 xxxf xffxxx，同理(0,0)0yf；(2)22122122122222 sin()2()cos(),0(,)0,0 xxxyx xyxyxyfx yxy 因2200111lim(,)lim2sincos22xxy xxfx yxxxx，可知该极限不存在 由,x y对称性，同理证0,lim(,)yxy xfx y不存在.故),(yxfx及),(yxfy在)0,0(处不连续；(3)2222220000(0,0)(0,0)1limlimsin0 xyxxyyzfxfyxyxyxy，则其于)0,0(处可微.注：常用夹逼求二重极限，3 222(,)(0,0)lim2+0
16、 x yxyxy（4 3221 32+xyxyx）.例 3、设,sinyxeux则2111(2,)(2,)(,)xyyxyxduuuxdx2()e.例 4、设)(),(xygyxxyfz,f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求xyz.解：1212xzyfyfxyg，2212231111222122()()xyzfy xfxyfyfyxfxyfx gx yg 3232112212xyfxyffyfxygx g.注：对(,)zz x y常用xydzz dxz dy确定xz，用xxy xd zz d x z d y确定xxz，()yxxyzz.1223211222xdzydff dyy dfy
17、f dyxydgxydxx g dy，11212111221122()(),()dff dxyf dxyf y dxxdyfy dxxy dy dggx dyxydx.例 5、设函数),(vuF可微，(,)0F xz z y确定了(,)zz x y，其中、为常数，且满足0，则xyxzyzz 提示：本题用全微分法，也可运用两端求导法与公式法，但在其过程中，要注意链式法则 例 6、已知 f u具有二阶导数，且(0)1f ，)(xyy 由11yyxe所确定，设(lnsin)zfyx，求00(),()xxz xzx.解：在11yyxe中,令0 x 得(0)1y，将其两边对x求导得110yyyexey，
18、再对x求导得111210yyyyyeyeyxeyxey 将1,0 yx代入上面两式得(0)1,(0)2.yy ()(cos)(lnsin)z xyyx fyx，222()(cos)(lnsin)()sin(lnsin)zxyyxfyxy yyyx fyx 将(0)1y，(0)1(0)2yy，(0)1f 代入上面两式得0()0,xz x0()1xzx.注：常用两端求导法求隐函数二阶（偏）导数值，可进一步研究其极值性.连续记忆多元复合函数的求导法则全导数则则或隐函数的求导法两端求忆多元函数的求微法满足则且有可微则可微则可微且确定则由计算二多阶及二阶连续偏导数又令则在点处是否取得极值的条件如下时有极
19、大值例 7、设),(txfy,而t是由方程0),(tyxF所确定的yx,的函数,若,F f都具有一阶连续偏导数，则()=y x()()xttxttyf Ff FFf F.提示：方程的两边求微分得0 xtxytdyf dxf dtF dxF dyF dt，.例 8、求由方程010422222zyxzyx确定的函数),(yxfz 的极值.解 将方程两边对yx,求偏导,得22240,22240 xxyyxzzzyzzz 因0,0yxzz,代入得驻点)1,1(P，将上述两个方程再对yx,求偏导,得 1(2)xxyyPPAzzzC ，0PxyzB，则22(2)0ACBz)2(z，将1,1 yx代入方程0
20、10422222zyxzyx,得6,221zz 当12,1 40zA，则21z为极小值.当26,1 40,zA 则26z 为极大值.解二 配方法：22)1()1(162yxz，6z为极大值,2z为极小值.例 9、已知函数(,)zf x y 的全微分ydyxdxdz22，并且(1,1)2f 求(,)f x y在椭圆域22(,)41Dx y xy上的最大值和最小值.解:22()dzd xyC，则22zxyC，由(1,1)2f，则.2),(22yxyxf 令20,20 xyfxfy 得可能极值点为(0,0)，且(0,0)2f 再考虑其在边界曲线2241xy上的情形：令22(,)(,)(4 1)L x
21、 yf x yxy，由222(1)0,220,4 10 xyLxLyxy ()得驻点(0,2)，(1,0)，而,2)2,0(f 3)0,1(f，可见(,)zf x y在区域D内的最大值为3，最小值为2.推广：求证：22223334 116224xyxyd.例 10 求函数xyzf 在条件0,1222zyxzyx下的极值.解 令)()1(222zyxzyxxyzL 有 02xyzLx，02yxzLy，02zxyLz 得 zzyyxx222222，又0,1222zyxzyx 得zx，解得驻点1,2121(,)666P，)61,61,62(4,3P，)62,61,61(6,5P 注意约束集为单位圆，
22、是有界闭集，故f在其上必有最大（小）值，且最值必在驻点达到，最大者6 18为极大值，最小者6 18为极小值.例 11、求曲线1:0zxCy与2230:0 xyCz 之间的距离.（数一）解：任取1(,0,)ssC，2(32,0)t tC，则222(23)Ddstts 由2(23)10,4(23)20stDstDstt ，得唯一驻点(1 2,1)P，从几何意义知d客观存在，故所求距离为(1 2,1)7 2d 注：（1）22222224562414dxyzxyxyzxyy 的最小值为3 从几何意义上知，(,)P x y z到12(1,2,0),(3,1,2)PP的距离之和最小为123PP （2）函数
23、22(,)(2cos3)(sin22)f u vuvuv的最小值为13 13 提示：该题可转化为在4422 yx上求一点，使其到直线0632 yx的距离最短 注：该题可用几何法求解 连续记忆多元复合函数的求导法则全导数则则或隐函数的求导法两端求忆多元函数的求微法满足则且有可微则可微则可微且确定则由计算二多阶及二阶连续偏导数又令则在点处是否取得极值的条件如下时有极大值三、空间切（法）向量、方向导数与梯度（数一）例 1、求曲线321xtytztt 过点0(1,1,0)M的切线方程，并判断其与0 xy 的位置关系 解:曲线在0M的切向量022(1,32)(1,1,1)Msttt 则其切线方程为11x
24、yz ，而已知平面的法向量(1,1,0)n 则ns又0(1,1,0)M不在平面0 xy 上，故所求切线方程与平面0 xy 平行 例 2、椭球面932222zyx与锥面2223yxz的交线C上点)2,1,1(0M处的切线方程为(1)8(1)10(2)7xyz .（12snn）例 3、在第一卦限内求曲面zxy上一点，使过该点的切平面垂直于230 xyz，且与三个坐标面所围立体的体积为1 6.解:设点),(0000yxyx，过其切平面法向量 00,12,1,3ny x，得0023yx（1）切平面0)()()(000000yxzyyxxxy在三坐标轴上的截距为：0000,yxyx 则题设体积 2200
25、61 6Vx y，即22001x y，与（1）联立，得点为(1,1,1)和(2,1 2,1).例 4、函数(,)arctan()f x yx y在点(0,1)处的梯度等于(D)(A)i (B)i (C)j (D)j 例 5、sincosuxyz在点(0,2,1)处沿下列哪个方向的方向导数最大（C）A(0,1,1)B(0,1,1)C(1,1,1)D(1,1,1)解：0(0,2,1)(,)(1,1,1)xyzgraduu uu ，故选（C）例 6、设233xyz确定了隐函数(,)zz x y，求其在点(1,1)处方向导数的最大值M 解：当(,)(1,1)x y 时，1z，设),(zyxF233xy
26、z，则21,2,3xyzFFx Fz,有(1,1)1 3,(1,1)2 3xyzz ，故22(1,1)(1,1)xyMzz5 3 例 7、若函数232(,)f x y zax ybyzc x z在点(1,2,1)M处沿z轴正方向的方向导数取得最大值32，则(,)a b c(3,12,4)提示：grad(1,2,1)(43,4,22)/(0,0,1),|grad(1,2,1)|32facabbcf 例 8、求22ln()uxyz在A(1,0,1)处沿A指向B(3,2,2)方向的方向导数.提示：grad(1,0,1)1 2Alulue .例 9、求函数32223240),(zyxzyxf在点)2,
27、3,3(0M处沿n的方向导数，其中n为1),(zyxf过0M处的内法向量.解：02222 30()2(4023)(,2,3)3(2,4,4)MgradfMxyzxyz 令222(,)3923F x y zxyz,则n可取(2,4,4),故 000()()6MnfngradfMegradfM .注 1：:(,)zf x y过0M处法向量00(,1)(,1)xyxyffff的方向为向上（下），有向曲面的侧规定为其法向量的指向，有向曲面的上（下）侧，其法向量的指向为向上（下）.注 2：若:(,)zf x y为封闭曲面，则有向曲面的侧也规定为其法向量的指向，有向曲面的内（外）侧，其法向量指向曲面内（外
28、）部，这样的法向量简称内（外）法向量.连续记忆多元复合函数的求导法则全导数则则或隐函数的求导法两端求忆多元函数的求微法满足则且有可微则可微则可微且确定则由计算二多阶及二阶连续偏导数又令则在点处是否取得极值的条件如下时有极大值四、课后练习（公共）1（A）、设(0,0),(0,0)xyfa fb，则0lim(,0)(0,)xf mxfnxx manb.2（A）、已知24(,)xyf x ye，则（B）（A）(0,0)xf，(0,0)yf都存在 （B）(0,0)xf不存在，(0,0)yf存在（C）(0,0)xf存在，(0,0)yf不存在 （D）(0,0)xf，(0,0)yf都不存在 3（A）、考虑二
29、元函数),(yxf的下面 4 条性质:),(yxf在点),(00yx处连续,),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数连续,),(yxf在点),(00yx处可微,),(yxf在点),(00yx处的两个偏导数存在.若用QP 表示可由性质P推出性质Q,则有(A )（A）（B）（C）（D）.4（A）、二元函数(,)f x y在点(0,0)处可微的一个充分条件是(D)(A)(,)(0,0)lim(,)(0,0)x yf x yf(B)00lim(,0)(0,0)0lim(0,)(0,0)xxyyxyfxffyf (C)00(,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0limxyf xffyfxy (D
30、)22(,)(0,0)(,)(0,0)lim0 x yf x yfxy 5（B）、如果(,)f x y在 0,0处连续，那么下列命题正确的是(B)（A）若极限(,)(0,0)lim(,)()x yf x yxy存在，则(,)f x y在(0,0)处可微（B）若极限22(,)(0,0)lim(,)()x yf x yxy存在，则(,)f x y在(0,0)处可微（C）若(,)f x y在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)lim(,)()x yf x yxy存在（D）若(,)f x y在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)0lim(,)()x yyf x yxy存在 提示：(0,0)
31、0f，22(,)(0,0)lim(,)0 x yf x yxy(0,0)0df，反之不行 6（A）、设(,)zf x y连续，且22(,)(0,1)(,)22lim0,(1)x yf x yxyxy 则(0,1)dz2dxdy.7（B）、设222(),(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).x yxyx yf x yx y问),(yxf在点(0,0)处:(1)是否连续?（是，夹逼）(2)偏导数是否存在?（是）(3)是否可微?（否,特殊路径）8（A）、设yxyxdttyxyxyxu)()()(),(,其中,存在，则(B)(A)xxyyuu (B)xxyyuu (C)xyyyuu (D)xx
32、xyuu 9（A）、设ln1xzxyzye，根据隐函数存在定理，在(0,1,1)P的一个邻域内该方程 能确定的具有连续偏导数的隐函数的个数为2 10（A）、设arctan(sin),zxy则(1,2)xxf1 2.11（A）、设函数(1)x yzx y，则(1,1)|dz(1+ln 4)(dd)yx.12（A）、设2222zyxxyz确定),(yxzz，则(1,0,1)=dz2dxdy.13（A）、设函数zyf xyx，其中f可微，则xyxzyz)(2xyyf.14（A）、设(,)f u v是二元可微函数，=(,)z f y x x y，则+xyxzyz 0.15（A）、设(,)zz x y由
33、(,)=0F y x z x确定,其中F可微,且20,F 则xyxzyzz.连续记忆多元复合函数的求导法则全导数则则或隐函数的求导法两端求忆多元函数的求微法满足则且有可微则可微则可微且确定则由计算二多阶及二阶连续偏导数又令则在点处是否取得极值的条件如下时有极大值16（A）、设32),(yzxzyxf，03222xyzzyx确定),(yxzz，则(1,1,1)xf1 17（A）、设f二导连续,(,),g x yfy xyf x y则22xxyyx gy g 2yxfy x.18（A）、设函数20sin(,)1xytF x ydtt，则2022xyFx4 19（B）、设(,)f u v二阶偏导连续
34、,且满足1,uuvvff 又22(,),()2g x yf xyxy,则xxyyff22xy.20（B）、设2(,),(,)0,sinyuf x y zF xezyx,若,F f都具有一阶连续偏导数，且30F,则()u x 123cos(2cos)yxyzfxffxFexFF.21（B）、设(,)zz x y由22xyzxyz 确定，其中 二阶可导，且1，则（）=dz(2)d+(2)d1+xxyy,（）记,xyzzu x yxy，=xu32(2+1)(1+)x.22（B）、设函数(,()zf xy yg x，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数()g x可导，且在1x 处取得极值(1)1g，则1
35、,1xyxyz 1112(1,1)(1,1)(1,1)fff 23（A）、求函数)2(e),(22yxyxfyx的极值.2(4,2)8fe 是其极大值 24（A）、求二元函数22(,)2lnf x yxyyy的极值.(0,1)1fee 为其极小值 25（A）、设函数()f x具有二阶连续导数，且()0,(0)0f xf，则函数()ln()zf xf y在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件为（A）（A）(0)1,(0)0ff （B）(0)1,(0)0ff（C）(0)1,(0)0ff （D）(0)1,(0)0ff 26（B）、设(,)(,)f x yx y与均为可微函数，且(,)0yx y，已
36、知00(,)xy是(,)f x y在约束条件(,)0 x y下的一个极值点，下列选项正确的是(D)(A)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy(B)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.(C)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy(D)若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy.27（B）、设),(yxzz 是由0182106222zyzyxyx确定的函数,求),(yxzz 的极值点与极值.(9,3)是其极小点,极小值为3；)3,9(是其极大点,极大值为3 28（B）、2uxyyz在约束22210 xyz下的最大值为5 5，最小值为5 5.29（B）、zy
37、xyxyx4102422在:0,0,4D xyxy 上值域为 24,0.2.30（B）、2222(,)2f x yxyx y在22(,)|4,0Dx yxyy上的值域为0,8.31（B）、面xoy上到01620,0yxyx及距离平方和最小的点为(8 5,16 5).32（B）、)0,0(133yxyxyx上点到坐标原点的最长距离为2，最短距离为 1 33（B）、内接于面222931xyz的长方体（各表面平行于坐标面）的最大体积为8.34（B）、已知曲线22220:35xyzCxyz ，求C点距离XOY面最远点和最近点.最远点为1(5,5,5)P ，最近点为2(1,1,1)P.35（B）、抛物面
38、22yxz被平面1zyx截成一个椭圆,求原点到椭圆的最长和最短距离.359,35921maxminMMdddd 连续记忆多元复合函数的求导法则全导数则则或隐函数的求导法两端求忆多元函数的求微法满足则且有可微则可微则可微且确定则由计算二多阶及二阶连续偏导数又令则在点处是否取得极值的条件如下时有极大值五、空间切（法）向量、方向导数与梯度课后练习（数一）1(A)、曲面0)cos(2xyzxyx在点)1,1,0(的切平面方程为（A）（A）2zyx（B）0zyx（C）32zyx（D）0zyx 2(A)、若224zxy 上点P处的切平面平行于平面2210,xyz 则点的坐标是(C)(A)(1,1,2)(B
39、)(1,1,2)(C)(1,1,2)(D)(1,1,2)3(B)、设),(yxf在点(0,0)的附近有定义，且1)0,0(,3)0,0(yxff，则(C)(A)(0,0)|3dzdxdy (B)曲面),(yxfz 在(0,0,(0,0)f处的法向量为3,1,1(C)曲线 (,)0zf x yy在(0,0,(0,0)f处的切向量为1,0,3(D)曲线 (,)0zf x yy在(0,0,(0,0)f处的切向量为3,0,1 提示：(,)0zf x yy在(0,0,(0,0)f处的切向量为(3,1,1)(0,1,0).4(A)、曲面222316xyz上点(1,2,3)处的平面与xoy面夹角的余弦为32
40、2.5(A)、求4(3)4zyx过点0(1,1,0)M的法线方程，并判断其与0 xy 的位置关系 法线方程为11xyz ；平行 6(A)、确定b并求23:,12xt ytzt 的切线,使之与平面4:zbyx垂直.2(4)42 3(4)xyzb ；2(4)42 3(4)xyzb .7(B)、求过120:zyxzyxL作与曲面1:222zyx相切的平面方程.2210;4410 xyzxyz （用平面束方程）.8(B)、设直线:l 030 xybxayz 在平面上,而平面与曲面22zxy相切于点(1,2,5),求,a b之值.（=5,1ab,用平面束方程）9(A)、求证：azyx上任何点处的切平面在
41、各坐标轴上的截距之和等于a.10(B)、设(,)u v可微，证明：曲面0),(bzcyazcx任一法向量垂直于某常向量.提示：常向量为(,)a b c.11(A)、(2,1,1)grad xyz y(1,1,1).12(B)、若向量(3,4),(4,3)uv，且二元可微函数(,)f x y在点P处有6Pfu ，17Pfv，则该函数在点P处的梯度()gradfP(10,15)13(B)、设n是曲面222236xyz在点(1,1,1)P处的指向外侧的法向量,求函数2268uxyz在点P处沿方向n的方向导数为11 7.14(A)、函数822),(222zyxzyxf在点)1,1,1(处沿下列哪个方向的方向导数最大？并求其最大值(2,4,4)；6 15(B)、求曲面x+y+z=1 的一张切平面，使其在三个坐标轴上的截距之积为最大，并写出切平面方程.(1333zyx)16(B)、在椭球面122222zyx上求一点，使得函数222),(zyxzyxf沿着点)1,1,1(A到)1,0,2(B方向的方向导数具有最大值，并求此最大值.(1 2,1 2,0);2 连续记忆多元复合函数的求导法则全导数则则或隐函数的求导法两端求忆多元函数的求微法满足则且有可微则可微则可微且确定则由计算二多阶及二阶连续偏导数又令则在点处是否取得极值的条件如下时有极大值