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1、名师总结 优秀知识点 初二三角形所有知识点总结和常考题 知识点：1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形
2、叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对 角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用 多边形覆盖平面，13.公式与性质：三角形的内角和：三角形的内角和为180 三角形外角的性质：性质 1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质 2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.多边形内角和公式：n边形的内角和等
3、于(2)n180 多边形的外角和：多边形的外角和为360.多边形对角线的条数：从n边形的一个顶点出发可以引(3)n条对角 线，把多边形分成(2)n个三角形.n边形共有(3)2n n条对角线.常考题：一选择题（共 13 小题）1已知三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A13cm B6cm C5cm D4cm 2 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若3=50，则1+2=（）名师总结 优秀知识点 A90 B100 C130 D180 3已知如图，ABC 为直角三角形，C=90，若沿图中虚线剪去C，则1+2 等于（）A315 B270 C180
4、D135 4如图，过ABC的顶点 A，作 BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D 5如图，在四边形 ABCD中，A+D=，ABC的平分线与BCD的平分线交于点 P，则P=（）A90 B90+C D360 6如图，RtABC中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点 A落在边 CB上 A处，折痕为 CD，则ADB=（）A40 B30 C20 D10 7如图，在锐角ABC中，CD，BE分别是 AB，AC边上的高，且 CD，BE相交点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫
5、做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 于一点 P，若A=50，则BPC=（）A150 B130 C120 D100 8如图，为估计池塘岸边 A、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O，测得OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A20 米 B15 米 C10 米 D5 米 9将一个 n 边形变成 n+1 边形，内角和将（）A减少 180 B增加 90 C增加 180 D增加 360 10一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1510，则这个多边形对角线的条数是（）A27 B35 C44 D54 11一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A内角和增加 360 B外
6、角和增加 360 C对角线增加一条 D内角和增加 180 12一个三角形三个内角的度数之比为 2：3：7，这个三角形一定是（）A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形 13如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340 的新多边形，则原多边形的边数为（）A13 B14 C15 D16 二填空题（共 13 小题）14 若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 15如图，小亮从 A点出发，沿直线前进 10 米后向左转 30，再沿直线前进 10米，又向左转 30，照这样走下去，他第一次回到出发地 A 点时，一共走了 米 点向它的对边所在直
7、线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 16将一副直角三角板如图放置，使含 30 角的三角板的短直角边和含 45 角的三角板的一条直角边重合，则1 的度数为 度 17当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 称为“特征角”如果一个“特征三角形”的“特征角”为 100，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 18若一个多边形内角和等于 1260，则该多边形边数是 19如图是由射线 AB，BC，CD，DE，E
8、A组成的平面图形，则1+2+3+4+5=20一个多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180，则它的边数是 21若正多边形的一个内角等于 140，则这个正多边形的边数是 22在ABC 中，三个内角A、B、C 满足BA=CB，则B=度 23如图，在ABC中，A=m，ABC和ACD的平分线交于点 A1，得A1；A1BC和A1CD的平分线交于点 A2，得A2；A2012BC和A2012CD的平分线交于点 A2013，则A2013=度 24如图，ABC中，A=40，B=72，CE平分ACB，CDAB 于 D，DF点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性
9、三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 CE，则CDF=度 25用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中BAC=度 26平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则3+12=三解答题（共 14 小题）27如图，直线 DE交ABC的边 AB、AC于 D、E，交 BC延长线于 F，若B=67，ACB=74，AED=48，求BDF的度数 28 如图，已知 D 为ABC边 BC延长线上一点，DFAB于
10、F交 AC于 E，A=35，D=42，求ACD的度数 29已知ABC中，ACB=90，CD为 AB边上的高，BE平分ABC，分别交 CD、AC于点 F、E，求证：CFE=CEF 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 30如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线，（1）若ABE=25，BAD=50，则BED的度数是 度（2）在ADC中过点 C作 AD边上的高 CH（3）若ABC的面积为 60，BD=5，求点 E到 BC边的距
11、离 31如图，在ABC中，AD平分BAC，P 为线段 AD上的一个动点，PEAD交直线 BC于点 E（1）若B=35，ACB=85，求E的度数；（2）当 P 点在线段 AD上运动时，猜想E与B、ACB的数量关系，写出结论无需证明 32如图所示，在ABC 中，B=C，FDBC，DEAB，垂足分别为 D，E，AFD=158，求EDF的度数 33如图，AD平分BAC，EAD=EDA （1）EAC与B相等吗？为什么？（2）若B=50，CAD：E=1：3，求E的度数 34（1）如图 1，有一块直角三角板 XYZ放置在ABC上，恰好三角板 XYZ的两条直角边 XY、XZ分别经过点 B、C ABC中，A=3
12、0，则ABC+ACB=，点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 XBC+XCB=（2）如图 2，改变直角三角板 XYZ的位置，使三角板 XYZ的两条直角边 XY、XZ仍然分别经过 B、C，那么ABX+ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出ABX+ACX的大小 35已知：MON=40，OE平分MON，点 A、B、C分别是射线 OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点 O 重合），连接 AC交射线 OE于点 D
13、设OAC=x （1）如图 1，若 ABON，则 ABO的度数是 ；当BAD=ABD时，x=；当BAD=BDA时，x=（2）如图 2，若 ABOM，则是否存在这样的 x 的值，使得ADB中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由 36平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系 （1）如图 a，若 ABCD，点 P 在 AB、CD外部，则有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD+D，得BPD=BD将点 P 移到 AB、CD内部，如图 b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则BPD、B、D 之间有何数量关系？请证明你的结论；点向它的对边所在直线作垂线顶点和
14、垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点（2）在图 b 中，将直线 AB绕点 B逆时针方向旋转一定角度交直线 CD于点 Q，如图 c，则BPDBDBQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图 d 中A+B+C+D+E+F的度数 37如下几个图形是五角星和它的变形（1）图（1）中是一个五角星，求A+B+C+D+E（2）图（2）中的点 A向下移到 BE上时，五个角的和（即CAD+B+C+D+E）有无变化 说明你的结论的正确性（3）把图（2）中的点
15、C向上移到 BD上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即CAD+B+ACE+D+E）有无变化说明你的结论的正确性 38RtABC中，C=90，点 D、E分别是ABC边 AC、BC上的点，点 P 是一动点令PDA=1，PEB=2，DPE=（1）若点 P 在线段 AB上，如图（1）所示，且=50，则1+2=；（2）若点 P 在边 AB 上运动，如图（2）所示，则、1、2 之间的关系为：；（3）若点 P 运动到边 AB的延长线上，如图（3）所示，则、1、2 之间有何关系？猜想并说明理由 （4）若点 P 运动到ABC形外，如图（4）所示，则、1、2 之间的关系为：39如图所示，求A+B+C+D+E+F
16、的度数 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 40将纸片ABC沿 DE折叠使点 A落在 A处的位置 （1）如果 A落在四边形 BCDE的内部（如图 1），A与1+2 之间存在怎样的数量关系？并说明理由（2）如果 A落在四边形 BCDE的 BE边上，这时图 1 中的1 变为 0 角，则A与2 之间的关系是 （3）如果 A落在四边形 BCDE的外部（如图 2），这时A与1、2 之间又存在怎样的数量关系？并说明理由 点向它的对边所在
17、直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 初二三角形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析 一选择题（共 13 小题）1（2008 福州）已知三角形的两边长分别为 4cm 和 9cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）A13cm B6cm C5cm D4cm【分析】此题首先根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值【解答】解：根据三角形的三边关系，得：第三边应大于两边之差，且小
18、于两边之和，即 94=5，9+4=13 第三边取值范围应该为：5第三边长度13，故只有 B选项符合条件 故选：B【点评】本题考查了三角形三边关系，一定要注意构成三角形的条件：两边之和第三边，两边之差第三边 2（2013 河北）一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若3=50，则1+2=（）A90 B100 C130 D180【分析】设围成的小三角形为ABC，分别用1、2、3 表示出ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于 180 列式整理即可得解【解答】解：如图，BAC=18090 1=90 1，ABC=18060 3=120 3，ACB=18060 2=120 2，在ABC中，BAC+
19、ABC+ACB=180，90 1+120 3+120 2=180，1+2=150 3，3=50，1+2=150 50=100 故选：B 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，用1、2、3 表示出ABC的三个内角是解题的关键，也是本题的难点 3（2010 西藏）已知如图，ABC为直角三角形，C=90，若沿图中虚线剪去C，则1+2 等于（）A315 B270 C180 D135【分析】利用三角
20、形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和解答【解答】解：1、2 是CDE的外角，1=4+C，2=3+C，即1+2=2C+（3+4），3+4=180 C=90，1+2=290+90=270 故选：B 【点评】此题主要考查了三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和 4（2015 长沙）如图，过ABC的顶点 A，作 BC边上的高，以下作法正确的是（）A B C D【分析】根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳
21、定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点【解答】解：为ABC中 BC边上的高的是 A选项 故选 A【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键 5（2014 达州）如图，在四边形 ABCD中，A+D=，ABC的平分线与BCD的平分线交于点 P，则P=（）A90 B90+C D360 【分析】先求出ABC+BCD的度数，然后根据角平分线的性质以及三角形的内角和定理求解P 的度数【解答】解：四边形 ABCD中，ABC+BCD=360（A+D）=360 ，PB和 PC分别为ABC、BCD的平分
22、线，PBC+PCB=（ABC+BCD）=（360 ）=180 ，则P=180（PBC+PCB）=180（180 ）=故选：C【点评】本题考查了多边形的内角和外角以及三角形的内角和定理，属于基础题 6（2009 荆门）如图，RtABC 中，ACB=90，A=50，将其折叠，使点 A落在边 CB上 A处，折痕为 CD，则ADB=（）A40 B30 C20 D10【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得ADB=CADB，又折叠前后图形的形状和大小不变，CAD=A=50，易求B=90 A=40，从而求出ADB 的度数【解答】解：RtABC中，ACB=90，A=50，B=90 50=4
23、0，将其折叠，使点 A落在边 CB上 A处，折痕为 CD，则CAD=A，CAD是ABD的外角，点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 ADB=CAD B=50 40=10 故选：D【点评】本题考查图形的折叠变化及三角形的外角性质关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化解答此题的关键是要明白图形折叠后与折叠前所对应的角相等 7（2004 陕西）如图，在锐角ABC中，
24、CD，BE分别是 AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点 P，若A=50，则BPC=（）A150 B130 C120 D100【分析】根据垂直的定义和四边形的内角和是 360 求得【解答】解：BEAC，CDAB，ADC=AEB=90，BPC=DPE=18050=130 故选 B【点评】主要考查了垂直的定义以及四边形内角和是 360 度 注意BPC与DPE互为对顶角 8（2009 黑河）如图，为估计池塘岸边 A、B 的距离，小方在池塘的一侧选取一点 O，测得 OA=15米，OB=10米，A、B间的距离不可能是（）A20 米 B15 米 C10 米 D5 米【分析】根据三角形的三边关系，第三边
25、的长一定大于已知的两边的差，而小于两边的和，求得相应范围，看哪个数值不在范围即可【解答】解：1510AB10+15，5AB25 所以不可能是 5 米 故选：D【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：已知的两边的差，而两边的和 9（2014 临沂）将一个 n 边形变成 n+1 边形，内角和将（）A减少 180 B增加 90 C增加 180 D增加 360【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案【解答】解：n 边形的内角和是（n2）180，点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成
26、的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 n+1 边形的内角和是（n1）180，因而（n+1）边形的内角和比 n 边形的内角和大（n1）180（n2）180=180 故选：C【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容 10（2015 莱芜）一个多边形除一个内角外其余内角的和为 1510，则这个多边形对角线的条数是（）A27 B35 C44 D54【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答【解答】解：设这个内角度数为 x，边数为 n，（n2）180 x=1510，180n=1870
27、+x=1800+（70+x），n 为正整数，n=11，=44，故选：C【点评】此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识 11（2011 春 滨城区期末）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A内角和增加 360 B外角和增加 360 C对角线增加一条 D内角和增加 180【分析】利用多边形的内角和定理和外角和特征即可解决问题【解答】解：因为 n 边形的内角和是（n2）180，当边数增加一条就变成 n+1，则内角和是（n1）180，内角和增加：（n1）180（n2）180=180；根据多边形的外角和特征，边数变化外角和不变 故选：D【点评】本题主要
28、考查了多边形的内角和定理与外角和特征先设这是一个 n边形是解题的关键 12（2012 滨州）一个三角形三个内角的度数之比为 2：3：7，这个三角形一定是（）A等腰三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D钝角三角形【分析】已知三角形三个内角的度数之比，根据三角形内角和定理，可求得三角的度数，由此判断三角形的类型【解答】解：三角形的三个角依次为 180=30，180=45，180=105，所以这个三角形是钝角三角形 故选：D 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多
29、边形的对角名师总结 优秀知识点【点评】本题考查三角形的分类，这个三角形最大角为 180 90 本题也可以利用方程思想来解答，即 2x+3x+7x=180，解得 x=15，所以最大角为 715=105 13（2014 毕节市）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为 2340 的新多边形，则原多边形的边数为（）A13 B14 C15 D16【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多 1 条边，可得答案【解答】解：设新多边形是 n 边形，由多边形内角和公式得（n2）180=2340，解得 n=15，原多边形是 151=14，故选：B【点评】本
30、题考查了多边形内角与外角，多边形的内角和公式是解题关键 二填空题（共 13 小题）14（2015 资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的 3 倍，则这个多边形的边数是 8 【分析】任何多边形的外角和是 360，即这个多边形的内角和是 3360 n 边形的内角和是（n2）180，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得（n2）180=3 360，解得 n=8 则这个多边形的边数是 8【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决 15（2006 镇江）如图，小亮从 A 点出发，沿直线前进 10 米后
31、向左转 30，再沿直线前进 10 米，又向左转 30，照这样走下去，他第一次回到出发地 A点时，一共走了 120 米 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点【分析】由题意可知小亮所走的路线为一个正多边形，根据多边形的外角和即可求出答案【解答】解：36030=12，他需要走 12 次才会回到原来的起点，即一共走了 1210=120 米 故答案为：120【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理任何一个多边形的外角和都是360 16（
32、2014 随州）将一副直角三角板如图放置，使含 30 角的三角板的短直角边和含 45 角的三角板的一条直角边重合，则1 的度数为 75 度 【分析】根据三角形三内角之和等于 180 求解【解答】解：如图 3=60，4=45，1=5=180 34=75 故答案为：75 【点评】考查三角形内角之和等于 180 17（2013 上海）当三角形中一个内角 是另一个内角 的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中 称为“特征角”如果一个“特征三角形”的“特征角”为 100，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 30 【分析】根据已知一个内角 是另一个内角 的两倍得出 的度数，进而求出最小内角即可
33、【解答】解：由题意得：=2，=100，则=50，180 100 50=30，故答案为：30 【点评】此题主要考查了新定义以及三角形的内角和定理，根据已知得出 的度数是解题关键 18（2013 遂宁）若一个多边形内角和等于 1260，则该多边形边数是 9 【分析】根据多边形内角和定理及其公式，即可解答；点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点【解答】解：一个多边形内角和等于 1260，（n2）180=1260，解得，n=9 故答案为
34、 9【点评】本题考查了多边形的内角定理及其公式，关键是记住多边形内角和的计算公式 19（2015 北京）如图是由射线 AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则1+2+3+4+5=360 【分析】首先根据图示，可得1=180 BAE，2=180 ABC，3=180BCD，4=180 CDE，5=180 DEA，然后根据三角形的内角和定理，求出五边形 ABCDE的内角和是多少，再用 180 5 减去五边形 ABCDE的内角和，求出1+2+3+4+5 等于多少即可【解答】解：1+2+3+4+5=（180 BAE）+（180 ABC）+（180 BCD）+（180 CDE）+（180DEA）=1
35、80 5（BAE+ABC+BCD+CDE+DEA）=900（52）180=900 540=360 故答案为：360 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的内角和=（n2）180（n3）且 n 为整数）（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为 360 20（2014 自贡）一个多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180，则它的边数是 9 【分析】多边形的内角和比外角和的 3 倍多 180，而多边形的外角和是 360，则内角和是 3360+180 n 边形的内角和可以表示成（n2）18
36、0，设这个多边形的边数是 n，得到方程，从而求出边数【解答】解：根据题意，得（n2）180=3360+180，解得：n=9 则这个多边形的边数是 9 故答案为：9【点评】考查了多边形内角与外角，此题只要结合多边形的内角和公式寻求等量点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 关系，构建方程即可求解 21（2015 徐州）若正多边形的一个内角等于 140，则这个正多边形的边数是 9 【分析】首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边
37、数【解答】解：正多边形的一个内角是140，它的外角是：180 140=40，360 40=9 故答案为：9【点评】此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数 22（2013 黔东南州）在ABC中，三个内角A、B、C满足BA=CB，则B=60 度【分析】先整理得到A+C=2B，再利用三角形的内角和等于 180 列出方程求解即可【解答】解：BA=CB，A+C=2B，又A+C+B=180，3B=180，B=60 故答案为：60【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，求出A+C=2B 是解题的关键 23（2013 达州）如图，在ABC中
38、，A=m，ABC和ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC和A1CD的平分线交于点 A2，得A2；A2012BC和A2012CD的平分线交于点 A2013，则A2013=度 【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证A1=A，进而可求A1，由于A1=A，A2=A1=A，以此类推可知A2013=A=【解答】解：A1B平分ABC，A1C平分ACD，点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 A1BC=ABC，A1CA=ACD，A
39、1CD=A1+A1BC，即ACD=A1+ABC，A1=（ACD ABC），A+ABC=ACD，A=ACD ABC，A1=A，A1=m，A1=A，A2=A1=A，以此类推A2013=A=故答案为：【点评】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出A1=A，并能找出规律 24（2012 春 金台区期末）如图，ABC中，A=40，B=72，CE平分ACB，CDAB于 D，DFCE，则CDF=74 度 【分析】利用三角形的内角和外角之间的关系计算【解答】解：A=40，B=72，ACB=68，CE平分ACB，CDAB于 D，BCE=34，BCD=90 72=18，DFCE，CDF=90（
40、34 18）=74 故答案为：74【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是 180 度，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是 180”这一隐含的条件；（3）三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角注意：垂直和直角总是联系在一起 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 25（2006 临安市）用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉
41、紧、压平就可以得到如图（2）所示的正五边形 ABCDE，其中BAC=36 度 【分析】利用多边形的内角和定理和等腰三角形的性质即可解决问题【解答】解：ABC=108，ABC是等腰三角形，BAC=BCA=36度【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理和等腰三角形的性质 n 边形的内角和为：180（n2）26（2015 河北）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则 3+12=24 【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数是多少，然后分别求出3、1、2 的度数是多少，进而求出3+12 的度数即可【解
42、答】解：正三角形的每个内角是：180 3=60，正方形的每个内角是：360 4=90，正五边形的每个内角是：（52）180 5=3180 5=540 5=108，正六边形的每个内角是：（62）180 6=4180 6=720 6=120，则3+12 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点=（90 60）+（120 108）（108 90）=30+12 18=24 故答案为：24 【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握
43、，解答此题的关键是要明确：（1）n 边形的内角和=（n2）180（n3）且 n 为整数）（2）多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则 n 边形取 n 个外角，无论边数是几，其外角和永远为 360 三解答题（共 14 小题）27（2013 春 临清市期末）如图，直线 DE交ABC的边 AB、AC 于 D、E，交BC延长线于 F，若B=67，ACB=74，AED=48，求BDF的度数 【分析】先根据三角形的内角和定理求出A的度数，再根据三角形外角的性质求出BDF的度数【解答】解：因为A+B+ACB=180，所以A=180 67 74=39，所以BDF=A+AED=39+48=87 【点评】本题考
44、查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是外角和内角的关系 28（2013 湖州校级模拟）如图，已知 D 为ABC边 BC延长线上一点，DFAB于 F交 AC于 E，A=35，D=42，求ACD的度数 【分析】根据三角形外角与内角的关系及三角形内角和定理解答【解答】解：AFE=90，AEF=90A=90 35=55，CED=AEF=55，ACD=180CED D=180 55 42=83 答：ACD的度数为 83 【点评】三角形外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和三角形内角和定理：三角形的三个内角和为 180 29（2015 秋 全椒县期中）已知ABC中，A
45、CB=90，CD为 AB边上的高，BE平分ABC，分别交 CD、AC于点 F、E，求证：CFE=CEF 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案【解答】证明：ACB=90，1+3=90，CDAB，2+4=90，又BE平分ABC，1=2，3=4，4=5，3=5，即CFE=CEF 【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；
46、正确利用角的等量代换是解答本题的关键 30（2010 春 横峰县校级期末）如图，AD为ABC的中线，BE为ABD的中线，（1）若ABE=25，BAD=50，则BED的度数是 度（2）在ADC中过点 C作 AD边上的高 CH（3）若ABC的面积为 60，BD=5，求点 E到 BC边的距离 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，BED=ABE+BAE=75；（2）三角形高的基本作法：用圆规以一边两端点为圆心，任意长为半径作两段弧，交于角的两边，再以交点为圆心，用交轨法作两段弧，找到两段弧的交点，连接两个交点，并过另一端点作所成直线的平行线，叫该边所在直线一点，连接该点和另一
47、端点，则为高线；（3）我们通过证明不难得出三角形中线将三角形分成面积相等的两个三角形，那么可依据 D 是 BC中点，E是 AD中点，求出三角形 BED的面积三角形 BDE中，E到 BD的距离就是 BD边上的高，有了三角形 BDE的面积，BD的长也容易点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 求得那么高就求出来了【解答】解：（1）BED=ABE+BAE=75；（2）CH为所求的高 （3）解：如图，过点 E作 EF BD于点 F，AD
48、是 BC的中线 BD=CD SABD=SACD=60=30 同理 SBED=SABE=30=15 又SBED=BDEF=5EF=15 EF=6 即点 E到 BC边的距离为 6【点评】本题主要考查了基本作图中，三角形高的作法，三角形的内角和外角等知识点 31（2015 春 单县期末）如图，在ABC中，AD平分BAC，P 为线段 AD上的一个动点，PEAD交直线 BC于点 E（1）若B=35，ACB=85，求E的度数；（2）当 P 点在线段 AD上运动时，猜想E与B、ACB的数量关系，写出结论无需证明 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角
49、形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 【分析】（1）中，首先根据三角形的内角和定理求得BAC的度数，再根据角平分线的定义求得DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出ADC的度数，进一步求得E的度数；（2）中，根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系【解答】解：（1）B=35，ACB=85，BAC=60，AD平分BAC，DAC=30，ADC=65，E=25；（2）设B=n，ACB=m，AD平分BAC，1=2=BAC，B+ACB+BAC=180，B=n，ACB=m，CAB=（180nm），BAD=（180nm）
50、，3=B+1=n+（180nm）=90+n m，PEAD，DPE=90，E=90（90+n m）=（mn）=（ACB B）【点评】运用了三角形的内角和定理以及角平分线的定义特别注意第（2）小题，由于B和ACB的大小不确定，故表达式应写为两种情况 点向它的对边所在直线作垂线顶点和垂足间的线段叫做三角形的高中线三角形的角平分线三角形的稳定性三角形的形状是固定的三角形的这个形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角多边形的对角名师总结 优秀知识点 32（2010 春 朝阳区期末）如图所示，在ABC中，B=C，FDBC，DEAB，垂足分别为 D，E，AFD=158，求EDF的度数 【分析】要求