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1、-北师大版七年级下册数学培优压轴题-第 7 页北师大版七年级下册数学培优压轴题一解答题（共8小题）1已知四边形ABCD中，AB=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F当MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1），易证AE+CF=EF；当MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2 （1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD求证：EF=BE+FD
2、；（2） 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且EAF=BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明3如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90，B=E=30（1）操作发现：如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1
3、与S2的数量关系是 （2）猜想论证：当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究：已知ABC=60，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长4如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD（1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP= ；（直接写结果）（2）连接AD、BC，相交于点Q，设
4、AQC=，那么的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由；（3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）5如图1，RtABC中AB=AC，点D、E是线段AC上两动点，且AD=EC，AM垂直BD，垂足为M，AM的延长线交BC于点N，直线BD与直线NE相交于点F试判断DEF的形状，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或者更换已知条件，完成你的证明1、画出将BAD沿BA
5、方向平移BA长，然后顺时针旋转90后图形；2、点K在线段BD上，且四边形AKNC为等腰梯形（ACKN，如图2）附加题：如图3，若点D、E是直线AC上两动点，其他条件不变，试判断DEF的形状，并说明理由6如图，已知等边三角形ABC中，点D，E，F分别为边AB，AC，BC的中点，M为直线BC上一动点，DMN为等边三角形（点M的位置改变时，DMN也随之整体移动）（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？都请直接写出结论，不必证明或说明理由；（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2
6、证明；若不成立，请说明理由；（3）若点M在点C右侧时，请你在图3中画出相应的图形，并判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论，不必证明或说明理由7已知：等边三角形ABC；（1）如图1，P为等边ABC外一点，且BPC=120试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，P为等边ABC内一点，且APD=120求证：PA+PD+PCBD8认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a
7、2b+3ab2+b3，下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式 ？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和 （3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）北师大版七年级下册数学培优压轴题参考答案与试题解析1、【解答】ABAD，BCCD，AB=BC，AE=CF，在ABE和CBF中，ABECBF（
8、SAS）；ABE=CBF，BE=BF；ABC=120，MBN=60，ABE=CBF=30，AE=BE，CF=BF；MBN=60，BE=BF，BEF为等边三角形；AE+CF=BE+BF=BE=EF；图2成立，图3不成立证明图2延长DC至点K，使CK=AE，连接BK，在BAE和BCK中，则BAEBCK，BE=BK，ABE=KBC，FBE=60，ABC=120，FBC+ABE=60，FBC+KBC=60，KBF=FBE=60，在KBF和EBF中，KBFEBF，KF=EF，KC+CF=EF，即AE+CF=EF图3不成立，AE、CF、EF的关系是AECF=EF2【解答】（1）延长EB到G，使BG=DF，
9、连接AGABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADFAG=AF，1=21+3=2+3=EAF=BADGAE=EAF又AE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BE+BGEF=BE+FD；（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BEFD证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AGB+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADFAB=AD，ABGADFBAG=DAF，AG=AFBAG+EAD=DAF+EAD=EAF=BADGAE=EAFAE=AE，AEGAEFEG=EFEG=BEBG；EF=BEFD3【解答】（1）DEC绕点C旋转点D恰好落在
10、AB边上，AC=CD，BAC=90B=9030=60，ACD是等边三角形，ACD=60，又CDE=BAC=60，ACD=CDE，DEAC；B=30，C=90，CD=AC=AB，BD=AD=AC，根据等边三角形的性质，ACD的边AC、AD上的高相等，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1=S2；故答案为：DEAC；S1=S2；（2）如图，DEC是由ABC绕点C旋转得到，BC=CE，AC=CD，ACN+BCN=90，DCM+BCN=18090=90，ACN=DCM，在ACN和DCM中，ACNDCM（AAS），AN=DM，BDC的面积和AEC的面积相等（等底等高的三角形
11、的面积相等），即S1=S2；（3） 如图，过点D作DF1BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时SDCF1=SBDE；过点D作DF2BD，ABC=60，F1DBE，F2F1D=ABC=60，BF1=DF1，F1BD=ABC=30，F2DB=90，F1DF2=ABC=60，DF1F2是等边三角形，DF1=DF2，BD=CD，ABC=60，点D是角平分线上一点，DBC=DCB=60=30，CDF1=180BCD=18030=150，CDF2=36015060=150，CDF1=CDF2，在CDF1和CDF2中，CDF1CDF2（SAS），点F2也是所求的点
12、，ABC=60，点D是角平分线上一点，DEAB，DBC=BDE=ABD=60=30，又BD=4，BE=4cos30=2=，BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的长为或4【解答】（1）设AP的长是x，则BP=2ax，SAPC+SPBD=xx+（2ax）（2ax）=x2ax+a2，当x=a时APC与PBD的面积之和取最小值，故答案为：a；（2）的大小不会随点P的移动而变化，理由：APC是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=
13、120，AQC=180120=60；（3）此时的大小不会发生改变，始终等于60理由：APC是等边三角形，PA=PC，APC=60，BDP是等边三角形，PB=PD，BPD=60，APC=BPD，APD=CPB，APDCPB，PAD=PCB，QAP+QAC+ACP=120，QCP+QAC+ACP=120，AQC=180120=605【解答】DEF是等腰三角形；证明：如图，过点C作CPAC，交AN延长线于点PRtABC中AB=AC；BAC=90，ACB=45PCN=ACB，BAD=ACP；AMBD；ABD+BAM=BAM+CAP=90；ABD=CAP；BADACP；AD=CP，ADB=P；AD=CE
14、；CE=CP；CN=CN；CPNCEN；P=CEN；CEN=ADB；FDE=FED；DEF是等腰三角形附加题：DEF为等腰三角形；证明：过点C作CPAC，交AM的延长线于点PRtABC中AB=AC；BAC=90，ACB=45；PCN=ACB=ECN；AMBD；ABD+BAM=BAM+CAP=90；ABD=CAP；BADACP；AD=CP，D=P；AD=EC，CE=CP；又CN=CN；CPNCEN；P=E；D=E；DEF为等腰三角形6【解答】（1）判断：EN与MF相等（或EN=MF），点F在直线NE上，（2）成立连接DF，NF，证明DBM和DFN全等（AAS），ABC是等边三角形，AB=AC=B
15、C又D，E，F是三边的中点，EF=DF=BFBDM+MDF=60，FDN+MDF=60，BDM=FDN，在DBM和DFN中，DBMDFN，BM=FN，DFN=FDB=60，NFBD，E，F分别为边AC，BC的中点，EF是ABC的中位线，EFBD，F在直线NE上，BF=EF，MF=EN（3）如图，MF与EN相等的结论仍然成立（或MF=NE成立）连接DF、DE，由（2）知DE=DF，NDE=FDM，DN=DM，在DNE和DMF中，； DNEDMF，MF=NE7【解答】AP=BP+PC，（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，连接CE，BPC=120，CPE=60，又PE=PC，CPE为等边三角形，
16、CP=PE=CE，PCE=60，ABC为等边三角形，AC=BC，BCA=60，ACB=PCE，ACB+BCP=PCE+BCP，即：ACP=BCE，ACPBCE（SAS），AP=BE，BE=BP+PE，AP=BP+PC（2）证明：在AD外侧作等边ABD，则点P在三角形ADB外，连接PB，BC，APD=120由（1）得PB=AP+PD，在PBC中，有PB+PCCB，PA+PD+PCCB，ABD、ABC是等边三角形，AC=AB，AB=AD，BAC=DAB=60，BAC+CAD=DAB+CAD，即：BAD=CAB，ABCADB，CB=BD，PA+PD+PCBD8 【解答】解：（1）当n=1时，多项式（
17、a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0=，当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1=，当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3=，当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6=，多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：；（2）预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n；（3）当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n