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1、生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 第 3 讲 三角函数的图象和性质 板块一 知识梳理自主学习 必备知识 考点 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 必会结论 1函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为T2|，函数y生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 tan(x)的最小正周期为T|.2正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期而正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期 3三角函数中奇函数一般可化为yAsinx或yAtanx的
2、形式，而偶函数一般可化为yAcosxb的形式 考点自测 1判断以下结论的正误(正确的打“，错误的打“)(1)ycosx在第一、二象限内是减函数()(2)函数ysin2x32是偶函数，最小正周期为.()(3)函数ysinx的对称轴方程为x2k2(kZ)()(4)函数ytanx在整个定义域上是增函数()答案(1)(2)(3)(4)2 课本改编 假设函数f(x)cos2x，那么f(x)的一个递增区间为()A.4，0 B.0，2 C.2，34 D.34，答案 B 解析 由f(x)cos2x知递增区间为k，k2，kZ，故只有 B项满足 32021福建模拟 函数f(x)sinx4的图象的一条对称轴是()A
3、x4 Bx2 Cx4 Dx2 答案 C 解析 由x42k，得xk34，当k1 时，x4.42021厦门模拟 函数y2sin2x41 的图象的一个对称中心的坐标是()A.38，0 B.38，1 C.8，1 D.8，1 答案 B 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 解析 对称中心的横坐标满足 2x4k，解得x8k2，kZ.当k1 时，x38，y1.应选 B.5 课本改编 函数ytan4x的定义域是()Axx4 Bxx4 Cxxk4，kZ Dxxk34，kZ 答案 D 解析 ytan4xtanx4，由x42k，kZ，得xk34，kZ.应选 D.6函数y32cosx4的最大值为_，此
4、时x_.答案 5 342k(kZ)解析 函数y32cosx4的最大值为 325，此时x42k(kZ)，即x342k(kZ)板块二 典例探究考向突破 考向 三角函数的定义域、值域 例 1(1)2021烟台模拟 函数ycosx32的定义域为()A.6，6 B.k6，k6(kZ)C.2k6，2k6(kZ)DR 答案 C 解析 cosx320，得 cosx32，2k6x2k6，kZ.(2)函数y2sin6x3(0 x9)的最大值与最小值之和为 _ 答案 2 3 解析 0 x9，36x376，生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 32sin6x31，故 32sin632.即函数y2sin
5、6x3(0 x9)的最大值为 2，最小值为 3.所以最大值与最小值的和为 2 3.本例(2)中的函数换为“y3sinx2cos2x，x6，76，如何解答？解 x6，76，sinx12，1.又y3sinx2cos2x3sinx2(1 sin2x)2sinx14278，当 sinx14时，ymin78；当 sinx12或 sinx1 时，ymax2.故函数的最大值与最小值的和为 278238.本例(2)中的函数换为“ysinxcosxsinxcosx，x0，又该如何解答？解 令tsinxcosx，又x0，t 2sinx4，t 1，2 由tsinxcosx，得t212sinxcosx，即 sinxc
6、osx1t22.原函数变为yt1t22，t 1，2 即y12t2t12.当t1 时，ymax121121；当t1 时，ymin121121.故函数的最大值与最小值的和为 110.生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 触类旁通 三角函数定义域、值域的求解策略(1)求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，也可借助三角函数线或三角函数图象来求解(2)求解三角函数的值域(最值)，首先把三角函数化为yAsin(x)k的形式，再求最值(值域)，或用换元法(令tsinx，或tsinxcosx)化为关于t的二次函数求值域(最值)(3)换元法的应用：把 sinx或 cosx看作一个
7、整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题此时注意所换元的取值范围【变式训练 1】(1)函数y 2sinx1的定义域为()A.6，56 B.2k6，2k56(kZ)C.2k6，2k56(kZ)D.k6，k56(kZ)答案 B 解析 由 2sinx10，得 sinx12，所以 2k6x2k56(kZ)(2)函数ycosx6，x0，2的值域是_ 答案 12，32 解析 x0，2，x66，23，y12，32.考向 三角函数的单调性 例 2 函数f(x)2sin2x4(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)讨论f(x)在区间0，2上的单调性 解(1)因为f(x)2sin2x4的最小正周期为
8、，且0.从而有22，故1.(2)因为f(x)2sin2x4.生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 假设 0 x2，那么42x454.当42x42，即 0 x8时，f(x)单调递增；当22x454，即8x2时，f(x)单调递减 综上可知，f(x)在区间0，8上单调递增，在区间8，2上单调递减 触类旁通 三角函数单调性问题的解题策略(1)求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中，0)的单调区间时，要视“x为一个整体，通过解不等式求解但如果0)在区间 0，23上单调递减，那么有23T2，即T43，所以T243，解得32.所以的值可以是12.应选 A.(2)函数ysin32x的递
9、增区间是_ 答案 k512，k1112(kZ)解析 ysin2x3，2k22x32k32 k512xk1112(kZ)考向 三角函数的奇偶性、周期性及对称性 命题角度 1 三角函数的周期性与奇偶性 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 例 3 2021长沙模拟 设函数f(x)2sinx40，|2的最小正周期为，且是偶函数，那么()Af(x)在0，2内单调递减 Bf(x)在4，34内单调递减 Cf(x)在0，2内单调递增 Df(x)在4，34内单调递增 答案 A 解析 由条件，知2.因为f(x)是偶函数，且|0,0，直线x4和x54是函数f(x)sin(x)图象的两条相邻的对称轴
10、，那么等于()A.4 B.3 C.2 D.34 答案 A 解析 由题意得22544，1，f(x)sin(x)，42k(kZ)，4k(kZ)又00)的形式 2.函数yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令tx，将其转化为研究ysint的性质 总分值策略 1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域根底上分析单调性，含参数的最值问题，生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 要讨论参数对最值的影响 2.要注意求函数yAsin(x)的单调区间时的符号，尽量化成0时的情
11、况 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.板块三 启智培优破译高考 数学思想系列 4三角函数中的分类讨论思想 2021龙岩模拟 函数f(x)2asin2x6ab的定义域是0，2，值域是 5,1，求a，b的值 解题视点 先求出 2x6的范围，再求出 sin2x6的值域；系数a的正、负影响着f(x)的值，因而要分a0，a0 或a0 时，b5，3ab1，解得 a2，b5.当a0 或a0 的分类讨论，导致漏解.跟踪训练 a是实数，那么函数f(x)1asinax的图象不可能是()生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 答案 D 解析 当
12、a0 时，f(x)1，即图象 C；当 0a1 时，三角函数的最大值为 1a2，即图象 A；当a1 时，三角函数的最大值为a1 2，且最小正周期为T2a0)的图象的相邻两支截直线y1 所得的线段长为4，那么f12的值是()A0 B.33 C1 D.3 答案 D 解析 由条件可知，f(x)的周期是4.由4，得4，所以f12tan412tan3 3.5函数y2sin62x(x0，)的增区间是()A.0，3 B.12，712 C.3，56 D.56，答案 C 解析 y2sin62x2sin2x6，由22k2x6322k，kZ，解得3kx56k，kZ，即函数的增区间为3k，56k，kZ，当k0 时，增区
13、间为3，56.62021深圳模拟 函数ylog 12 cosx的一个单调减区间是()A(，0)B(0，)C.0，2 D.2，0 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 答案 D 解析 首先应保证 cosx0；函数ylog 12 cosx的单调减区间，即函数cosx的单调增区间.易知只有选项 D符合.7 2021郑州模拟 如果函数y3sin(2x)的图象关于直线x6对称，那么|的最小值为()A.6 B.4 C.3 D.2 答案 A 解析 由题意，得 sin261.所以32k，即6k(kZ)，故|min6.8函数y2sin2x31，x0，3的值域为_，并且取最大值时x的值为_ 答案
14、1,1 12 解析 x0，3，2x33，sin2x30,1，y 1,1 当 2x32时，即x12时y取得最大值 1.92021江苏模拟 函数ylg sin2x 9x2的定义域为_ 答案 3，20，2 解析 由 sin2x0，9x20，得 kxk2，kZ，3x3.3x2或 0 x2.函数ylg sin2x 9x2的定义域为3，20，2.10如果函数y3cos(2x)的图象关于点43，0 成中心对称，那么|的最小值为_ 生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 答案 6 解析 依题意得 3cos830，83k2，k136(kZ)，所以|的最小值是6.B级 知能提升 12021全国卷 设
15、函数f(x)cosx3，那么以下结论错误的选项是()Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线x83对称 Cf(x)的一个零点为x6 Df(x)在2，单调递减 答案 D 解析 A项，因为f(x)cosx3的周期为 2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为2，A项正确B项，因为f(x)cosx3图象的对称轴为直线xk3(kZ)，所以yf(x)的图象关于直线x83对称，B项正确 C项，f(x)cosx43.令x43k2(kZ)，得xk56，当k1 时，x6，所以f(x)的一个零点为x6，C项正确D项，因为f(x)cosx3的递减区间为2k3，2k23(kZ)，递增区间为2k23，2k53(
16、kZ)，所以2，23是减区间，23，是增区间，D项错误 应选 D.22021宁夏模拟 0，函数f(x)sinx4在2，上单调递减，那么的取值范围是()A.12，54 B.12，34 C.0，12 D(0,2)答案 A 解析 由2x，0 得，24x44，又ysinx在2，32生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 上递减，所以 242，432，解得 1254.应选 A.3函数f(x)cos3x3，其中x6，mmR且m6，假设f(x)的值域是1，32，那么m的最大值是_ 答案 518 解析 由x6，m，可知563x33m3，f6cos5632，且f29cos 1，要使f(x)的值域是
17、1，32，需要 3m376，解得29m518，即m的最大值是518.42021广东模拟 设函数f(x)tanx23.(1)求函数f(x)的定义域、周期和单调区间；(2)求不等式1f(x)3的解集 解(1)由x232k(kZ)，得x532k(kZ)，所以函数f(x)的定义域是 x xR，且x532k，kZ.因为12，所以周期T2.由2kx232k(kZ)，得32kx532k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是32k，532k (kZ)(2)由1tanx23 3，得4kx233k(kZ)生活的色彩就是学习 K12的学习需要努力专业专心坚持 解得62kx432k(kZ)所以不等式1f(x)3的解
18、集是 x 62kx432k，kZ.5函数f(x)sin(x)(01,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点M34，0 对称(1)求，的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)x34，2，求f(x)的最大值与最小值 解(1)因为f(x)sin(x)是 R 上的偶函数，所以2k，kZ，且0，那么2，即f(x)cosx.因为图象关于点M34，0 对称，所以342k，kZ，且 01，所以23.(2)由(1)得f(x)cos23x，由2k23x2k 且kZ得，3k32x3k，kZ，所以函数f(x)的递增区间是3k32，3k，kZ.(3)因为x34，2，所以23x2，3，当23x0 时，即x0，函数f(x)的最大值为 1，当23x2时，即x34，函数f(x)的最小值为 0.