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1、第十一讲数论综合（二）教学目标：1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型；2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想例题精讲：板块一质数合数【例1】有三张卡片，它们上面各写着数字1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来【解析】抽 一张卡片，可写出一位数1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数12，13，21，23，31，32；抽三张卡片，可写出三位数123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为6，都能被3 整除，所以都是合数这些数中，是质数的有
2、：2，3，13，23，31【例2】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数【解析】设 这三个质数分别是a、b、c，满足11abcabc()，则可知a、b、c中必有一个为11，不妨记为a，那么11bcbc，整理得(1b)(1c)12，又121122634，对应的2b、13c或3b、7c或4b、5c(舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13 或 3，7，11【例3】用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数？【解析】要 使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数
3、，这样还剩下1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有1、4、8、9 可以组成质数41、89，而 6 可以与 7 组合成质数67所以这9 个数字最多可以组成6 个质数【例4】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数 求这两个整数分别是多少？【解析】两 位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如331322313301617，共有 16 种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了 可以从乘积入手，因为
4、三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是111 的倍数，而111373，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37 或 37 的倍数，但只能是37 的 2 倍(想想为什么？)3 倍就不是两位数了把 九 个 三 位 数 分 解：111373、222376743、333379、4443712746、5553715、6663718749、7773721、88837247412、9993727把两个因数相加，只有(743)77和(3718)55的两位数字相同所以满足题意的答案是74和 3，37 和 1
5、8板块二余数问题【例5】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被 除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的 17 倍还多 13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)(17+1)=115，所以被除数=2083-115=1968【例6】已知 2008被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个？【解析】本 题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时
6、还要满足大于10 这个条件这样题目就转化为1998 有多少个大于10 的约数，319982337，共有(1+1)(3+1)(1+1)=16 个约数，其中1，2，3，6，9 是比 10 小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个【例7】有一个整数，除39，51，147 所得的余数都是3，求这个数【解析】(法 1)39336，1473144，(36,144)12，12 的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3 要小于除数，这个数是4,6,12；(法 2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数513912，14739108，(12,
7、108)12，所以这个数是4,6,12【例8】(2005 年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160 所得到的3 个余数之和是 50，那么这个整数是_【解析】(70110160)50290，50316.2，除数应当是290 的大于17 小于 70 的约数，只可能是29 和 58，110581.52，5052，所以除数不是5870292.12，110293.23，160295.15，50152312，所以除数是29【巩固】(2002 年全国小学数学奥林匹克试题)用自然数n 去除 63，91，129 得到的三个余数之和为25，那么 n=_【解析】n 能整除25825129
8、9163因为2538.1，所以 n 是 258 大于 8 的约数显然，n 不能大于 63符合条件的只有43【例9】一个大于10的自然数去除90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？【解析】这 个自然数去除90、164 后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90164254后所得的余数，所以 254 和 220 除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是25422034的约数，又大于 10，这个自然数只能是17 或者是 34如果这个数是34，那么它去除90、164、220 后所得的余数分别是22、28、16，不符合题目条件；如果这个数是17
9、，那么他去除90、164、220 后所得的余数分别是5、11、16，符合题目条件，所以这个自然数是17【例10】甲、乙、丙三数分别为603，939，393某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2 倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2 倍求A等于多少？【解析】根 据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将它们表示出来：11603AKr22939AKr33393AKr由于122rr，232rr，要消去余数1r，2r，3r，我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减这样我们先把第二个式子乘以2，使得被除数和余数都扩大2 倍，同理，第三个式子乘以4于是我们可以得到下面的式子：116
10、03AKr22939222AKr33393424AKr这样余数就处理成相同的最后两两相减消去余数，意味着能被A整除93926031275，3934603969，1275,9695131751 的约数有1、3、17、51，其中 1、3 显然不满足，检验17 和 51 可知 17 满足，所以A等于 17【例11】(2003 年南京市少年数学智力冬令营试题)20032与22003的和除以7 的余数是 _【解析】找 规律用7 除 2，22，32，42，52，62，的余数分别是2，4，1，2，4，1，2，4，1，2的个数是3 的倍数时，用7 除的余数为1；2 的个数是3 的倍数多1 时，用 7 除的余数
11、为2；2 的个数是 3 的倍数多 2 时，用 7 除的余数为4因为20033667222，所以20 032除以 7 余 4又两个数的积除以 7 的余数，与两个数分别除以7 所得余数的积相同 而 2003 除以 7 余 1，所以22003除以 7 余 1 故20032与22003的和除以7 的余数是415【巩固】2008222008除以 7 的余数是多少？【解析】328除以 7 的余数为1，200836691，所以20083 6691366922(2)2，其除以7 的余数为：669122；2008 除以7 的余数为6，则22008除以7 的余数等于26除以 7 的余数，为1；所以20082220
12、08除以 7 的余数为：213【例12】(2009 年走美初赛六年级)有一串数：1，1，2，3，5，8，,，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009 个数中，有几个是5 的倍数？【解析】由 于两个数的和除以5 的余数等于这两个数除以5 的余数之和再除以5 的余数所以这串数除以5 的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以发现这串余数中，每20 个数为一个循环，且一个循环中，每5 个数中第五个数是5 的倍数由于200954014，所以前2009 个数中，有401 个是 5 的倍数【巩固】著名的裴波那契数
13、列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21,这串数列当中第2008 个数除以3所得的余数为多少？【解析】斐 波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3 除所得余数的数列：1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3 除的余数每8 个一个周期循环出现，由于2008 除以 8 的余数为0，所以第2008 项被 3 除所得的余数为第 8 项被 3 除所得的余数，为0【例13】(1997 年全国小学数学奥林匹克试题)将12345678910111
14、213.依次写到第1997 个数字，组成一个1997 位数，那么此数除以9 的余数是 _【解析】本 题第一步是要求出第1997 个数字是什么，再对数字求和19共有 9 个数字，1099共有 90 个两位数，共有数字：902180(个)，100999共 900 个三位数，共有数字：90032700(个)，所以数连续写，不会写到999，从 100 开始是 3 位数，每三个数字表示一个数，(19979180)3602.2，即有 602 个三位数，第 603 个三位数只写了它的百位和十位从100 开始的第602 个三位数是701，第 603 个三位数是9，其中 2 未写出来因为连续 9 个自然数之和能
15、被9 整除，所以排列起来的9 个自然数也能被9 整除，702 个数能分成的组数是：702978(组)，依次排列后，它仍然能被9 整除，但 702 中 2 未写出来，所以余数为9-27【例14】有 2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和【解析】本 题条件仅给出了两个乘数的数字之和，同时发现乘积的一部分已经给出，即乘积的一部分数字之和已经给出，我们可以采用弃九法原理的倒推来构造出原三位数因为这是一个一定正确的算式，所以一定可以满足弃九法的条件，两个三位数除以9 的余数分别为1 和 8，所以等式一边除以9
16、 的余数为 8，那么 1031 除以 9 的余数也必须为8，只能是3将 31031 分解质因数发现仅有一种情况可以满足是两个三位数的乘积，即31031311001143217所以两个三位数是143 和 217，那么两个三位数的和是360【例15】设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那么D？【解析】由 于一个数除以9 的余数与它的各位数字之和除以9 的余数相同，所以20092009与A、B、C、D除以 9 都同余，而 2009 除以 9 的余数为2，则20092009除以 9 的余数与20092除以 9 的余数相同，而6264除
17、以 9 的余数为1，所以334200963345652222除以 9 的余数为52除以 9 的余数，即为5另一方面，由于20092009803620091000010，所以20092009的位数不超过8036 位，那么它的各位数字之和不超过9803672324，即72324A；那么A的各位数字之和9545B，B的各位数字之和9218C，C小于 18 且除以 9 的余数为5，那么C为 5 或 14，C的各位数字之和为5，即5D板块三完全平方数【例16】从 1 到 2008的所有自然数中，乘以72 后是完全平方数的数共有多少个？【解析】完 全平方数，其所有质因数必定成对出现而327223266，所
18、以满足条件的数必为某个完全平方数的2 倍，由于2313119222008232322048，所以221、222、2231都满足题意，即所求的满足条件的数共有31 个【例17】一个数减去100是一个平方数，减去63 也是一个平方数，问这个数是多少？【解析】设 这个数减去63为2A，减去100为2B，则221006337371ABABAB，可知37AB，且1AB，所以19A，18B，这样这个数为218100424【巩固】能 否找到这么一个数，它加上24，和减去30 所得的两个数都是完全平方数？【解析】假 设能找到，设这两个完全平方数分别为2A、2B，那么这两个完全平方数的差为54ABAB，由于AB
19、和AB的奇偶性质相同，所以ABAB不是 4 的倍数，就是奇数，不可能是像54 这样是偶数但不是4 的倍数所以54不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的【例18】有5 个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为【解析】考 查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的设中间数是x，则它们的和为5 x，中间三数的和为3x5 x是平方数，设2255xa，则25xa，2231535xaa是立方数，所以2a至少含有 3 和 5 的质因数各2 个，即2a至少是
20、225，中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123板块四位值原理【例19】(美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】设 原来的两位数为ab，交换后的新的两位数为ba，根据题意，(10)(10)9()45abbaabbaab，5ab，原两位数最大时，十位数字至多为9，即9a，4b，原来的两位数中最大的是94【巩固】将 一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大 8802求原来的四位数【解析】设 原数为a
21、bcd，则新数为dcba，(100010010)(100010010)999()90()dcbaabcddcbaabcddacb根据题意，有999()90()8802dacb，111()10()97888890dacb推知8da，9cb，得到9d，1a，9c，0b，原数为1099【例20】(第五届希望杯培训试题)有 3 个不同的数字，用它们组成6 个不同的三位数，如果这6 个三位数的和是1554，那么这3 个数字分别是多少？【解析】设 这六个不同的三位数为,abcacbbacbcacabcba，因为1 0 01 0a bcabc，10010acbacb，它们的和是：222()1554abc，所
22、以15542227abc，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为 1，2，而7(12)4，所以最大的数最大为4；又12367，所以最大的数大于3，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2【巩固】(迎春杯决赛)有三个数字能组成6 个不同的三位数，这6 个三位数的和是2886，求所有这样的6 个三位数中最小的三位数【解析】设 三个数字分别为a、b、c，那么 6 个不同的三位数的和为：2()1002()102()222()abcacbbacbcacabcbaabcabcabcabc所以288622213abc，最小的三位数的百位数应为1，十位数应尽可能地小，由于十位数与个位
23、数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为9，此时十位数为13193，所以所有这样的6 个三位数中最小的三位数为139【巩固】a，b，c 分别是09中不同的数码，用a，b，c 共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】由a，b，c组成的六个数的和是222()abc因为223422210，所以10abc若11abc，则所求数为222112234208，但2081011，不合题意若12abc，则所求数为222122234430，但430712，不合题意若13abc，则所求数为222132234652，65213，符合题意若14abc，则所求数为2221422
24、34874，但8741914，不合题意若15abc，则所求数2221522341096，但所求数为三位数，不合题意所以，只有13abc时符合题意，所求的三位数为652板块五进制问题【例21】在几进制中有413100？【解析】利 用尾数分析来解决这个问题：由于101010(4)(3)(12)，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12 全部进到上一位所以说进位制n为 12 的约数，也就是12，6，4，3，2 中的一个但是式子中出现了4，所以n要比 4 大，不可能是4，3，2 进制另外，由于101010(4)(13)(52)，因为52100，也就是说不到10 就已经进位，才能是100，于是知道
25、10n，那么n不能是 12所以，n只能是 6【巩固】算 式15342543214是几进制数的乘法？【解析】注 意到尾数，在足够大的进位制中有乘积的个位数字为4520，但是现在为4，说明进走20416，所以进位制为16 的约数，可能为16、8、4 或 2因为原式中有数字5，所以不可能为4、2 进位，而在十进制中有1534253835043214，所以在原式中不到10 就有进位，即进位制小于10，于是原式为8 进制【例22】在 6 进制中有三位数abc，化为 9 进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】(abc)6=a 62b6+c=36a+6b+c；(cba)9=c92+b 9+a=
26、81c+9b+a；所以 36a+6b+c=81c+9b+a；于是 35a=3b+80c；因为 35a 是 5 的倍数，80c 也是 5 的倍数所以 3b也必须是5 的倍数，又(3，5)=1 所以，b=0 或 5当 b=0，则 35a=80c；则 7a=16c；(7，16)=1，并且 a、c0，所以 a=16，c=7但是在 6，9 进制，不可以有一个数字为16当 b=5，则 35a=35+80c；则 7a=3+16c；mod 7 后，3+2c0所以 c=2 或者 2+7k(k 为整数)因为有 6 进制，所以不可能有9 或者 9 以上的数，于是 c=2；35a=15+802，a=5 所以(abc)
27、6 =(552)6=5 62+56+2=212这个三位数在十进制中为212课后练习：练习1 三 个质数的乘积恰好等于它们的和的7 倍，求这三个质数【解析】设 这三个质数分别是a、b、c，满足7()abcabc，则可知a、b、c中必有一个为7，不妨记为a，那么7bcbc，整理得(1)(1)8bc，又81824，对应的b2、c9(舍去)或b3、c5，所以这三个质数可能是3，5，7练习2 有 一个大于1 的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数【解析】这 个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除这三个数中的
28、任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数1014556，594514，(56,14)14，14的约数有1,2,7,14，所以这个数可能为2,7,14练习3 将1至2008 这2008个 自 然 数，按 从 小 到 大 的 次 序 依 次 写 出，得 一 个 多 位 数：1234567891011121320072008，试求这个多位数除以9 的余数【解析】以 19992000 这个八位数为例，它被9 除的余数等于19992000被 9 除的余数，但是由于 1999 与1999被 9除的余数相同，2000 与2000被 9除的余数相同，所以 19992000就与19992000被 9 除的余
29、数相同由此可得，从 1 开始的自然数1234567891011121320072008 被 9 除的余数与前2008 个自然数之和除以 9 的余数相同根据等差数列求和公式，这个和为：12008200820170362，它被 9 除的余数为1另外还可以利用连续9 个自然数之和必能被9 整除这个性质，将原多位数分成123456789，101112131415161718，199920002001200220032004200520062007，2008 等数，可见它被9 除的余数与2008 被 9 除的余数相同因此，此数被9 除的余数为1练习4 在 7 进制中有三位数abc，化为 9 进制为cba
30、，求这个三位数在十进制中为多少？【解析】首 先还原为十进制：27()77497abcabcabc；29()99819cbacbacba于是497819abccba；得到48802acb，即2440acb因为24 a是 8 的倍数，40 c也是 8 的倍数，所以b也应该是8 的倍数，于是0b或 8但是在 7 进制下，不可能有8 这个数字于是0b，2440ac，则35ac所以a为 5 的倍数，c为 3 的倍数所以，0a或 5，但是，首位不可以是0，于是5a，3c；所以77()(503)5493248abc于是，这个三位数在十进制中为248月测备选：【备选1】某质数加6 或减 6 得到的数仍是质数，
31、在50 以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来【解析】有 六个这样的数，分别是11，13，17，23，37，47【备选2】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商4 余 8，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 415，则被除数是_【解析】因 为被除数减去8后是除数的4倍，所以根据和倍问题可知，除数为7914884415）（）（，所以，被除数为3248479【备选3】1016 与正整数a 的乘积是一个完全平方数，则a 的最小值是 _【解析】先 将 1016 分解质因数：310162127，由于1016a是一个完全平方数，所以至少为422127，故a 最小为2127254【备选 4】在几进制中有12512516324？【解析】注 意101010(125)(125)(15625)，因为1562516324，所以一定是不到10 就已经进位，才能得到16324，所以10n再注意尾数分析，101010(5)(5)(25)，而 16324 的末位为4，于是25421进到上一位所以说进位制n为 21 的约数，又小于10，也就是可能为7 或 3因为出现了6，所以n只能是 7