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1、 数学分析 1 课程试卷（A ）参考答案及评分标准 第 1 页 共 6页 中国计量学院 2010 2011 学年第 1 学期 数学分析 1 课程 试卷（A）参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级：10 级信算 1-3 班、数学 1 班，教师：曹飞龙，罗先发，袁玉波，马满军 一、求下列极限（24 分）1.)122(limnnnn+2.22)1(22limxxxx=lim(211)nnnnn+（1 分）=22(1)lim(1)xx xx =11limlim211nnnnnn+（4 分）=2lim1xxx（3 分）=0 （6分）=21lim11xx（4 分）=2（6分）3.xxxxsin
2、arcsin20lim 4.xxx10)211(lim=220arcsinlimsinxxxxx（3 分）=2120lim(1)2xxx+（3 分）=2200arcsinlimlimsinxxxxxx =12e （6分）=1 （6分）数学分析 1 课程试卷（A ）参考答案及评分标准 第 2 页 共 6页 二.(9分)指出下面函数的间断点并说明其类型：+=.1,1,)(2xbaxxxxf 为了使函数)(xf在1=x处连续且可导，ba,应取什么值？解 ()1f x=Q 211(10)lim()lim1xxff xx=（1分）11(10)lim()lim()xxff xaxbab+=+=+（2分）为
3、了使()f x在1x=处连续，则1ab+=（1）（3 分）211()(1)1(1)limlim211xxf xfxfxx=（2）（5 分）由（1）（2），要使()f x在1x=处可导，则有 111()(1)1(1)(1)limlimlim2111xxxf xfaxba xfaxxx+=（8 分）再由（1），有 1b=（9 分）数学分析 1 课程试卷（A ）参考答案及评分标准 第 3 页 共 6页 四.(10分)设11(1)0,(1),nnncxxc xccx+证明数列 nx收敛并且求其极限值.证明：10 x Q 且1c，显然0,nxnN （1分）若设,ckx，则 1(1)(1)(1)kkkkc
4、xc cc cxccccxcxcc+=+由数学归纳法知 nxc，nN （4分）又 21(1)0nnnnnncxcxxxxcxcx+=+（6分）nx 单调递增有上界，从而收敛。令 limnnxa=（7 分）在递推公式两边令 n，有(1)caaca+=+（9分）解得 ac=，limnnxc=（10分）五.(8分)求函数xxf+=11)(带拉格朗日余项的麦克劳林公式.解 12()(1)f xx=+Q，则 321()(1)2fxx=+，55(2)222131 3()()()(1)(1)222fxxx=+=+，L 2121()221 3 5(21)(21)!()(1)(1)(1)(1)22nnnnnnn
5、nnfxxx+=+=+L （4分）(0)1f=，1(0)2f=，(2)21 3(0)2f=，L，()(21)!(1)2nnnnf=（5分）()f x带带拉格朗日余项的麦克劳林公式.为 2211 3(21)!()1(1)22!2!2nnnnf xxxxn=+L 231121(21)!(1)(1)(1)!2nnnnnxn+数学分析 1 课程试卷（A ）参考答案及评分标准 第 4 页 共 6页 位于 0 与x之间。（8分）六.(32分)判断与证明题 1.极限lim1(sin)xxx+是否存在?若存在,求出极限值;若不存在,说明理由.(9分)解 极限不存在。（3分）Q 取2nxn=，则111sinsi
6、n222nnnxnxxnn+=+=lim1(sin)nxnxx+=lim102xn=（6分）取22nxn=+，则 111sinsin122222nnxxnn+=+=+得 11lim(sin)lim(1)122nnnnxxn+=+=+（9分）由归结原理可知，原极限不存在。2.叙述函数)(xf在点0 x处连续的定义及在开区间),(ba内连续的定义,并证明下面命题:在若对任何充分小的,0函数)(xf在区间,+ba上连续,能否由此推出)(xf在区 间),(ba内连续并予以证明.(9 分)解：c 设函数)(xf在某)(0 xU内定义。处连续。在则称若00)().()(lim0 xxfxfxfxx=（2
7、分）d）内连续。在（则称）内的每一点都连续。在区间（若函数baxfbaxf,)(,)(3 分)e 证明：分）（分分）且（则令7.22)6(,225,0,2,2min).,(0000000000000 xxbxbbbxaxaxaaxbaxbax+=所以).,(,000babax+连续。在上连续，所以在由已知条件，000)(,)(xxfbaxf+数学分析 1 课程试卷（A ）参考答案及评分标准 第 5 页 共 6页 ）内连续。在（的任意性，证得又由baxfx,)(0（9 分）3.设数列 nx收敛,证明 nx的上下确界中至少可达一个.(6 分)证明：)6(),(5max,min).,(,0.,lim
8、2.sup,inf10011000000n分者下确界）。必可达到其上确界（或同样可证数列或若分）（同时可达上、下确界。此时因此必有中至多有限项。由极限定义有数列，使得取充分小的若则有令分）（记为确界均存在且有限。数列必有界，故上、下不为常数列，由于收敛若分）立。（为常数列，结论显然成若nnkNkkNknnnnnnxxxxxxxxUxxxxxxxx=+=+=+=+=+=+=+=gxxxInxgfxxInxxxxfxxxxxxxgfxInxxxxfgxxxxInxgfxxInxxxxf时，有所以当且有则，则设 数学分析 1 课程试卷（A ）参考答案及评分标准 第 6 页 共 6页 .0,)1(2)
9、1(222+xxxxxInxx固由上两式有：七.(8 分)叙述区间套概念、区间套定理并利用区间套定理证明下面命题：设函数,)(baCxf且)(xf在,ba上处处取极值,证明)(xf必为常数.解：c .,0)(lim)ii(,.;2,1,i,11是一个区间套则称）（具有如下性质：设闭区间列nnnnnnnnnnnbaabnbababa=+d,.2,1,.,2,1,=nbanbabannnnnn即，使得数系中存在唯一的一点是一个区间套，则在实若.),()()()()()(0)(21)(;,)(,21)()()()(),(,).()().()(),(,)(111122122112212211111111NnbfafbfafiiinababiiNnbabaibaababbfbfafafbbaababfafbfafbabababaxfnnnnnnnnnnnnn=+严格递减，且有严格递增，而满足列如此反复，得出闭区间）（且使的介值性可找到利用闭区间上连续函数不妨设使得上不恒为常数，则至少在证明：用反证法。若。的局部极值点，固矛盾不是可见同时成立使得一存在由闭区间套定理可知唯)(.),()()(),(limlim,0000 xfxNnbfxfafbaxbabaxnnnnnnnn=