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1、 数学分析（1）课程试卷（）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 中国计量学院 2009 2010 学年第一学期 数学分析（1）课程 试卷（）参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级：09 信算 1、2，数学 1，教师：韩亚洲 一、计算题（前题每题 5 分，最后一题分，共 4分）1.2211lim1xxxxx 解：22112lim41xxxx 原式（5 分）2.1111lim1 44 77 103134nnn 解：111111111lim1344771031343nnn 原式（5 分）3.222111lim121nnnn 解：22222211112112111nnnnnnn 2原
2、式（5 分）4.011lim1xxxe 解：2000111limlimlim222xxxxxxexeexx原式（5 分）5.1lnlimarctan2xxx 解：222lnarctan121limlimlim1ln1arctan2xxxxxxxxxx 数学分析（1）课程试卷（）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 1e原式（5 分）6.设 2sin1,yx求dydx 解：22cos11xxdydxx（分）7.设0,xyxx求微分dy 解：ln1xdyxxdx（5 分）8.设cossinttxetyet，求22,dy d ydx dx 解：cossincossindyttdxtt（2 分）2
3、322cossintd ydxett（5 分）9.设112,2,1,2,nnaaan求limnna 解：显然na单调递增下证有界（分）注意到122,2 22,aa设2,2,kak则12 22,ka由归纳法知na有界（分）由单调有界定理知na收敛，不妨设limnnaa，则有 2,aa 解之得2a 或0a（舍去），从而lim2nna（分）二、（10 分）讨论函数函数 222 1xyx的性态（定义域、单调区间、极值点、凸性区间、拐点、渐近线），并作图 解：定义域,11,（分）341 2,11xxyyxx（分）x,1 1 1,0 0 10,2 12 1,2 y 不存在 0 数学分析（1）课程试卷（）参
4、考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 y 不存在 0 y 增凸 不存在 减凸 极小值 0 增凸 拐点11,2 18 增凹 渐近线11,2xy（分）作图如右：（分）三、（7 分）试确定ab、使得 3sin2,09arctan21,0 xxaexfxxb xx在0 x 可导 解：由题意知 0000ff，从而 022fab（分）又 96001 2bffa，故1ab （分）四、（7 分）证不等式1,0 xex x 解：令()1,xf xex（分）则在0 x 内 10 xfxe （分）从而 0f xf，即证（分）五、（7 分）利用 Jensen 不等式证明 123312312331113xxxx x
5、xxxx，其中123,x xx均为正数 解：取 ln,f xx则 f x为0,内凹函数（分）由 Jensen 不等式知 123123123123lnlnlnln,33111111lnlnlnln,33xxxxxxxxxxxx（分）结合对数函数性质变换后即证（7 分）六、（7 分）设 f x在0,1上连续，在0,1内可导，且 1010,1,2fff 试证 数学分析（1）课程试卷（）参考答案及评分标准 第 4 页共 4 页 在0,1内方程 1fx至少有一个实根 证法一：取 ,F xf xx则其在0,1上连续，在0,1内可导，且 1100,11,22FFF 由 介 值 定 理 知 存 在1,12使
6、得 0.F（分）应 用 罗 尔 中 值 定 理 知 存 在 0,0,1使得 0F，即证（分）解法二：由 Lagrange 中值定理知存在110,122使得 2,2ff（分）由导函数介值性定理知存在 ,0,1 使得 1f（分）七、（10 分）设,0f xx x 1 任取12,1,x x 试证存在常数0M 使得 1212f xf xM xx 2 试证 f x在0,上一致连续 证：任取1x，有 12fx，由 Lagrange 中值定理得证（分）注意到 F x在0,1上一致连续，利用的结论知在1,上一致连续，从而可证结论成立（分）八、（分）根据致密性定理证明：单调递增有上界M的数列na必收敛 证：由致密性定理知存在子列kna收敛，不妨设limknkaa，则其为na的上界（分）否则存在0K 使,KnKaaa从而在,Ka aa内至多含kna的有限项，与极限定义矛盾，从而a为na的上界（分）下证limnnaa事实上，任取na，必有某个kn满足1kknnnaaa，从而 00knnaaaan 即证（分）