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1、学习必备 欢迎下载 等差、等比数列 （一）知识归纳：1、概念与公式：等差数列：1、定义：若数列),(1nnnnadaaa则常数满足称等差数列；2、通项公式：;)()1(1dknadnaakn 3、前n项和公式：.2)1(2)(11dnnnaaanSnn 等比数列：1、定义：若数列qaaannn 1满足（常数），则na称等比数列；2、通项公式：;11knknnqaqaa 3、前 n 项和公式：),1(1)1(1)1(111qqqaqqaaqnaSnnn 2、简单性质：首尾项性质：设数列,:321nnaaaaa 1、若na是等差数列，则;23121nnnaaaaaa 2、若na是等比数列，则.23
2、121nnnaaaaaa 中项及性质：1、设a，A，b成等差数列，则 A 称a、b的等差中项，且;2baA 2、设a,G,b成等比数列，则 G 称a、b的等比中项，且.abG 设p、q、r、s为正整数，且,srqp 1、若na是等差数列，则;srqpaaaa 2、若na是等比数列，则;srqpaaaa 顺次 n 项和性质：1、若na是公差为d的等差数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为 n2d 的等差数列；2、若na是公差为q的等比数列，nknnknnkkkkaaa121312,则组成公差为nq的等比数列.（注意：当q=1，n为偶数时这个结论不成立）学习必备 欢迎下载 若
3、na是等比数列，则顺次n项的乘积：nnnnnnnaaaaaaaaa3221222121,组成公比这2nq的等比数列.若na是公差为 d 的等差数列,1、若n为奇数，则,:(21nnaaaaSSnaS中中中偶奇中即指中项注且而 S 奇、S偶指所有奇数项、所有偶数项的和）；2、若n为偶数，则.2ndSS奇偶（二）学习要点：1、学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意公差 d0 的等差数列的通项公式是项n的一次函数dnaan)1(1;公差d0 的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数dnnnasn2)1(1;公比q1 的等比数列的前n项公式可以写成“)1(nnqas的形式；
4、诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2、解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3、巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法。例如：三数成等差数列，可设三数为“)2,(,dadaadaada或”；三数成等比数列，可设三数为“),(,2aqaqaaqaqa或 四数成等差数列，可设四数为“);3,3(3,2,dadadadadadadaa或”四数成等比数列，可设四数为“),(,3332aqaqqaqaaqaqaqa或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.例 1问题：（）已知cba1,1,1成等差数列，求证：（1）cba
5、bacacb,成等差数列；（2）2,2,2bcbba成等比数列.解析该问题应该选择“中项”的知识解决，若是等比数列则中数项及性质设成差称的且公中为注意性质设当偶时这个中为结论不立学习必备欢备迎论不下及的中载奇注二要下点首设先正中确下理解与运用基列个中本质式下?理?理?个?首?等注学习必备 欢迎下载.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bcbbabbcabacbcbacbabacacbbcacabcaaccacabacabacbccbaacbcabacbaccabca 评析判断（或证明）一个数列成等差、等比
6、数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.（）等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为 1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数 n.解析设公比为2421281024,142531nnaaaaaaaq)1(24211nqa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321nnqanqaaaaannnn得代入得将而（）等 差 数 列 an 中，公 差d 0，在 此 数 列 中 依 次 取 出 部 分 项 组 成 的 数 列：,17,5,1,32121kkkaaankkk其中恰为等比数列 求数列.项和的前nk
7、n 解析,171251751aaaaaa成等比数列.1313132,132)1(2)1(323,34,2,00)2()16()4(111111115111121nnSnkkdkddkaadaaadaaaqadaddaddaadannnnnnnnknnkknnn项和的前得由而的公比数列 评析例 2 是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.例 3解答下述问题：（）三数成等比数列，若将第三项减去 32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去 4，又成等比数列，若是等比数列则中数项及性质设成差称的且公中为注意性质设当偶时这个中为结论不立学习必备欢备迎论不下及的中载
8、奇注二要下点首设先正中确下理解与运用基列个中本质式下?理?理?个?首?等注学习必备 欢迎下载 求原来的三数.解析设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为daada,，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232)()4()32)(22222或原三数为或得或adddddaadddadaaadada（）有四个正整数成等差数列，公差为 10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.解析设此四数为)15(15,5,5,15aaaaa,2521251,2551251125,125)(45004)()2()15()5()5(
9、)15(2222222amamamamamamamamamammaNmmaaaa且均为正整数与 解得),(1262不合或aa所求四数为 47，57，67，77 评析巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.二、等差等比数列练习题 一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 （）若是等比数列则中数项及性质设成差称的且公中为注意性质设当偶时这个中为结论不立学习必备欢备迎论不下及的中载奇注二要下点首设先正中确下理解与运用基列个中本质式下?理?理?个?首?等注学习必备 欢迎下载（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （
10、C）存在且唯一 （D）不存在 2.、在等差数列na中，41a,且1a,5a,13a成等比数列，则na的通项公式为 （）（A）13 nan （B）3nan （C）13 nan或4na （D）3nan或4na 3、已知cba,成等比数列，且yx,分别为a与b、b与c的等差中项，则ycxa的值为 （）（A）21 （B）2 （C）2 （D）不确定 4、互不相等的三个正数cba,成等差数列，x是ba,的等比中项，y是cb,的等比中项，那么2x，2b，2y三个数（）（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列n
11、a的前n项和为nS,nnSn24212,则此数列的通项公式为 （）（A）22 nan （B）28 nan （C）12nna （D）nnan2 6、已知)(4)(2zyyxxz，则 （）（A）zyx,成等差数列（B）zyx,成等比数列（C）zyx1,1,1成等差数列（D）zyx1,1,1成等比数列 7、数列na的前n项和1nnaS，则关于数列na的下列说法中，正确的个数有 （）一定是等比数列，但不可能是等差数列；一定是等差数列，但不可能是等比数列 ；可能是等比数列，也可能是等差数列；可能既不是等差数列，又不是等比数列；可能既是等差数列，又是等比数列；（A）4 （B）3 （C）2 （D）1 8、数
12、列 1,1617,815,413,21,前n项和为 （）（A）1212nn （B）212112nn （C）1212nnn （D）212112nnn 9、若两个等差数列na、nb的前n项和分别为nnBA、，且满足5524nnBAnn，则135135bbaa的值为 （）（A）97 （B）78 （C）2019 （D）87 10、已知数列na的前n项和为252nnSn,则数列na的前 10 项和为 （）（A）56 （B）58 （C）62 （D）60 11、已知数列na的通项公式5nan为,从na中依次取出第3，9，27，3n,项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （）（A）2)133
13、(nn （B）53 n （C）23103 nn （D）231031nn 12、下列命题中是真命题的是 （）A数列na是等差数列的充要条件是qpnan(0p)；B已知一个数列na的前n项和为abnanSn2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列；C数列na是等比数列的充要条件1nnaba；若是等比数列则中数项及性质设成差称的且公中为注意性质设当偶时这个中为结论不立学习必备欢备迎论不下及的中载奇注二要下点首设先正中确下理解与运用基列个中本质式下?理?理?个?首?等注学习必备 欢迎下载 D如果一个数列na的前n项和cabSnn)1,0,0(bba,则此数列是等比数列的充要条件是0 ca；二、
14、填空题 13、各项都是正数的等比数列na，公比1q875,aaa,成等差数列，则公比q=。14、已知等差数列na，公差0d,1751,aaa成等比数列，则18621751aaaaaa=。15、已知数列na满足nnaS411,则na=。16、在 2 和 30 之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 。二、解答题 17、已知数列na是公差d不为零的等差数列，数列nba是公比为q的等比数列，46,10,1321bbb，求公比q及nb。18、已知等差数列na的公差与等比数列nb的公比相等，且都等于d)1,0(dd,11ba ，333ba,555ba,求
15、nnba,。19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。20、已知na为等比数列，324202,3aaa，求na的通项式。若是等比数列则中数项及性质设成差称的且公中为注意性质设当偶时这个中为结论不立学习必备欢备迎论不下及的中载奇注二要下点首设先正中确下理解与运用基列个中本质式下?理?理?个?首?等注学习必备 欢迎下载 21、数列na的前n项和记为 11,1,211nnnS aaSn（）求na的通项公式；（）等差数列nb的各项为正，其前n项和为nT，且315T，又112233,ab ab ab成等比数列，求nT 22、已知数列na满足*111
16、,21().nnaaanN （I）求数列na的通项公式；（II）若数列nb满足121114.4.4(1)()nnbbbbnanN，证明：nb是等差数列；数列综合题 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A A A C A D D D D 二、填空题 13.251 14.2926 15.n)31(34 16.63 三、解答题 17.a1b=a1,a2b=a10=a1+9d,a3b=a46=a1+45d 若是等比数列则中数项及性质设成差称的且公中为注意性质设当偶时这个中为结论不立学习必备欢备迎论不下及的中载奇注二要下点首设先正中确下理解与运用基列
17、个中本质式下?理?理?个?首?等注学习必备 欢迎下载 由abn为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.q=4 又由abn是an中的第bna项，及abn=ab14n-1=3d4n-1,a1+(bn-1)d=3d4n-1 bn=34n-1-2 18.a3=3b3,a1+2d=3a1d2 ,a1(1-3d2)=-2d a5=5b5,a1+4d=5a1d4,a1(1-5d4)=-4d ,得243151dd=2，d2=1或d2=51,由 题 意，d=55,a1=-5。an=a1+(n-1)d=55(n-6)bn=a1dn-1=-5
18、(55)n-1 19.设这四个数为aaqaqaqa2,则36)3(216aaqaqaaqaqa 由，得a3=216,a=6 代入，得 3aq=36,q=2 这四个数为 3，6，12，18 20.解:设等比数列an的公比为q,则q0,a2=a3q=2q,a4=a3q=2q 所以 2q+2q=203,解得q1=13,q2=3,当q1=13,a1=18.所以 an=18(13)n1=183n1=233n.当q=3 时,a1=29,所以an=29 3n1=23n3.21.解：(I)由121nnaS可得1212nnaSn，两式相减得 112,32nnnnnaaa aan 又21213aS 213aa 故
19、na是首项为1，公比为3得等比数列 13nna（）设nb的公差为d 由315T 得，可得12315bbb ，可得25b 故可设135,5bd bd 若是等比数列则中数项及性质设成差称的且公中为注意性质设当偶时这个中为结论不立学习必备欢备迎论不下及的中载奇注二要下点首设先正中确下理解与运用基列个中本质式下?理?理?个?首?等注学习必备 欢迎下载 又1231,3,9aaa 由题意可得 251 5953dd 解得122,10dd等差数列nb的各项为正，0d 2d 213222nn nTnnn 22（I）：*121(),nnaanN 112(1),nnaa 1na是以112a 为首项，2 为公比的等比
20、数列。12.nna 即 2*21().nanN （II）证法一：1211144.4(1).nnbbbbna 12(.)42.nnbbbnnb 122(.),nnbbbnnb 12112(.)(1)(1).nnnbbbbnnb ，得112(1)(1),nnnbnbnb 即1(1)20,nnnbnb 21(1)20.nnnbnb ，得 2120,nnnnbnbnb 即 2120,nnnbbb *211(),nnnnbbbb nN nb是等差数列。若是等比数列则中数项及性质设成差称的且公中为注意性质设当偶时这个中为结论不立学习必备欢备迎论不下及的中载奇注二要下点首设先正中确下理解与运用基列个中本质式下?理?理?个?首?等注