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1、学习必备 欢迎下载 勾股定理易错题分析 勾股定理是初中几何的重要知识，是几何中的常用工具。初学时，很多同学常易犯各种各样的错误。下面仅选择几例，供同学们参考和借鉴，以免犯这类错误。【例 1】在 RtABC 中，a=3，b=4，求 c 错解 由勾股定理，得 c=22ab=2243=5 诊断 这里默认了C 为直角其实，题目中没有明确哪个角为直角，当 ba时，B 可以为直角，故本题解答遗漏了这一种情况 当B 为直角时，c=22ba=2243=7【例 2】已知 RTABC 中，B=RT,a=2,c=2 2,求 b.错解 由勾股定理，得 B=22ca=22(2 2)(2)=6 诊断 这里错在盲目地套用勾
2、股定理“a2b2=c2”殊不知，只有当C=Rt时，a2b2=c2才能成立，而当B=Rt时，则勾股定理的表达式应为 a2c2=b2 正确解答 B=Rt，由勾股定理知 a2c2=b2 b=22ca=22(2 2)(2)=10【例 3】若直角三角形的两条边长为 6cm、8cm，则第三边长为_ 学习必备 欢迎下载 错解 设第三边长为 xcm由勾股定理，得 x2=6282 x=2268=3664=10 即第三边长为 10cm 诊断 这里在利用勾股定理计算时，误认为第三边为斜边，其实题设中并没有说明已知的两边为直角边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边 正确解法 设第三边长为 xcm 若第三边长为斜边，
3、由勾股定理，得 x=2268=3664=10(cm)若第三边长为直角边，则 8cm 长的边必为斜边，由勾股定理，得 x=2286=28=2 7(cm)因此，第三边的长度是 10cm 或者2 7cm.【例 4】如图，已知 RtABC 中，BAC=90，AD 是高，AM 是中线，且AM=12BC=2 33AD.又 RTABC 的周长是(6+23)cm.求 AD 错解 ABC 是直角三角形，为直角其实题目中没有明确哪个角为直角当时可以为直角故本题解答遗由勾股定理知例若直角三角形的两条长为则第三长为学习必备欢迎下载是斜边也可能是直角边正确解法设第三边长为若第三边长为斜边由勾股学习必备 欢迎下载 AC:
4、AB:BC=3:4:5 ACABBC=345 AC=312(6+23)=332 AB=412(6+23)=62 33 BC=512(6+23)=155 36 又12ACAB=12BCAD AD=ACABBC=3362 323155 36=(33)2(33)5(33)=25(3+3)(cm)诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形的三边关系上述解法犯了以特殊代替一般的错误 正确解法AM=2 33AD MD=222(3)3ADAD=33AD 为直角其实题目中没有明确哪个角为直角当时可以为直角故本题解答遗由勾股定理知例若直角三角形的两条长为则第
5、三长为学习必备欢迎下载是斜边也可能是直角边正确解法设第三边长为若第三边长为斜边由勾股学习必备 欢迎下载 又MC=MA，CD=MD 点 C 与点 M 关于 AD 成轴对称 AC=AM，AMD=60=C B=30,AC=12BC,AB=32BC AC+AB+BC=12BC+32BC+BC=6+2 3.BC=4 12BC=2 33AD,AD=12233BC=3(cm)【例 5】在ABC 中，abc=91512，试判定ABC 是不是直角三角形 错解 依题意，设 a=9k，b=15k，c=12k(k0)a2b2=(9k)2(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，a2b2c2ABC 不是
6、直角三角形 诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”而上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理 正确解法 由题意知 b 是最长边设 a=9k，b=15k，c=12k(k0)a2c2=(9k)2(12k)2=81k2144k2=225k2 b2=(15k)2=225k2，a2c2=b2 为直角其实题目中没有明确哪个角为直角当时可以为直角故本题解答遗由勾股定理知例若直角三角形的两条长为则第三长为学习必备欢迎下载是斜边也可能是直角边正确解法设第三边长为若第三边长为斜边由勾股学习必备 欢迎下载 ABC 是直角三角形【例 6】
7、已知在ABC 中，ABAC，AD 是中线，AE 是高求证：AB2AC2=2BCDE 错证 如图 AEBC 于 E，AB2=BE2AE2，AC2=EC2AE2 AB2AC2=BE2EC2=(BEEC)(BEEC)=BC(BEEC)BD=DC，BE=BC EC=2DC EC AB2AC2=BC(2DCECEC)=2BC DE 诊断 题设中既没明确指出ABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能是直角三角形或钝角三角形所以高 AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题意而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。剩下的两种情况如图所
8、示。为直角其实题目中没有明确哪个角为直角当时可以为直角故本题解答遗由勾股定理知例若直角三角形的两条长为则第三长为学习必备欢迎下载是斜边也可能是直角边正确解法设第三边长为若第三边长为斜边由勾股学习必备 欢迎下载，正确证明由读者自己完成【例 7】已知在ABC 中，三条边长分别为 a，b，c，a=n，b=24n-1,c=244n(n 是大于 2 的偶数)。求证:ABC 是直角三角形。错证 1 n 是大于 2 的偶数，取 n=4，这时 a=4，b=3，c=5 a2b2=4232=25=52=c2，ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理)由勾股定理知ABC 是直角三角形 正解 a2+b2=n2+(24n-1)2=n2+416n-22n+1=416n+22n+1 c2=(244n)2=(214n)2=416n+22n+1 由勾股定理的逆定理知，ABC 是直角三角形。诊断 证明 1 错在以特殊取代一般 为直角其实题目中没有明确哪个角为直角当时可以为直角故本题解答遗由勾股定理知例若直角三角形的两条长为则第三长为学习必备欢迎下载是斜边也可能是直角边正确解法设第三边长为若第三边长为斜边由勾股