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1、学习必备 欢迎下载 第十二章 轴对称 121 轴对称（一）教学目标 1在生活实例中认识轴对称图 2分析轴对称图形，理解轴对称的概念 教学重点：轴对称图形的概念 教学难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴 教学过程 创设情境，引入新课 我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐 轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称今天我们来研究第一节，
2、认识什么是轴对称图形，什么是对称轴 导入新课 出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征 这些图形都是对称的这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合 小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子 我们的黑板、课桌、椅子等 我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的 如课本的图 1212，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花观察得到的窗花和图 1211 中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？窗花可以沿折痕对折，使
3、折痕两旁的部分完全重合不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图1211 中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的部分重合 结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做 取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流 结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合 由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合
4、接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴 (1)(2)(3)(4)(5)展示挂图，大家想一想，你发现了什么？学习必备 欢迎下载 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点 课时小结 这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关
5、概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称 活动与探究：课本 P31 思考 成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？过程：在硬纸板上画两个成轴对称的图形，再用剪刀将这两个图形剪下来看是否重合再在硬纸板上画出一个轴对称图形，然后将该图形剪下来，再沿对称轴剪开，看两部分是否能够完全重合 结论：成轴对称的两个图形全等如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的 轴对称是说两个图形的位置关系，而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形 轴对称的两个图形和轴对称图形，都要沿某一条直线折
6、叠后重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 121 轴对称（二）教学目标 1了解两个图形成轴对称性的性质，了解轴对称图形的性质 2探究线段垂直平分线的性质 3经历探索轴对称图形性质的过程，进一步体验轴对称的特点，发展空间观察 教学重点;1轴对称的性质 2线段垂直平分线的性质 教学难点：体验轴对称的特征 教学过程 创设情境，引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形，知道现实生活中由于有轴对称图形，而使得世界非常美丽那么大家想一想，什么样的图形是轴对称图形呢？今天继续来研究轴对称的性质
7、导入新课：观看投影并思考 如图，ABC 和ABC关于直线 MN 对称，点 A、B、C分别是点 A、B、C 的对称点，线段 AA、BB、CC与直线 MN 有什么关系？图中 A、A是对称点，AA与 MN 垂直，BB和 CC也与 MN 垂直 AA、BB和 CC与 MN 除了垂直以外还有什么关系吗？ABC 与ABC关于直线 MN 对称，点 A、B、C分别是点 A、B、C 的对称点，设 AA交对称轴 MN 于点 P，将ABC 和ABC沿 MN 对折后，点 A与 A重合，于是有 AP=AP，MPA=MPA=90所以 AA、BB和 CC与MN 除了垂直以外，MN 还经过线段 AA、BB和 CC的中点 对称轴
8、所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载 自己动手画一个轴对称图形，并找出两对称点，看一下对称轴和两对称点连线的关系 我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样，对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段 归纳图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段
9、的垂直平分线类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线 下面我们来探究线段垂直平分线的性质 探究 1 如下图木条 L 与 AB 钉在一起，L 垂直平分 AB，P1，P2，P3，是 L 上的点，分别量一量点 P1，P2，P3，到 A 与 B 的距离，你有什么发现？1用平面图将上述问题进行转化，先作出线段 AB，过 AB 中点作 AB 的垂直平分线L，在 L 上取 P1、P2、P3，连结 AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2 2作好图后，用直尺量出 AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2讨论发现什么样的规律 探究结果：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距
10、离相等即 AP1=BP1，AP2=BP2，证明 证法一：利用判定两个三角形全等 如下图，在APC 和BPC 中，P CP CP C AP C BRtACB C APCBPC PA=PB.证法二：利用轴对称性质 由于点 C 是线段 AB 的中点，将线段 AB 沿直线 L 对折，线段 PA 与 PB 是重合的，因此它们也是相等的 带着探究 1 的结论我们来看下面的问题 探究 2 如右图用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向与木棒垂直呢？为什么？活动：1用平面图形将上述问题进行转化作线段 AB，取其中点P，过 P 作 L，在 L 上
11、取点 P1、P2，连结 AP1、AP2、BP1、BP2会有以下两种可能 2讨论：要使 L 与 AB 垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？探究过程：1如上图甲，若 AP1BP1，那么沿 L 将图形折叠后，A 与 B 不可能重合，也就是APP1BPP1，即 L 与 AB 不垂直 2 如上图乙，若 AP1=BP1，那么沿 L 将图形折叠后，A 与 B 恰好重合，就有APP1=BPP1，即 L 与 AB 重合 当AP2=BP2时，亦然 探究结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上也就是说在 探究 2图中，只要使箭端到弓两端的端点的距离相等，就能保持射出箭的方向与木
12、棒垂直 师上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质，即：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上 所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合 课时小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程，了解了线段的垂直平分线的有关性质，同学们应灵活运用这些性质来解决问题 在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载 1221 作轴对称图形 教学目标
13、1通过实际操作，了解什么叫做轴对称变换 2如何作出一个图形关于一条直线的轴对称图形 教学重点 1轴对称变换的定义 2能够按要求作出简单平面图形经过轴对称后的图形 教学难点 1作出简单平面图形关于直线的轴对称图形 2利用轴对称进行一些图案设计 教学过程 设置情境，引入新课 在前一个章节，我们学习了轴对称图形以及轴对称图形的一些相关的性质问题在上节课的作业中，我们有个要求，让同学们自己思考一种作轴对称图形的方法，现在来看一下同学们完成的怎么样 将一张纸对折后，用针尖在纸上扎出一个图案，将纸打开后铺平，得到的两个图案是关于折痕成轴对称的图形 准备一张质地较软，吸水性能好的纸或报纸，在纸的一侧上滴上一
14、滴墨水，将纸迅速对折，压平，并且手指压出清晰的折痕再将纸打开后铺平，位于折痕两侧的墨迹图案也是对称的 这节课我们就是来作简单平面图形经过轴对称后的图形 导入新课 由我们已经学过的知识知道，连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 类似地，我们也可以由一个图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案 对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化大家看大屏幕，从电脑演示的图案变化中找出对称轴的方向和位置，体会对称轴方向和位置的变化在图案设计中的奇妙用途 下面，同学们自己动手在一张纸上画一个图形，将这张纸折叠描图，再打开看看，得到了什么？改变折痕的位置并重复几
15、次，又得到了什么？同学们互相交流一下 结论：由一个平面图形呆以得到它关于一条直线 L 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线 L 的对称点；连结任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分 我们把上面由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到一个轴对称图形也可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的 取一张长 30 厘米，宽 6 厘米的纸条，将它每 3 厘米一段，一正一反像“手风琴”那样折叠起来，并在折叠好的纸上画上字母 E，用小刀把画出的字母 E 挖去，拉开“
16、手风琴”，你就可以得到以字母 E 为图案的花边回答下列问题 （1）在你所得的花边中，相邻两个图案有什么关系？相间的两个图案又有什么关系？说说你的理由 （2）如果以相邻两个图案为一组，每一组图案之间有什么关系？三个图案为一组呢？为什么？（3）在上面的活动中，如果先将纸条纵向对折，再折成“手风琴”，然后继续上面的步骤，此时会得到怎样的花边？它是轴对称图形吗？先猜一猜，再做一做 注：为了保证剪开后的纸条保持连结，画出的图案应与折叠线稍远一些 随堂练习：（一）P41 练习 1、2。（二）如图（1），将一张正六边形纸沿虚线对折折 3 次，得到一个多层的 60角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪出一条线，如
17、图（2）（1）猜一猜，将纸打开后，你会得到怎样的图形？在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载 （2）这个图形有几条对称轴？（3）如果想得到一个含有 5 条对称轴的图形，你应取什么形状的纸？应如何折叠？答案：（1）轴对称图形 （2）这个图形至少有 3 条对称轴 （3）取一个正十边形的纸，沿它通过中心的五条对角线折叠五次，得到一个多层的 36角形纸，用剪刀在叠好的纸上任意剪出一条线，打开即可得到一个至少含有 5 条对称轴的轴对称图形
18、（三）回顾本节课内容，然后小结 课时小结 本节课我们主要学习了如何通过轴对称变换来作出一个图形的轴对称图形，并且利用轴对称变换来设计一些美丽的图案在利用轴对称变换设计图案时，要注意运用对称轴位置和方向的变化，使我们设计出更新疑独特的美丽图案 动手并思考 （一）如下图所示，取一张薄的正方形纸，沿对角线对折后，得到一个等腰直角三角形，再沿斜边上的高线对折，将得到的角形沿黑色线剪开，去掉含 90角的部分，拆开折叠的纸，并将其铺平 （1）你会得怎样的图案？先猜一猜，再做一做 （2）你能说明为什么会得到这样的图案吗？应用学过的轴对称的知识试一试 （3）如果将正方形纸按上面方式折 3 次，然后再沿圆弧剪开
19、，去掉较小部分，展开后结果又会怎样？为什么？（4）当纸对折 2 次后，剪出的图案至少有几条对称轴？3 次呢？答案：（1）得到一个有 2 条对称轴的图形 （2）按照上面的做法，实际上相当于折出了正方形的 2 条对称轴；因此（1）中的图案一定有 2 条对称轴 （3）按题中的方式将正方形对折 3 次，相当于折出了正方形的 4 条对称轴，因此得到的图案一定有 4 条对称轴 （4）当纸对折 2 次，剪出的图案至少有 2 条对称轴；当纸对折 3 次，剪出的图案至少有 4 条对称轴（二）自己设计并制作一个花边 122.2 用坐标表示轴对称 教学目标 在平面直角坐标系中，确定轴对称变换前后两个图形中特殊点的位
20、置关系，再利用轴对称的性质作出成轴对称的 图形 教学重点：用坐标表示轴对称 教学难点：利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点 教学过程：一、复习轴对称图形的有关性质 二、新授：1学生探索：点(x,y)关于 x 轴对称的点的坐标(x,y)；点(x,y)关于 y 轴对称的点的坐标(x,y)；点(x,y)关于原点对称的点的坐标(x,y)2 例 3 四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(5,1)、B(2,1)、C(2,5)、D(5,4)，分别作出与四边形 ABCD关于 x 轴和 y 轴对称的图形 在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感
21、受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载（1）归纳：与已知点关于 y 轴或 x 轴对称的点的坐标的规律；（2）学生画图（3）对于这类问题，只要先求出已知图形中的一些特殊点的对应点的坐标，描出并顺次连接这些特殊点，就可以得到这个图形的轴对称图形 3、探究问题 分别作出PQR 关于直线 x=1(记为 m)和直线 y=1(记为 n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？（1）学生画图，由具体的数据，发现它们的对应点的坐标之间的关系（2）若P1Q1R1中 P1(x1,y1)关于 x=1(记为 m)轴对称的点的
22、坐标 P2(x2,y2)，则mxx221，y1=y2 若P1Q1R1中 P1(x1,y1)关于 y=1(记为 n)轴对称的点的坐标 P2(x2,y2)，则 x1=x2，221yy=n 12311 等腰三角形（一）教学目标 1等腰三角形的概念 2等腰三角形的性质 3等腰三角形的概念及性质的应用 教学重点：1等腰三角形的概念及性质 2等腰三角形性质的应用 教学难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用 教学过程 提出问题，创设情境 在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案这节课我们就是
23、从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形来研究：三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是 问题：那什么样的三角形是轴对称图形？满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后两部分能够完全重合的就是轴对称图形 我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形等腰三角形 导入新课：要求学生通过自己的思考来做一个等腰三角形 ABI CABI 作一条直线 L，在 L 上取点 A，在 L 外取点 B，作出点 B 关于直线 L 的对称点 C，连结 AB、BC、CA，则可得到一个等腰三角形 等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三
24、角形相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角 思考：1等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴 2等腰三角形的两底角有什么关系？在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载 3顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？结论：等腰三角形是轴对称图形它的对称轴是顶角的平
25、分线所在的直线因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线 要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并看它的两个底角有什么关系 沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高 由此可以得到等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到
26、两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质同学们现在就动手来写出这些证明过程）如右图，在ABC 中，AB=AC，作底边 BC 的中线 AD，因为 ,ABACB DC DADAD 所以BADCAD（SSS）所以B=C 如右图，在ABC 中，AB=AC，作顶角BAC 的角平分线 AD，因为 ,ABACB ADC ADADAD 所以BADCAD 所以 BD=CD，BDA=CDA=12BDC=90 例 1如图，在ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求：ABC 各角的度数 分析：根据等边对等角的性质，我们可以得到 A=ABD，ABC=C=BDC，再由BDC=A+
27、ABD，就可得到ABC=C=BDC=2A 再由三角形内角和为 180，就可求出ABC 的三个内角 把A 设为 x 的话，那么ABC、C 都可以用 x 来表示，这样过程就更简捷 解：因为 AB=AC，BD=BC=AD，所以ABC=C=BDC A=ABD（等边对等角）设A=x，则 BDC=A+ABD=2x，从而ABC=C=BDC=2x 于是在ABC 中，有 A+ABC+C=x+2x+2x=180，解得 x=36 在ABC 中，A=35，ABC=C=72 师下面我们通过练习来巩固这节课所学的知识 随堂练习：1.课本 P51 练习 1、2、3 2阅读课本 P49P51，然后小结 课时小结 这节课我们主
28、要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高 我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们 DCABDCABDCAB在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载 12311 等腰三角形（二）教学目标 1、理解并掌握等腰三角形的判定定理及推论 2、能利用其性质与判定证
29、明线段或角的相等关系.教学重点：等腰三角形的判定定理及推论的运用 教学难点：正确区分等腰三角形的判定与性质，能够利用等腰三角形的判定定理证明线段的相等关系.教学过程：一、复习等腰三角形的性质 二、新授：I 提出问题，创设情境 出示投影片某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B 点)为 B标，然后在这棵树的正南方(南岸 A 点抽一小旗作标志)沿南偏东 60方向走一段距离到 C 处时，测得ACB 为 30，这时，地质专家测得 AC 的长度就可知河流宽度 学生们很想知道，这样估测河流宽度的根据是什么？带着这个问题，引导学生学习“等腰三角形的判定”II 引入新课 1由性质定理的
30、题设和结论的变化，引出研究的内容在ABC 中，苦B=C，则 AB=AC 吗？作一个两个角相等的三角形，然后观察两等角所对的边有什么关系？2引导学生根据图形，写出已知、求证 2、小结，通过论证，这个命题是真命题，即“等腰三角形的判定定理”(板书定理名称)强调此定理是在一个三角形中把角的相等关系转化成边的相等关系的重要依据，类似于性质定理可简称“等角对等边”4引导学生说出引例中地质专家的测量方法的根据 III 例题与练习 1如图 2 其中ABC 是等腰三角形的是 2如图 3，已知ABC 中，AB=AC A=36，则C_(根据什么？)如图 4，已知ABC 中，A=36，C=72，ABC 是_三角形(
31、根据什么？)若已知A36，C72，BD 平分ABC 交 AC 于 D，判断图 5 中等腰三角形有_ 若已知 AD4cm，则 BC_cm 3以问题形式引出推论 l_ 4以问题形式引出推论 2_ 例：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形 分析：引导学生根据题意作出图形，写出已知、求证，并分析证明 练习：5(l)如图 6，在ABC 中，AB=AC，ABC、ACB 的平分线相交于点 F，过 F 作 DE/BC，交 AB 于点D，交 AC 于 E问图中哪些三角形是等腰三角形？(2)上题中，若去掉条件 AB=AC，其他条件不变，图 6 中还有等腰三角形吗？练习：P53
32、练习 1、2、3。IV 课堂小结 1判定一个三角形是等腰三角形有几种方法？2判定一个三角形是等边三角形有几种方法？3等腰三角形的性质定理与判定定理有何关系？4现在证明线段相等问题，一般应从几方面考虑？在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载 123 等边三角形(一)教学目的 1 使学生熟练地运用等腰三角形的性质求等腰三角形内角的角度。2 熟识等边三角形的性质及判定 2通过例题教学，帮助学生总结代数法求几何角度，线段长度的方法。教学重
33、点：等腰三角形的性质及其应用。教学难点：简洁的逻辑推理。教学过程 一、复习巩固 1叙述等腰三角形的性质，它是怎么得到的?等腰三角形的两个底角相等，也可以简称“等边对等角”。把等腰三角形对折，折叠两部分是互相重合的，即AB 与 AC 重合，点 B 与点 C 重合，线段 BD 与 CD 也重合，所以BC。等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线和底边上的高线互相重合，简称“三线合一”。由于 AD 为等腰三角形的对称轴，所以 BD CD，AD 为底边上的中线；BADCAD，AD 为顶角平分线，ADBADC90，AD 又为底边上的高，因此“三线合一”。2若等腰三角形的两边长为 3 和 4，则其周长为多少?
34、二、新课 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形具有什么性质呢?1请同学们画一个等边三角形，用量角器量出各个内角的度数，并提出猜想。2你能否用已知的知识，通过推理得到你的猜想是正确的?等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到ABC，又由ABC180，从而推出ABC60。3上面的条件和结论如何叙述?等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60。等边三角形是轴对称图形吗?如果是，有几条对称轴?等边三角形也称为正三角形。例 1在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上的中点，B30，求
35、1 和ADC 的度数。分析：由 ABAC，D 为 BC 的中点，可知 AB 为 BC 底边上的中线，由“三线合一”可知 AD 是ABC 的顶角平分线，底边上的高，从而ADC90，lBAC，由于CB30，BAC 可求，所以1 可求。问题 1：本题若将 D 是 BC 边上的中点这一条件改为 AD 为等腰三角形顶角平分线或底边 BC 上的高线，其它条件不变，计算的结果是否一样?问题 2：求1 是否还有其它方法?三、练习巩固 1判断下列命题，对的打“”，错的打“”。a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合()b有一个角是 60的等腰三角形，其它两个内角也为 60()2如图(2)，在ABC 中，已知
36、ABAC，AD 为BAC 的平分线，且225，求ADB 和B 的度数。3P54 练习 1、2。在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载 四、小结 由等腰三角形的性质可以推出等边三角形的各角相等，且都为 60。“三线合一”性质在实际应用中，只要推出其中一个结论成立，其他两个结论一样成立，所以关键是寻找其中一个结论成立的条件。五、作业：1课本 P57 第，题。2、补充：如图(3)，ABC 是等边三角形，BD、CE 是中线，求CBD，BO
37、E，BOC，EOD 的度数。1232 等边三角形（二）教学目标 1掌握等边三角形的性质和判定方法 2.培养分析问题、解决问题的能力 教学重点：等边三角形的性质和判定方法 教学难点：等边三角形性质的应用 教学过程 I 创设情境，提出问题 回顾上节课讲过的等边三角形的有关知识 1等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴 2等边三角形每一个角相等，都等于 60 3三个角都相等的三角形是等边三角形 4有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 其中 1、2 是等边三角形的性质；3、4 的等边三角形的判断方法 II 例题与练习 1ABC 是等边三角形，以下三种方法分别得到的ADE 都是等边三角形吗，为什么?
38、在边 AB、AC 上分别截取 AD=AE 作ADE60，D、E 分别在边 AB、AC 上 过边 AB 上 D 点作 DEBC，交边 AC 于 E 点 2 已知：如右图，P、Q 是ABC 的边 BC 上的两点，并且 PBPQQCAPAQ.求BAC 的大小 分析：由已知显然可知三角形 APQ 是等边三角形，每个角都是 60又知APB 与AQC 都是等腰三角形，两底角相等，由三角形外角性质即可推得PAB30 3 P56 页练习 1、2 III 课堂小结：1.等腰三角形和性质；等腰三角形的条件 V布置作业：1 P58 页习题 123 第 ll 题 2.已知等边ABC，求平面内一点 P，满足 A，B，C
39、，P 四点中的任意三点连线都构成等腰三角形这样的点有多少个?1232 等边三角形（三）教学过程 一、复习等腰三角形的判定与性质 二、新授：1等边三角形的性质：三边相等；三角都是 60；三边上的中线、高、角平分线相等 2等边三角形的判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半 注意：推论 1 是判定一个三角形为等边三角形的一个重要方法.推论 2 说明在等腰三角形中，只要有一个角是 600，不论这个角是顶角还是底角，就可以判定这个三角形是等边三角形。推论 3 反映的是直角三角形中边与角之间
40、的关系.3由学生解答课本 148 页的例子；在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够学习必备 欢迎下载 4补充：已知如图所示,在ABC 中,BD 是 AC 边上的中线,DBBC 于 B,ABC=120o,求证:AB=2BC 分析 由已知条件可得ABD=30o,如能构造有一个锐角是 30o的直角三角形,斜边是 AB,30o角所对的边是与BC 相等的线段,问题就得到解决了.证明:过 A 作 AEBC 交 BD 的延长线于 E DBBC(已知)AED=90
41、o(两直线平行内错角相等)在ADE 和CDB 中)()()(已知对顶角相等已证CDADBDCADECBDE ADECDB(AAS)AE=CB(全等三角形的对应边相等)ABC=120o,DBBC(已知)ABD=30o 在 RtABE 中,ABD=30o AE=21AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于 30o,那么它所对的直角边等于斜边的一半)BC=21AB 即 AB=2BC 点评 本题还可过 C 作 CEAB 5、训练：如图所示,在等边ABC 的边的延长线上取一点 E,以 CE 为边作等边CDE,使它与ABC 位于直线 AE 的同一侧,点 M 为线段 AD 的中点,点 N 为线段 BE 的中点
42、,求证:CNM 是等边三角形.分析 由已知易证明ADCBEC,得 BE=AD,EBC=DAE,而 M、N 分别为 BE、AD 的中点，于是有BN=AM，要证明CNM 是等边三角形，只须证 MC=CN，MCN=60o，所以要证NBCMAC，由上述已推出的结论，根据边角边公里，可证得NBCMAC 证明：等边ABC 和等边DCE，BC=AC，CD=CE，（等边三角形的边相等）BCA=DCE=60o（等边三角形的每个角都是 60）BCE=DCA BCEACD（SAS）EBC=DAC（全等三角形的对应角相等）BE=AD（全等三角形的对应边相等）又BN=21BE，AM=21AD（中点定义）BN=AM NB
43、CMAC（SAS）CM=CN（全等三角形的对应边相等）ACM=BCN（全等三角形的对应角相等）MCN=ACB=60o MCN 为等边三角形（有一个角等于 60o的等腰三角形是等边三角形）解题小结 1.本题通过将分析法和综合法并用进行分析,得到了本题的证题思路,较复杂的几何问题经常用这种方法进行分析 2.本题反复利用等边三角形的性质,证得了两对三角形全等,从而证得MCN 是一个含60o角的等腰三角形,在较复杂的图形中,如何准确地找到所需要的全等三角形是证题的关键.三、小结本节知识 四、作业：课本 P58 页第 13，14 题 B 在一个充满对称的世界中许多建筑物都设计成对称形艺术作品的创作往发现一些图形的特征可以使我们感受到自然界的美与和谐轴对称是对称么共同特征这些图形都是对称的这些图形从中间分开后左右两部分能够