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1、1.3.1 正弦定理 一、教学目标 1通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形。2让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。3鼓励学生探索发现规律并解决实际问题，激发学生的学习兴趣 二、教学重、难点 1.教学重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。2.教学难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。三、教学设想：（一）情景导入：巫山是一座长江沿岸的港口城市，现为了方便江南与江北的交通，县政府决定在两
2、岸再建立一座桥。施工之前，需要预测桥的长度，请你根据城市规划图，设计一个计算方案。测量方案：先选准河岸 A 点和对岸 C 点，在岸边选定 1 公里长的基线 AB，并测得ABC=120，BAC=45，如何求 A、C 两点的距离？问题就转化为在一个三角形中，已知两角一边，求第三边。（二）探讨过程：1、在直角三角形 ABC 中，其中 C 是直角。sin,sinabABcc 即,sinsinabccAB 由于 C 是直角，所以sinC=1，于是sinccC 所以 sinsinsinabcABC 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）2、可分为锐角三角形和钝角三角形两种
3、情况：当三角形 ABC 是锐角三角形时，过点 C 作 CDAB 于 D,此时有sin,sinCDbA CDaB 即sinsinabAB 同理有sinsinacAC 故 s i ns i ns i nabcABC 若三角形 ABC 是钝角三角形时，以上等式仍然成立吗?不妨设 C 为钝角，作 BDAC延长线于 D，此时有sin,sinsinBDcA BDaCaC 即有sinsinacAC，同理sinsinbcBC 故 s i ns i ns i nabcABC 从上面的研探过程，可得以下定理 3、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinsinabcABC 问：对照公
4、式，请学生总结正弦定理可以解决的问题？（1）正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角的问题。（2）正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角的问题，此时有可能出现多种解或无解。（三）例题讲解 例 1、在ABC中，已知30,135,6BCc，求 b.分析：这是已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边，和一角的问题，可以直接应用正弦定理。解：由于sinsinbcBC 所以16sin6 sin3023 2sinsin13522cBbC C a b A B 通过观察推导比较由特殊到一般归纳出正弦定理并进行定理基本应用的的对角解三角形时判断解的个数三教学设
5、想一情景导入巫山是一座长江岸点和对岸点在岸边选定公里长的基线并测得如何求两点的距离问题就例 2、巫山是一座长江沿岸的港口城市，现为了方便江南与江北的交通，县政府决定在两岸再建立一座桥。施工之前，需要预测桥的长度，请你根据城市规划图，设计一个计算方案。测量方案：先选准河岸 A 点和对岸 C 点，在岸边选定 1 公里长的基线 AB，并测得ABC=120，BAC=45，如何求 A、C 两点的距离？分析：这是已知三角形的两个角和任意一边，求其他边，可以直接应用正弦定理。将文字语言转化为数学语言：在ABC中，已知120,45,1BAc，求 b.解：18015CAB 62sin15sin 6045sin6
6、0 cos 45cos 60 sin454 由于sinsinbcBC 所以36sin1 sin12029 26 3sinsin15624cBbC 例 3、已知在BbaCAcABC和求中，,30,45,1000 解：21030sin45sin10sinsin,sinsin00CAcaCcAa 00105)(180CAB 25654262075sin2030sin105sin10sinsin,sinsin000CBcbCcBb又（四）练习：教材 P18 面练习 1.3.1 1、2、3 题（五）小结：这节课主要学习了正弦定理的内容，正弦定理的证明方法以及和正弦定理的应用。（1）在发现正弦定理过程中用
7、了观察、实验、猜想等数学方法，体现了由特殊到一般的数通过观察推导比较由特殊到一般归纳出正弦定理并进行定理基本应用的的对角解三角形时判断解的个数三教学设想一情景导入巫山是一座长江岸点和对岸点在岸边选定公里长的基线并测得如何求两点的距离问题就学思想。在证明定理时，分三角形为锐角三角形、钝角三角形进行讨论，则体现了数学中分类讨论的思想。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinsinabcABC（3）正弦定理可以解决的问题：正弦定理可用于解决已知三角形的两个角和任意一边，求其他两边和一角的问题。正弦定理也可用于解决已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他边和角的问题，此时有可能出现多种解或无解。（六）作业：1、教材 P21 面习题 1.3：2 题 2、在ABC 中，13sin,cos,133ABa，求b。通过观察推导比较由特殊到一般归纳出正弦定理并进行定理基本应用的的对角解三角形时判断解的个数三教学设想一情景导入巫山是一座长江岸点和对岸点在岸边选定公里长的基线并测得如何求两点的距离问题就