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1、学习必备 欢迎下载 数论 数论问题本身范围很广，我们考察小学奥数的内容，完全平方数等知识点跟基础课内容结合很紧密，但又是小奥的重难点，我们有必要加以重视本讲需要学生掌握的知识点有：平方数性质、平方差公式、约数个数定理、约数和定理、辗转相除法等.本讲内容中，平方数部分是数论中最基本的部分，学生应当学会熟练运用平方差公式，对于约数和倍数部分，老师应当更注重其中的逻辑过程，可以适当用一些代数的方法将题目讲的更明白和透彻.【例 1】一个 5 位数，它的各位数字和为 43，且能被 11 整除，求所有满足条件的 5 位数【分析】现在我们有两个入手的选择，可以选择数字和，也可以选择被 11 整除，但我们发现
2、被 11 整除性质的运用要有具体的数字，而现在没有，所以我们选择先从数字和入手 5 位数数字和最大的为 9 5=45，这样 43 的可能性只有 9，9，9，9，7 或 9，9，9，8，8这样我们接着用 11 的整除特征，发现符合条件的有 99979，97999，98989 【例 2】已知ABCA是一个四位数，若两位数AB是一个质数，BC是一个完全平方数，CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，则满足条件的所有四位数是_.【分析】本题综合利用数论知识，因为AB是一个质数，所以B不能为偶数，且同时BC是一个完全平方数，则符合条件的数仅为16、36，当1B 时，满足AB是一个质数的数有11，31
3、，41，61，71，时，此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有3163符合；当3B，满足AB是一个质数的数有13，23，43，53，73，83，此时同时保证CA是一个质数与一个不为1的完全平方数之积，只有8368符合 【例 1】2001个连续的自然数之和为abcd ，若a、b、c、d都是质数，则abcd 的最小值是多少？【分析】遇到等量关系的表述时，先将其转化为数学语言设这2001个连续自然数中最小的一个是A，则最大的一个是2000A(遇到多个连续自然数问题，转化时一般均采用假设法，自己需要的量，题目中没有时，可以设未知数)，则它们的和是：2000 20011000200
4、11000323292AAAA ，则1000A是质数，所以A的最小值是9abcd 的最小值是：1009323291064.分解质因数 专题精讲 专题回顾 学习必备 欢迎下载 拓展 101 个连续的非零自然数的和恰好是四个不同的质数的积，那么这个最小的和应该是_ 分析 设这101个自然数中最小的数为a，则 101 个连续自然数的和为：a+(a+1)+(a+2)+(a+100)=(a+a+100)1012=(a+50)101 因为 101 是质数，所以a+50 必须是 3 个质数的乘积，要使和最小 经检验a+50=66=2 3 11 最小，所以和最小为 66 101=6666 铺垫 已知=，其中、
5、分别表示不同的数字，那么四位数是多少？分析 因 为 10101，所 以 在 题 述 等 式 的 两 边 同 时 约 去 即 得 10101作质因数分解得101013 7 1337 ，由此可知该数分解为3个两位数乘积的方法仅有21 13 37 注意到两位数 的十位数字和个位数字分别在另外的两位数 和中出现，所以=13，=37，=21即=7，=1，=3，=2，所求的四位数是7132 【例 2】N为自然数，且1N，2N、9N 与 690 都有大于 l 的公约数N的最小值为_ 【分析】6902 3 5 23 ，连续 9 个数中，最多有 5 个是 2 的倍数，也有可能有 4 个是 2 的倍数，如果有 5
6、 个连续奇数，这 5 个连续奇数中最多有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数，所以必然有一个数不是 2、3、5、23 的倍数，即与 690 没有大于 l 的公约数 所以 9 个数中只有 4 个奇数，这个数中，有 2 个 3 的倍数，1 个 5 的倍数，1 个 23 的倍数，则1N、3N、5N、7N、9N 是偶数，剩下的 4 个数中2N、8N 是 3 的倍数（5 个偶数当中只有5N 是 3 的倍数），还有4N、6N 一个是 5 的倍数，一个是 23 的倍数.剩下的可以用中国剩余定理求解，5N 是 2 和 3 的倍数，且相邻两个数中一个是 23 的倍数，另一个是 5 的倍
7、数，显然524N 是最小解，所以N的最小值为 19 【例 3】已知，甲乙两数的最小公倍数是 288，最大公约数是 4，甲乙两数不是 288 和 4 中的数，那么甲乙两数的乘积为多少?和为多少?【分析】设甲乙两个数为4x，4y，(x和y都不等于 1 或 72),则x，y两数互质，于是4x，4y的最小公倍数为4xy，所以288724xy，327223，由于x，y互质，所以2或3不可能在x，y的因子中都出现，所以x，y一个是8一个是9，所以两数的乘积等于44441152yxxy，和为 4448968xy .【例 4】有 15 位同学，每位同学都有编号，它们是 1 号到 15 号1 号同学写了一个自然
8、数，2 号说：“这个数能被 2 整除”，3 号说“这个数能被 3 整除”，依次下去，每位同学都说，这个数能被他的编号数整除，1 号作了一一验证，只有编号相邻的两位同学说得不对，其余同学都对，问：说得不对的两位同学，他们的编号是哪两个连续自然数？如果告诉你，1 号写的数是五位数，请求出这个数【分析】首先可以断定编号是2，3，4，5，6，7号的同学说的一定都对不然，其中说的不对的编号乘以2后所得编号也将说得不对，这样就与“只有编号相邻的两位同学说的不对”不符合因此，这个数能被2，3，4，5，6，7都整除 其次利用整除性质可知，这个数也能被2 5，3 4，2 7都整除，即编号为10，12，14的同学
9、说的也对从而可以断定说的不对的编号只能是8和9 约数、倍数 数和定理辗转相除法等本讲内容中平方数部分是数论中最基本的部分学它的各位数字和为且能被整除求所有满足件的位数分析现在我们有两个的可能性只有或这样我们接着用的整除特征发现符合件的有例已知是一学习必备 欢迎下载 这个数是2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15的公倍数，由于上述十二个数的最小公倍数是60060，因为 60060 是一个五位数，而十二个数的其他公倍数均不是五位数，所以 1 号同学写的数就是60060 拓展 一个两位数有 6 个约数，且这个数最小的 3 个约数和为 10，那么此数为几？分析 最小的三个约数中必然
10、包括约数 1，除去 1 以外另外两个约数和是 9，由于 9 是 1 个奇数，所以这两个约数的奇偶性质一定是相反的，其中一定有一个是偶数，如果一个数包含偶约数，那么它一定是 2 的倍数，即 2 是它的约数于是显然的，2 是这个数第二小的约数，而第三小的约数是7，所以这个两位数是 14 的倍数，由于这个两位数的约数中不含 3、4、5、6，所以这个数只能是14 或 98，其中有 6 个约数的是 98 【例 5】两数乘积为2800，而且己知其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，那么这两个数分别是_、_【分析】422800257，由于其中一数的约数个数比另一数的约数个数多1，所以这两个数中有一个数的
11、约数为奇数个，这个数为完全平方数故这个数只能为22、42、25、2225或4225经检验，只有两数分别为42和257时符合条件，所以这两个数分别是16和175 铺垫 在三位数中，恰好有9个约数的数有多少个？分析 91 93 3 ，所以9个约数的数可以表示为一个质数的8次方，或者两个不同质数的平方的乘积，前者在三位数中只有256符合条件，后者中符合条件有100、196、484、676、225、441,所以符合条件的有7个.【例 6】两个整数A、B的最大公约数是C，最小公倍数是D，并且已知C不等于1，也不等于A或B，187CD，那么AB等于多少？【分析】最大公约数C，当然是最小公倍数D的约数，因此
12、C是187的约数，18711 17，C不等于 1，只能是11C 或者17C 如果11C，那么18711176D A和B都是176的约数，A和B不能是 11，只能是 22，44，88，176 这四个数中的两个，但是这四个数中任何两个数的最大公约数都不是 11，由此得出C不能是 11现在考虑17C，那么18717170D，A和B是 170的约数，又要是 17 的倍数，有34，85，170三个数，其中只有 34 和 85 的最大公约数是 17，因此，A和B分别是 34 和 85，3485119AB 【例 7】已知A是一个有 12 个约数的合数，8A、10A有 24 个约数，12A有 40 个约数，求
13、15A有多少个约数？【分析】设235abcAd ，d中不含有 2、3、5 因子，那么A的约数个数有 11112abcN(其中N为d的约数个数)8A的约数个数为41124abcN，与比较得到421aa,于是2a，10A的约数个数为 21241224abcNbcN，与比较2312cc，于是1c，12A的约数个数为32110240abcNbN，与比较得到221bb，于是0b，约数个数定理：设自然数n的质因子分解式如312123naaaanpppp.那么n的约数个数为 1231111nd naaaa 自然数n的约数和为 11221121211111222211aaaaS nPPPPPPPP 1211n
14、naannnnPPPP 数和定理辗转相除法等本讲内容中平方数部分是数论中最基本的部分学它的各位数字和为且能被整除求所有满足件的位数分析现在我们有两个的可能性只有或这样我们接着用的整除特征发现符合件的有例已知是一学习必备 欢迎下载 将a、b、c代入得到2N，15A的约数个数为 12236abcN.铺垫已知偶数A不是4的整数倍，它的约数的个数为12，求4A的约数的个数.分析 将A分解，2AB，其中B是奇数，它的约数的个数为 1 112N，(其中N为B的约数个数)，则4A的约数个数为 1324N.【例 8】要使129mn这个积是56的倍数，并要使mn最小，则_,_mn【分析】分析题意，为同一个数可以
15、由两种乘积的形式表示关于因数乘积表示形式，类比联系我们所学的知识点：质因数的唯一分解式：3121231,212.,.,nbbbbnnnappppp ppb bb 为质因数，为自然数 则2212923mnmmn是555623的倍数，则得到25,25mm nmn为整数，使mn最小，则31mn 【例 9】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【分析】完全平方数，所有质因数必成对出现 327223266 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，2 31 31192220082 32322048 ，共31个 铺垫有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方
16、数，则这五个数中最小数的最 小值为_ 分析 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧设中间数是x,则它们的和为5x,中间三数的和为3x5x是平方数，设2255xa,则25xa223153 5xaa 是立方数，所以2a至少含有3和5的质因数各2个,2a至少是225,中间的数至少是1125最小数的最小值为1123 【例10】志诚小学三四年级的学生人数比一二年级的学生人数多100人，但比五六年级的学生人数少53人，已知五六年级的学生人数和一二年级的学生人数都是完全平方数，那么志诚中学总的学生人数有多少人？(请写出最现实的答案)【分析】五六年级的人数和一二年
17、级的学生人数都是完全平方数，所以可以设五六年级的学生人数为2A，一二年级的学生人数为2B，则 153ABAB，而1533 3 17 ，所以，AB与AB可能为153和1；17和9；51和3，由这三个答案得到的A和B的值分别为：77 和 76，13 和 4，27 和 24，显然由前两组答案得到的学校人数不符合现实，所以27A，24B 为最佳结果.此时五六年级的学生人数为729人，一二年级的学生人数为 576 人，三四年级的学生人数为 676，学校的总人数为7295766761981人.铺垫能否找到这么一个数，它加上 24，和减去 30 所得的两个数都是完全平方数？分析 假设能找到，设这两个完全平方
18、数分别为2A、2B，那么这两个完全平方数的差为 54ABAB，由于AB和AB的奇偶性质相同，所以 ABAB不是4的倍数，就是奇数，所以54不可能等于两个平方数的差，所以这样的数找不到.【例11】一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”，比如 16=2253,16 就是一个“智慧数”，那么从 1 开始的自然数列中，第 2003 个“智慧数”是_【分析】22ab=abab因为ab与ab同奇同偶，所以“智慧数”是奇数或是 4 的倍数 对于任何大于 1 的奇数21n(1n)，当1an，bn时，都有22ab=22(1)nn=21n 即任何大于 1 的奇数都是“智慧数”完全平方数 数
19、和定理辗转相除法等本讲内容中平方数部分是数论中最基本的部分学它的各位数字和为且能被整除求所有满足件的位数分析现在我们有两个的可能性只有或这样我们接着用的整除特征发现符合件的有例已知是一学习必备 欢迎下载 对于任何大于4的4的倍数4n(2n)，当1an，1bn 时，都有22ab=22(1)(1)nn=4n 即任何大于 4 的 4 的倍数都是“智慧数”除了 1 和 4 以外，非“智慧数”都是不能被 4 整除的偶数，“智慧数”约占全部正整数的343200326714，为26724668，加上 1 和 4 这两个非“智慧数”，在 12672 中共有非“智慧数”668+2=670(个)，有“智慧数”26
20、72 670=2002(个)所以第 2003 个“智慧数”是 2673 【例12】（20XX 年清华附中入学考试题）有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数（个位数和十位数）相同，那么这两个两位数是 （请写出所有可能的答案）【分析】（法一）设这两个数分别是a和14a，则2a与214a 两个数的末两位相同，即2a与228196aa的末两位相同，所以28196a 是100的倍数，a个位只能是3或8先设103ak，则28196280280ak，当4k，9时满足条件，但9k 时较大的两位数大于100不合题意再设108ak，可求得1k，6时满足条件 所以一共有(43,57
21、)、(18,32)、(68,82)三组答案 （法二）22141414287aaaaaaa,287a 是100的倍数，所以7a 是 25的倍数，符合条件的a只有18、43、68 1 两个连续自然数的平方和等于365，又有三个连续自然数的平方和等于365，则这两个连续自然数为_，这三个连续自然数为_【分析】221314365，所以这两个连续自然数为13、14，222101112365，所以这三个连续自然数为10、11、12 2 有n个自然数相加：123naaa (和恰好是三个相同数字组成的三位数)，那么n _【分析】(1)1232n nnaaa ，(1)22 1112337n naaaaa ，由于
22、a是个一位数，n与1n是两个相邻的整数，只有当6a，36n 时满足题意，所以所求的n为36 3 已知A有12个约数，9A有24个约数，15A有36个约数，5A有多少个约数？【分析】设3 5abAB，有 1112abN个约数，(N为B的约数个数)，于是9A有3124abN个约数，所以1a，15A有3236bN个约数，由此求得0b，6N，所以5A有 12424abNN个约数.4 A、B两数都只含有质因数 3 和 2，它们的最大公约数是 18已知A有 12 个约数，B有 8 个约数，那么AB _【分析】121823，A、B至少含有两个 3 和一个 2因为A有 12 个约数，121 12263 4 ，
23、所以A可能是1523、3223或2323，B有 8 个约数，81 824 ，所以1323B ，于是A只能是3223，故32132323126AB 5 把 26、33、34、35、63、85、91、143 分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为 1 那么最少要分几组?【分析】本题是一道关于最大公约数的问题我们知道两个数的最大公约数为 1，即互质，相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数这就提示我们将题目所给的数字质因数分解将题目中的数巩固精练 数和定理辗转相除法等本讲内容中平方数部分是数论中最基本的部分学它的各位数字和为且能被整除求所有满足件的位数分析现在我们有两个的可能性只有或这样
24、我们接着用的整除特征发现符合件的有例已知是一学习必备 欢迎下载 字质因数分解如下：262 13，333 11，342 17，3557，26337，855 17，917 13，14311 13 由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为 1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为 3 组 我们这里推出一种分法：将 26、35 分为一组，91、34、33 分为一组，而 143、63、85 分为一组 数和定理辗转相除法等本讲内容中平方数部分是数论中最基本的部分学它的各位数字和为且能被整除求所有满足件的位数分析现在我们有两个的可能性只有或这样我们接着用的整除特征发现符合件的有例已知是一