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1、学习必备 欢迎下载 北师大版七年级下册数学培优压轴题 一解答题（共 8 小题）1已知四边形 ABCD 中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN 绕 B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于 E，F当MBN 绕 B点旋转到 AE=CF 时（如图 1），易证 AE+CF=EF；当MBN 绕 B点旋转到 AE CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 2（1）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边 BC、CD上的点，且EAF=B
2、AD 求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边 BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，B+ADC=180，E、F 分别是边 BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数学习必备 欢迎下载 量关系，并证明 3如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC和 DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现：如图 2，固定ABC，使DEC绕点 C旋转，当点 D恰好落在 AB边上时，填空：线
3、段 DE与 AC的位置关系是 ；设BDC的面积为 S1，AEC的面积为 S2，则 S1与 S2的数量关系是 （2）猜想论证：当DEC绕点 C旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1与 S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中 BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究：已知ABC=60，点 D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE AB交 BC于点 E（如图 4）若在射线 BA上存在点 F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的 BF的长 4如图 1，已知线段 AB的长为 2a，点 P 是 AB上的动点（P 不与 A，B重合），分别以 AP、PB为边向线段
4、 AB的同一侧作正APC和正PBD （1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP=；（直接写结果）（2）连接 AD、BC，相交于点 Q，设AQC=，那么的大小是否会随点 P 的移动而变化？请说明明若不成立线段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必备欢迎下载如系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系学习必备 欢迎下载 理由；（3）如图 2，若点 P 固定，将PBD绕点 P 按顺时针方向旋转（旋转角小于 180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5如图 1，RtABC中 AB=AC，点
5、D、E是线段 AC上两动点，且 AD=EC，AM垂直 BD，垂足为 M，AM的延长线交 BC于点 N，直线 BD与直线 NE相交于点 F试判断DEF的形状，并加以证明 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3 步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明1、画出将BAD沿 BA方向平移 BA长，然后顺时针旋转 90后图形；2、点 K在线段 BD上，且四边形 AKNC 为等腰梯形（AC KN，如图 2）附加题：如图 3，若点 D、E 是直线 AC上两动点，其他条件不变，试判断DE
6、F的形状，并说明理由 6如图，已知等边三角形 ABC中，点 D，E，F分别为边 AB，AC，BC的中点，M为直线 BC上一动点，DMN 为等边三角形（点 M的位置改变时，DMN 也随之整体移动）（1）如图 1，当点 M在点 B左侧时，请你判断 EN与 MF有怎样的数量关系？点F是否在直线 NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图 2，当点 M在 BC上时，其它条件不变，（1）的结论中 EN与 MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2 证明；若不成立，请说明理由；明若不成立线段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必
7、备欢迎下载如系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系学习必备 欢迎下载（3）若点 M在点 C右侧时，请你在图 3 中画出相应的图形，并判断（1）的结论中 EN与 MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由 7已知：等边三角形 ABC；（1）如图 1，P为等边ABC外一点，且BPC=120 试猜想线段 BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图 2，P为等边ABC内一点，且APD=120 求证：PA+PD+PC BD 8认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）
8、1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当 n 取正整数时可以单独列成表中的形式：明若不成立线段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必备欢迎下载如系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系学习必备 欢迎下载 上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测
9、一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和 （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n 取正整数）的展开式的各项系数之和为 S，（结果用含字母 n 的代数式表示）北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析 1、【解答】AB AD，BC CD，AB=BC，AE=CF，明若不成立线段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必备欢迎下载如系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系学习必备 欢迎下载 在ABE和CBF中，ABE CBF（SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60，ABE=C
10、BF=30，AE=BE，CF=BF；MBN=60，BE=BF，BEF为等边三角形；AE+CF=BE+BF=BE=EF；图 2 成立，图 3 不成立证明图 2延长 DC至点 K，使 CK=AE，连接 BK，在BAE和BCK中，则BAE BCK，BE=BK，ABE=KBC，FBE=60，ABC=120，FBC+ABE=60，FBC+KBC=60，KBF=FBE=60，在KBF和EBF中，KBF EBF，KF=EF，KC+CF=EF，即 AE+CF=EF 图 3 不成立，AE、CF、EF的关系是 AE CF=EF 2【解答】（1）延长 EB到 G，使 BG=DF，连接 AG ABG=ABC=D=90
11、，AB=AD，ABG ADF AG=AF，1=2 1+3=2+3=EAF=BAD GAE=EAF 又AE=AE，AEG AEF EG=EF EG=BE+BGEF=BE+FD；（1）中的结论 EF=BE+FD 仍然成立（3）结论 EF=BE+FD 不成立，应当是 EF=BE FD 证明：在 BE上截取 BG，使 BG=DF，连接 AG B+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADF AB=AD，ABG ADF BAG=DAF，AG=AF BAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BAD GAE=EAF AE=AE，AEG AEF EG=EF EG=BE BG；EF=BE FD 明若不成立线
12、段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必备欢迎下载如系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系学习必备 欢迎下载 3【解答】（1）DEC绕点 C旋转点 D恰好落在 AB边上，AC=CD，BAC=90 B=9030=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DE AC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD的边 AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2；故答案为：DE AC；S
13、1=S2；（2）如图，DEC是由ABC绕点 C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=180 90=90，ACN=DCM，在ACN和DCM 中，ACN DCM（AAS），AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2；（3）如图，过点 D作 DF1BE，易求四边形 BEDF1是菱形，所以 BE=DF1，且 BE、DF1上的高相等，此时 SDCF1=SBDE；过点 D作 DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F
14、2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点 D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=180 30=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点 F2也是所求的点，ABC=60，点 D是角平分线上一点，DE AB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故 BF的长为或 明若不成立线段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必备欢迎下载如系是猜
15、想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系学习必备 欢迎下载 4【解答】（1）设 AP的长是 x，则 BP=2ax，SAPC+SPBD=xx+（2ax）（2ax）=x2ax+a2，当 x=a 时APC与PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；（2）的大小不会随点 P的移动而变化，理由：APC是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，APD CPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180 120=60；（3）此时的大小不会发生改变，始终等于 60理由：
16、APC是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，APD CPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180 120=60 5【解答】DEF是等腰三角形；证明：如图，过点 C作 CPAC，交 AN延长线于点 P RtABC中 AB=AC；BAC=90，ACB=45 PCN=ACB，BAD=ACP；AM BD；ABD+BAM=BAM+CAP=90；ABD=CAP；BAD ACP；AD=CP，ADB=P；AD=CE；CE=CP；CN=CN；CPN CEN；P=CEN；CEN
17、=ADB；FDE=FED；DEF是等腰三角形 附加题：DEF为等腰三角形；证明：过点 C作 CPAC，交 AM的延长线于点 P RtABC中 AB=AC；BAC=90，ACB=45；PCN=ACB=ECN；AM BD；ABD+BAM=BAM+CAP=90；ABD=CAP；BAD ACP；AD=CP，D=P；AD=EC，CE=CP；又CN=CN；CPN CEN；P=E；D=E；DEF为等腰三角形 明若不成立线段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必备欢迎下载如系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系学习必备 欢迎下
18、载 6【解答】（1）判断：EN与 MF相等（或 EN=MF），点 F在直线 NE上，（2）成立 连接 DF，NF，证明DBM 和DFN全等（AAS），ABC是等边三角形，AB=AC=BC 又D，E，F是三边的中点，EF=DF=BF BDM+MDF=60，FDN+MDF=60，BDM=FDN，在DBM 和DFN中，DBM DFN，BM=FN，DFN=FDB=60，NF BD，E，F分别为边 AC，BC的中点，EF是ABC的中位线，EFBD，F在直线 NE上，BF=EF，MF=EN （3）如图，MF与 EN相等的结论仍然成立（或 MF=NE 成立）连接 DF、DE，由（2）知 DE=DF，NDE=
19、FDM，DN=DM，在DNE和DMF 中，；DNE DMF，MF=NE 7【解答】AP=BP+PC，（1）证明：延长 BP至 E，使 PE=PC，连接 CE，BPC=120，CPE=60，又 PE=PC，CPE为等边三角形，CP=PE=CE，PCE=60，ABC为等边三角形，AC=BC，BCA=60，ACB=PCE，ACB+BCP=PCE+BCP，即：ACP=BCE，ACP BCE（SAS），AP=BE，BE=BP+PE，AP=BP+PC （2）证明：在 AD外侧作等边AB D，则点 P在三角形 ADB 外，连接 PB，BC，APD=120 由（1）得 PB=AP+PD，在PBC中，有 PB+
20、PC CB，PA+PD+PC CB，AB D、ABC是等边三角形，AC=AB，AB=AD，明若不成立线段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必备欢迎下载如系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系学习必备 欢迎下载 BAC=DAB=60，BAC+CAD=DAB+CAD，即：BAD=CAB，AB CADB，CB=BD，PA+PD+PC BD 8【解答】解：（1）当 n=1 时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的 系数为：0=，当 n=2 时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为
21、：1=，当 n=3 时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=，当 n=4 时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=，多项式（a+b）n的展开式是一个 n 次 n+1 项式，第三项的系数为：；（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；（3）当 n=1 时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当 n=2 时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当 n=3 时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当 n=4 时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n 明若不成立线段又有怎样的数量关系请写出你的猜想不需证明如图在四请证明若不成立请写出它们之间的数量关系并证明学习必备欢迎下载如系是猜想论证当绕点旋转到如图所示的位置时小明猜想中与的数量关系