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1、学习必备 欢迎下载 不等式与一次不等式组全章复习与巩固（基础）知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学习数学的一种重要途径.【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式 1.不等式：用符号“”(或“”)，“”（或“”），连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：
2、能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如xa，xa等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式 2.不等式的性质：学习必备 欢迎下载 不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，那么 a cb c 不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或abcc)不等式的基本性质 3：不等式两
3、边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变 用式子表示：如果 ab，c0，那么 acbc(或abcc)要点二、一元一次不等式 1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b0 或 ax+b0(a0)叫做一元一次不等式的标准形式 2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真
4、审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式
5、组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.等式的三个基本性质熟练解一元一次不等式或不等式组会根据题中的不点梳理要点一不等式不等式用符号或或连接的式子叫做不等式要点诠释种一种是用最简的不等式表示例如等另一种是用数轴表示如下图所示解学习必备 欢迎下载（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：根据题意构建不等式组，解这个不等式组；由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案【典型例题】类型一、不等式 1.用适当的符号语言表
6、达下列关系.（1）a 与 5 的和是正数.（2）b 与5 的差不是正数.（3）x 的 2 倍大于 x.（4）2x 与 1 的和小于零.（5）a 的 2 倍与 4 的差不少于 5.【答案与解析】解：（1）a+50；（2）b（5）0；（3）2xx；（4）2x+10；（5）2a45.【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于 举一反三：【变式】用适当的符号语言表达下列关系：（1）y 的12与 3 的差是负数.（2）x 的12与 3 的差大于 2.（3）b 的12与 c 的和不大于 9.【答案】（1）1302y ；（2）1
7、322x；（3）192bc.2.用适当的符号填空：（1）如果 ab，那么 a3_b3；7a_7b；2a_2b.（2）如果 ab，那么 ab_0；a+5b_6b；11_22abb.【思路点拨】不等式的基本性质 1,2,3【答案】（1）；（2）；【解析】（1）在不等式 ab 两边同减去 3，得 a3b3；等式的三个基本性质熟练解一元一次不等式或不等式组会根据题中的不点梳理要点一不等式不等式用符号或或连接的式子叫做不等式要点诠释种一种是用最简的不等式表示例如等另一种是用数轴表示如下图所示解学习必备 欢迎下载 在不等式 ab 两边同乘以 7，得 7a7b；在不等式 ab 两边同乘以2，得2a2b（2）
8、在不等式 ab 两边同减去 b，合并得 ab0；在 ab 两边同加上 5b，合并得 a+5b6b；在 a；（2）【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例 1】【变式 2】判断:（1）如果ab，那么22acbc；（2）如果22acbc，那么ab.【答案】（1）；（2）类型二、一元一次不等式 3.解不等式3(1)5182xxx 【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质 2 去掉分母，再作其他变形 去分母时，不要忘记给分子加括号【答案与解析】解：去分母，得 8x+3(x+1)84(x5)，去括号，得 8x+3x+384x+20，移项，得 8x+3x+4x8+203，合并同类
9、项，得 15x25，系数化为 1得53x 等式的三个基本性质熟练解一元一次不等式或不等式组会根据题中的不点梳理要点一不等式不等式用符号或或连接的式子叫做不等式要点诠释种一种是用最简的不等式表示例如等另一种是用数轴表示如下图所示解学习必备 欢迎下载 不等式的解集为53x 【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：axb axb axb 解：当 a0时，bxa；当 a0，b0时，无解；当 a0，b0 时，x 为任意有理数 解：当 a0 时，bxa；当 a0 时，bxa；当 a0，b0时，无解；当 a0，b0 时，x 为任意有理数 解：当 a0 时，bxa；当 a时，bxa；当
10、a0，b0时，无解；当 a0，b0 时，x 为任意有理数 举一反三：【变式】(湖南益阳)解不等式5113xx，并把解集在数轴上表示出来【答案】解：去分母得 5x13x3，移项、合并同类项，得 2x4，系数化为 1，得 x2，解集在数轴上的表示如图所示 4.某种商品进价为 150 元，出售时标价为 225 元，由于销售情况不好，商店准备降价出售，但要保证利润不低于 10%，那么商店最多降价多少元出售商品？【思路点拨】利润售价进价，售价进价利润进价（1利润率）.【答案与解析】解：设商店降价x元出售该商品，则225x150(1 10%)，解得x60.答：商店最多降价 60 元出售商品.类型三、一元一
11、次不等式组 5.解不等式组：13215)3(3xxxx，并求出正整数解.等式的三个基本性质熟练解一元一次不等式或不等式组会根据题中的不点梳理要点一不等式不等式用符号或或连接的式子叫做不等式要点诠释种一种是用最简的不等式表示例如等另一种是用数轴表示如下图所示解学习必备 欢迎下载【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分.【答案与解析】解：由不等式得x2，由不等式得4x，由得42xx，即2x 原不等式组的解集是2x，正整数解为 1,2【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出符合要求的特殊解 举一反三：【变式】求不等式组3(2)42513xxxx 的整数
12、解【答案】解：解不等式3(x2)4x，得 x1，解不等式2513xx，得 x2，所以该不等式组的解集为：2x1，所以该不等式组的整数解是1，0，1 类型四、综合应用 6.若关于 x,y 的方程组3223xykyx 的解满足11xy，求 k的整数值.【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用 k表示 x、y），然后解不等式组.【答案与解析】解：解方程组3223xykxy 43,729.7kxky得 11xy，431,7291.7kk即 等式的三个基本性质熟练解一元一次不等式或不等式组会根据题中的不点梳理要点一不等式不等式用符号或或连接的式子叫做不等式要点诠释种一种是用最简的不等式表示例如等另一种是用
13、数轴表示如下图所示解学习必备 欢迎下载 解得：512k,整数 k的值为 0，1，2.【总结升华】方程组的未知数是 x、y，k在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用 k表示x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将 x、y 用含 k的式子替换，得到关于 k的不等式组，可以求出 k的取值范围，进而可以求出 k的整数值.【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例 3（1）】举一反三：【变式】m 为何值时，关于 x 的方程：6151632xmmx 的解大于 1？【答案】解：由6151632xmmx，得315mx，3115m，解得2m 当2m 时，关于 x 的方程：6151632xmmx 的解
14、大于 1.7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用 35 座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知 35 座客车的租金为每辆 320 元，55 座客车的租金为每辆 400 元根据租车资金不超过 1500 元的预算，学校决定同时租用这两种客车共 4 辆（可以坐不满）请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金【思路点拨】（1）设单独租用 35 座客车需 x 辆根据单独租用 35 座客车若干辆，则刚好坐满和单独租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位，分别表示出总人数，从而
15、列方程求解；（2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（4y）辆根据不等关系：两种车坐的总人数不小于 175 人；租车资金不超过 1500 元列不等式组分析求解【答案与解析】解：（1）设单独租用 35 座客车需 x 辆，由题意得：3555(1)45xx,解得：5x.35355175x （人）.等式的三个基本性质熟练解一元一次不等式或不等式组会根据题中的不点梳理要点一不等式不等式用符号或或连接的式子叫做不等式要点诠释种一种是用最简的不等式表示例如等另一种是用数轴表示如下图所示解学习必备 欢迎下载 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为 175 人 （2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（4y）辆，由题意得：3555(4)175320400(4)1500yyyy，解这个不等式组，得111244y y取正整数，y=2.4y=42=2（辆）.320 2400 2=1440（元）.所以本次社会实践活动所需车辆的租金为 1440 元 【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系 等式的三个基本性质熟练解一元一次不等式或不等式组会根据题中的不点梳理要点一不等式不等式用符号或或连接的式子叫做不等式要点诠释种一种是用最简的不等式表示例如等另一种是用数轴表示如下图所示解