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1、 3 第四章 习题答案 1。用 Gauss 消去法解方程组 12312312323463525433032xxxxxxxxx 解:方程组写成矩阵形式为12323463525433032xxx 对其进行 Gauss 消去得1232344104726002xxx 得方程组12312323323461314482224xxxxxxxxx 2。用 Gauss 列主元素消去法解方程组 1233264107075156xxx 解：因为第一列中 10 最大,因此把 10 作为列主元素 1233264107075156xxx 12rr 1231070732645156xxx 21311310122310707
2、161061010550522rrrrxxx 23rr 12310707550522161061010 xxx 3 32125rr1231070755052231310055xxx 得到方程组12123233107705551221313155xxxxxxxx 3。举例说明一个非奇异矩阵不一定存在 LU 分解。例如：设 00100010000PPBCAALUMMADBCPMABMACD 可分解 M 0,P0,有 与题设相矛盾，所以一个非奇异矩阵不一定存在 LU 分解。4。下列矩阵能否分解为 LU（其中 L 为单位下三角矩阵，U 为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？12311112624
3、1,221,251546733161546ABC 解：12A10,0,24 而且不能分解;设111221331BB 可以进行 LU 分解，则 B=111213212223313233100100100uuuluullu 计算得 1112132131223231 12322232321,1,1,2,3,0.3 103.uuullual ul ullBLU 而可以任意选，的分解不唯一。12C0,0,.25而且能分解 且分解唯一 设相矛盾所以一个非奇异矩阵不一定存在分解下列矩阵能否分解为其中为单位下三角矩阵为上三角矩阵若能分解那么给定的矩阵作分解并利用分解结果计算解由有用分解法解方程组解其中由解得由
4、解得用分解法接方程组解得由由得用由分解得由得由得由得用追赶法求解三对角方程组解得得已知求由由解已知求及解由范数定义得求证证明所以所以设 3 5。对下列给定的矩阵 A 作 LU 分解，并利用分解结果计算 A-1。248418166220A 解：248418166220A 100248210010323110076 L=100210311 U=248010320076 由 1111ALUALUUL有41613190959511149519095511167676 6。用 Doolittle 分解法解方程组 1234102050101312431701037xxxx 解：A=102001011243
5、0103=10001020010001011210002101010002 其中L=1000010012100101 U=1020010100210002 由 Ly=5 3 617T，解得 y=536 4T，由 Ux=y，解得 x=112 2T，设相矛盾所以一个非奇异矩阵不一定存在分解下列矩阵能否分解为其中为单位下三角矩阵为上三角矩阵若能分解那么给定的矩阵作分解并利用分解结果计算解由有用分解法解方程组解其中由解得由解得用分解法接方程组解得由由得用由分解得由得由得由得用追赶法求解三对角方程组解得得已知求由由解已知求及解由范数定义得求证证明所以所以设 3 7。用 Crout 分解法接方程组。123
6、4123421491610182764441 1681256190 xxxx 解：1000123412000136166000141 1436240001ALU 由 Ly=b=2,10,44,190T 得 y=2,4,3,1T 由 Ux=y=2,4,3,1T 得 x=1,1,1,1T 8。用平方根法求解方程组 123111111222212331123nxnxnxnnx 解：易知111112221233123An是对称矩阵，可求得1000110011101111L 由 Ly=b 得 y=,1,1,1Tn 由TL xy解得 x=1,0,0,1Tn 设相矛盾所以一个非奇异矩阵不一定存在分解下列矩阵
7、能否分解为其中为单位下三角矩阵为上三角矩阵若能分解那么给定的矩阵作分解并利用分解结果计算解由有用分解法解方程组解其中由解得由解得用分解法接方程组解得由由得用由分解得由得由得由得用追赶法求解三对角方程组解得得已知求由由解已知求及解由范数定义得求证证明所以所以设 3 9。用改进的平方根法求解下列方程组 1231234116114.252.750.512.753.51.25422102223523144xxxxxx 解（1）A=41114.252.7512.753.5分解得 L=100110413144 D=400040001 由 LU=b 得 U=6,1,1T 由 Dy=U 得 y=3 1,12
8、4T 由TL xy得 x=2,1,1T（2）12342210223523144xxx 分解得10011021212L D=400010009 由 LU=y 得 U=10,0,9T由 Dy=U 得 y=5,0,12T 由TLx=y 得 x=2,2,1T 设相矛盾所以一个非奇异矩阵不一定存在分解下列矩阵能否分解为其中为单位下三角矩阵为上三角矩阵若能分解那么给定的矩阵作分解并利用分解结果计算解由有用分解法解方程组解其中由解得由解得用分解法接方程组解得由由得用由分解得由得由得由得用追赶法求解三对角方程组解得得已知求由由解已知求及解由范数定义得求证证明所以所以设 3 10。用追赶法求解三对角方程组 12
9、345121000012100001210000121000012xxxxx 解：12,r 22113,2()(1)222lr 33224,2()(1)333lr 4435,44lr 5546,.55lr 12341cccc 1000021000131000010022240100001033350010000144460001000055LU 1 1 1 11,2 3 4 55 2 1 1 1,6 3 2 3 6TTLybyuxyx由得由得 11。已知2,3,4T，求12,xxx。解：9,11nxxii 122()2921nxxii，max41xxii n 设相矛盾所以一个非奇异矩阵不一定存
10、在分解下列矩阵能否分解为其中为单位下三角矩阵为上三角矩阵若能分解那么给定的矩阵作分解并利用分解结果计算解由有用分解法解方程组解其中由解得由解得用分解法接方程组解得由由得用由分解得由得由得由得用追赶法求解三对角方程组解得得已知求由由解已知求及解由范数定义得求证证明所以所以设 3 12。已知120.60.5,.0.10.3FAAAAA求及 解：由范数定义得 111max21112211max0.80.8279max1.10.71nijj niTniji njnnijFijAaAA AAaAa 13。求证：12112FFxxn xAAAn 证明：（1）11nxxii ，max1xxii n，max1
11、n xnxii n 所以1xx，max11n xnxxii n 所以1n xxx（2）2max122TTTTnAAAAAAAAA 222222121111111nnnnnnniinijiijFiiijijiaaaaaA 22max12211TTTTnFAAAAAAAAAAnn 21FFAAAn 14。设10099,9998A计算 A 的条件数,2,condA p P 解：*19899-98999910099-100AAAA 矩阵 A 的较大特征值为 198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则 1222()198.00505035/0.0050503539206cond
12、AAA 设相矛盾所以一个非奇异矩阵不一定存在分解下列矩阵能否分解为其中为单位下三角矩阵为上三角矩阵若能分解那么给定的矩阵作分解并利用分解结果计算解由有用分解法解方程组解其中由解得由解得用分解法接方程组解得由由得用由分解得由得由得由得用追赶法求解三对角方程组解得得已知求由由解已知求及解由范数定义得求证证明所以所以设 3 1()199 19939601cond AAA 15。设矩阵 A 非奇异，求证11AA 证明：1111,11AAAAIAAIAA由于 非奇异 所以存在使有即 16。设矩阵 A 可逆，A为误差，试证当11,AAAA也可逆。解：-1-1AA1(AAI)为非奇异矩阵-1A+A=A(I+
13、AA),A又因为而且 可逆-1A0,I+AA0(A+A)也为非奇异矩阵，即A+A可逆。17。设有方程组 Ax=B，其中 121011221,302223Ab，已知它有解11,0,23Tx如果右端有小扰动61102b，试估计由此引起的解的相对误差。解：1101111221,21 1.5022211AA 设相矛盾所以一个非奇异矩阵不一定存在分解下列矩阵能否分解为其中为单位下三角矩阵为上三角矩阵若能分解那么给定的矩阵作分解并利用分解结果计算解由有用分解法解方程组解其中由解得由解得用分解法接方程组解得由由得用由分解得由得由得由得用追赶法求解三对角方程组解得得已知求由由解已知求及解由范数定义得求证证明所
14、以所以设 3 222.5,3cond AAAb 16105222.51.6875 1023xbcond Axb 18。设 Ax=b，其中n nAR为非奇异矩阵，证明：1TAA为对称正定矩阵；2222TcondA AcondA 证明：（1）TTTTTTT(AA)(A)AAAAA为对称矩阵 T2TTT,A A(A)(A)0A A,AAAATTb 对于任意给定的非零列向量都有所以为正定矩阵也为正定矩阵所以为对称正定矩阵.（2）TTT1TT122A AA A(A A)(A A)(A A)2cond()TT1maxmax(A A)(A A)T1T1maxmax22A(A A),A(A A)又由于 12TT1maxmax22A(AA)(A A)(A A)22cond()TA AA222所以cond()cond()设相矛盾所以一个非奇异矩阵不一定存在分解下列矩阵能否分解为其中为单位下三角矩阵为上三角矩阵若能分解那么给定的矩阵作分解并利用分解结果计算解由有用分解法解方程组解其中由解得由解得用分解法接方程组解得由由得用由分解得由得由得由得用追赶法求解三对角方程组解得得已知求由由解已知求及解由范数定义得求证证明所以所以设