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1、精品资料 欢迎下载 1.3.1 函数的单调性 题型一、利用函数的图象确定函数的单调区间 例 1.作出下列函数的图象，并写出函数的单调区间（1）12xy;（2）322xxy;（3）2)2(1xxy;（4）969622xxxxy 相应作业 1：课本 P32 第 3 题.题型二、用定义法证明函数的单调性 用定义法证明函数的单调性步骤：取值 作差变形 定号 下结论 取值，即_；作差变形,作差_,变形手段有_、_、_、_等；定号，即_;下结论，即_。例 2.用定义法证明下列函数的单调性（1）证明：1)(3 xxf在,上是减函数.精品资料 欢迎下载 定义法证明单调性的等价形式：设 baxx,21、，21x
2、x,那么)(0)()(0)()()(21212121xfxxxfxfxfxfxx在 ba,上是增函数；)(0)()(0)()()(21212121xfxxxfxfxfxfxx在 ba,上是减函数.(2)证明：xxxf1)(2在其定义域内是减函数；（3）证明：21)(xxf在0,上是增函数；法一：作差 法二：作商 结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料 欢迎下载（4）已知函数)(xfy 在,0上为增函数，且)0(0)(xxf，试判断)(1)(
3、xfxF在,0上的单调性，并给出证明过程；方法技巧归纳判断函数单调性的方法：1、直接法：熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等；如，练习册 P27（2）P31（上 5、1）2、图象法；3、定义法；4、运算性质法：当0a时，函数)(xaf与)(xf有相同的单调性；当0a时，函数)(xaf与)(xf有相反的单调性；当函数)(xf恒不等于零时，)(xf与)(1xf单调性相反；若0)(xf，则)(xf与)(xf具有相同的单调性；若)(xf、)(xg的单调性相同，则)()(xgxf的单调性与之不变；即：增+增=增 减+减=减 若)(xf、)(xg的单调性相反，则)()(xgxf的单调性与)(xf
4、同.即：增-减=增 减-增=增 注意：（1）可熟记一些基本的函数的单调性，一些较复杂的函数可化为基本函数的组合形式，再利用上述结论判断；（2）)()(xgxf与)()(xgxf的单调性不能确定.结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料 欢迎下载 相应作业 2：（1）讨论函数1)(2xaxxf在 1,1上的单调性（0a）；（2）务必记住“对勾”函数)0()(kxkxxf的单调区间（见练习册 P29 探究之窗.探究 1）知识拓展复合函数单调性（难
5、点）一、复习回顾：复合函数的定义：如果函数)(tfy 的定义域为 A，函数)(xgt 的定义域为 D，值域为 C，则当AC 时，称函数)(xgfy 为f与g在 D上的复合函数，其中t叫做中间变量，)(xgt 叫内层函数，)(xfy 叫外层函数。二、引理 1 已知函数 y=f g(x).若 t=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(t)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.引理 2 已知函数 y=f g(x).若 t=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c，d)，又函数 y=f(t)在区间(c,d)上是
6、减函数，那么，复合函数 y=fg(x)在区间(a,b)上是增函数.引理 1 的证明：重要结论 1：复合法则 若)(xgt )(tfy 则)(xgfy 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减 规律可简记为“_”（四个字）重要结论 2：若一个函数是由多个简单函数复合而成的，则此复合函数的单调性由简单函数中减函数的个数决定:若减函数有偶数个，则复合函数为增函数；若减函数有奇数个，则复合函数为减函数.结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料
7、欢迎下载 规律可简记为“_”（四个字）题型三、求复合函数的单调区间 例 3.求下列函数的单调区间.（1）267xxy （2）3212xxy 小结：1、注意：（1）求单调区间必先求定义域；（2）单调区间必须是定义域的子集；（3）写多个单调区间时，区间之间不能用“”并起来，应用“，”隔开.2、判断复合函数单调性步骤：求函数的定义域；将复合函数分解成基本初等函数：)(tfy 与)(xgt；确定两个函数的单调性；由复合法则“同増异减”得出复合函数单调性.相应作业 3：求下列函数的单调区间.（1）228xxy （2）3212xxy（3）xxy412 结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定
8、义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料 欢迎下载 单调性的应用 题型四、比较函数值的大小 例 4.已知函数)(xfy 在,0上是减函数，试比较)43(f与)1(2 aaf的大小.题型五、已知单调性，求参数范围 例 5.已知函数2)(2)(2xaxxxf（1）若)(xf的减区间是4,，求实数a的值；（2）若)(xf在4,上单调递减，求实数a的取值范围.例 6.若函数0,)2(0,1)12()(2xxbxxbxbxf在 R 上为增函数，求实数b的取值范围.结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下
9、结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料 欢迎下载 题型六、利用单调性，求解抽象不等式 例 7.已知函数)(xfy 是 1,1上的减函数，且)1()1(2afaf，求实数a的取值范围.例 8.已知)(xf是定义在,0上的增函数，且)()()(yfxfyxf，且1)2(f，解不等式2)31()(xfxf.相应作业 4：已知)(xf是定义在,0上的增函数，且)()()(yfxfxyf，且1)2(f，解不等式3)2()(xfxf.题型七、抽象函数单调性的判断定义法 解决此类问题有两种方法：
10、“凑”，凑定义或凑已知条件，从而使用定义或已知条件得出结论；赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料 欢迎下载 例 9.已知函数)(xf对任意实数x、y都有)()()(yfxfyxf，且当0 x时0)(xf，求证：)(xf在 R 上单调递增.例 10.已知定义在,0上的函数)(xf对任意x、y,0，恒有)()()(yfxfxyf，且当10 x时0)(xf，判断)(xf在,0上单
11、调性.相应作业 5：定义在,0上的函数)(xf对任意x、y,0，满足)()()(nfmfmnf，且当1x时0)(xf.（1）求)1(f的值；（2）求证：)()()(nfmfnmf；（3）求证：)(xf在,0上是增函数；（4）若1)2(f，解不等式2)2()2(xfxf；结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料 欢迎下载 函数的最大（小）值 1、函数的最大（小）值定义 2、利用单调性求最值常用结论（1）若函数)(xfy 在闭区间 ba,上单调递
12、增，则)(minafy，)(maxbfy；（2）若函数)(xfy 在闭区间 ba,上单调递减，则)(minbfy，)(maxafy；（3）若函数)(xfy 在开区间 ba,上单调递增，则函数无最值，但值域为)(),(bfaf；（4）若函数)(xfy 在闭区间 ba,上单调递增，在闭区间cb,上单调递减，那么函数)(xfy，cax,在bx 处有最大值，即)(maxbfy；（5）若函数)(xfy 在闭区间 ba,上单调递减，在闭区间cb,上单调递增，那么函数)(xfy，cax,在bx 处有最小值，即)(minbfy.题型八、单调性法求函数最值（值域）例 11、（1）函数121)(xxf在5,1上的
13、最大值为_,最小值为_;（2）函数112xxy在4,2上的最大值为_,最小值为_;（3）函数xxy212的值域为_;（4）函数1xxy的值域为_;（5）函数212xxy的值域为_;（6）函数xxy1的值域为_;结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料 欢迎下载 二次函数的区间最值的求法 二次函数在给定区间 nm,上求最值，常见类型：（1）定轴定区间：对称轴与区间 nm,均是确定的；（2）动轴定区间：（3）定轴动区间：（4）动轴动区间：1、定轴
14、定区间 可数形结合，较易解决，注意对称轴与区间位置关系。例 12.当22x时，求函数322xxy的最值.相应作业 6：求函数542xxy在5,1上的最值.2、动轴定区间 例 13.已知函数22)(2axxxf，求)(xf在 5,5上的最值.动轴定区间问题一般解法：对对称轴在区间左侧、右侧、内部三种情况进行讨论，从而确定最值在区间端点处还是在顶点处取得.相应作业 7：求函数12)(2axxxf在2,0上的最值.结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等精品资料 欢迎下载 3、定轴动区间 例 14.已知函数22)(2xxxf，当1,ttx时，求)(xf的最小值)(tg.相应作业 8：已知函数34)(2xxxf，当2,mmx时，求)(xf的最大值)(mg.4、动轴动区间 解决方法：可将对称轴和区间之一看做不动，进行讨论.例 15.求函数axxy2在 ax,1上的最大值.相应作业 9：求函数222axxy在 1,ax上的最值.结论取值即作差变形作差变形手段有等定号即下结论即例用定义法证明增函数法一作差法二作商精品资料欢迎下载已知函数在上为增函数且试法当时函数与有相同的单调性当时函数与有相反的单调性当函数恒不等