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1、学习必备 欢迎下载 等差数列的前 n 项和例题解析 【例 1】等差数列前 10 项的和为 140，其中，项数为奇数的各项的和为 125，求其第 6 项 解 依题意，得 10ad=140aaaaa=5a20d=125113579110 1012()解得 a1=113，d=22 其通项公式为 an=113(n1)(22)=22n135 a6=2261353【例 2】在两个等差数列 2，5，8，197 与 2，7，12，197 中，求它们相同项的和 解 由已知，第一个数列的通项为 an3n1；第二个数列的通项为 bN=5N3 若 ambN，则有 3n15N3 即 nN213()N 若满足 n 为正整
2、数，必须有 N3k1(k 为非负整数)又 25N3197，即 1N40，所以 N1，4，7，40 n=1，6，11，66 两数列相同项的和为 21732197=1393【例 3】选择题：实数 a，b，5a，7，3b，c 组成等差数列，且 ab5a73bc2500，则 a，b，c 的值分别为 A1，3，5 B1，3，7 C1，3，99 D1，3，9 解 C2b=a5ab=3a由题设 又 145a3b，a1，b3 首项为 1，公差为 2 又 S=nad 2500=n2 n50n1n nn n()()1212 学习必备 欢迎下载 a50=c=1(501)2=99 a1，b3，c99【例 4】在 1
3、和 2 之间插入 2n 个数，组成首项为 1、末项为 2 的等差数列，若这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为 913，求插入的数的个数 解 依题意 21(2n21)d 前半部分的和后半部分的和 S(n1)d S(n1)2(d)n+1n+1()()nnnn1212 由已知，有化简，得解之，得SSnndnndndndnn111 121 229131222913()()()()nd=511 由，有(2n1)d=1 由，解得，d=111n=5 共插入 10 个数【例 5】在等差数列an中，设前 m 项和为 Sm，前 n 项和为 Sn，且 SmSn，mn，求 Sm+n 解 S(mn)a(mn)(m
4、n1)d(mn)a(mn1)dm+n11 1212 且 SmSn，mn 整理得 mam(m1)dnan(n1)d(mn)a(mn)(mn1)=011112122d 为若则有即若满足为正整数必须有为非负整数又即所以两数列相同项的前半部分的和同后半部分的和之比为求插入的数的个数解依题意前半部列中求数列的前项和解设公差为由公式得解方程组得由得故数列的前项学习必备 欢迎下载 即 由 ，知(mn)a(mn1)d=0mna(mn1)d0111212 Sm+n0【例 6】已知等差数列an中，S3=21，S6=64，求数列|an|的前 n 项和Tn 解 dSnad3a3d=21ba15d=24n111设公差为
5、，由公式得n n()12 解方程组得：d2，a19 an9(n1)(n2)2n11 由得，故数列的前 项为正，a2n110 n=5.5a 5nn112 其余各项为负数列an的前 n 项和为：S9n(2)=n10nn2n n()12 当 n5 时，Tnn210n 当 n6 时，TnS5|SnS5|S5(SnS5)2S5Sn Tn2(2550)(n210n)n210n50 即T=n10n n5n10n50 n6n*n22N 说明 根据数列an中项的符号，运用分类讨论思想可求|an|的前 n 项和 【例 7】在等差数列an中，已知 a6a9a12a1534，求前 20 项之和 解法一 由 a6a9a
6、12a1534 得 4a138d34 又S20ad20120192 为若则有即若满足为正整数必须有为非负整数又即所以两数列相同项的前半部分的和同后半部分的和之比为求插入的数的个数解依题意前半部列中求数列的前项和解设公差为由公式得解方程组得由得故数列的前项学习必备 欢迎下载 20a1190d 5(4a138d)=534=170 解法二 S=(a+a)202=10(aa)20120120 由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20 a1a20=17 S20170【例 8】已知等差数列an的公差是正数，且 a3a7=12，a4a6=4，求它的前 20 项的和 S20的值 解法一 设等差数
7、列an的公差为 d，则 d0，由已知可得(a2d)(abd)12 a3da5d=4 1111 由，有 a124d，代入，有 d2=4 再由 d0，得 d2 a1=10 最后由等差数列的前 n 项和公式，可求得 S20180 解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即 a3a74 又 a3a7=12，由韦达定理可知：a3，a7是方程 x24x120 的二根 解方程可得 x1=6，x22 d0 an是递增数列 a36，a7=2 d=a=2a10S1807120a373，【例 9】等差数列an、bn的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，若 为若则有即若满足为正整数必须有为非负整数又即所以两数列
8、相同项的前半部分的和同后半部分的和之比为求插入的数的个数解依题意前半部列中求数列的前项和解设公差为由公式得解方程组得由得故数列的前项学习必备 欢迎下载 STnnabnn231100100，则等于 A1BCD23199299200301 解法一 ，Sn aaTn bbSTaabbaabbnnnnnnnnnnnn()()11111122231 2a100a1a199，2b100b1b199 选 abab100100199199=ab=21993199+1=199299 C11 解法二 利用数列an为等差数列的充要条件：Snan2 bn STnnnn231 可设 Sn2n2k，Tnn(3n1)k a
9、bSSTTn knknnknnknnnnabnnnnnn 1122100100221311 311426221312100131001199299()()()()【例 10】解答下列各题：(1)已知：等差数列an中 a23，a617，求 a9；(2)在 19 与 89 中间插入几个数，使它们与这两个数组成等差数列，并且此数列各项之和为 1350，求这几个数；(3)已知：等差数列an中，a4a6a15a1750，求 S20；(4)已知：等差数列an中，an=333n，求 Sn的最大值 为若则有即若满足为正整数必须有为非负整数又即所以两数列相同项的前半部分的和同后半部分的和之比为求插入的数的个数解
10、依题意前半部列中求数列的前项和解设公差为由公式得解方程组得由得故数列的前项学习必备 欢迎下载 分析与解答(1)a=a(62)d d=5621734 a9=a6(96)d=173(5)=32(2)a1=19，an+2=89，Sn+21350 S=(a+a)(n+2)2n2=2135019+89=25 n=23a=a=a24d d=3512n+21n+2n+2251 故这几个数为首项是，末项是，公差为的个数21111286112351223(3)a4a6a15a17=50 又因它们的下标有 417615=21 a4a17=a6a15=25 S=(a+a)2020120210250417()aa(4
11、)an=333n a130 S=(a+a)n2n1n()()633232632322123218222n nnnn nN，当 n=10 或 n=11 时，Sn取最大值 165【例 11】求证：前 n 项和为 4n23n 的数列是等差数列 证 设这个数列的第 n 项为 an，前 n 项和为 Sn 当 n2 时，anSnSn-1 an(4n23n)4(n1)23(n1)=8n1 当 n=1 时，a1=S1=43=7 为若则有即若满足为正整数必须有为非负整数又即所以两数列相同项的前半部分的和同后半部分的和之比为求插入的数的个数解依题意前半部列中求数列的前项和解设公差为由公式得解方程组得由得故数列的前
12、项学习必备 欢迎下载 由以上两种情况可知，对所有的自然数 n，都有 an=8n1 又 an+1an8(n1)1(8n1)8 这个数列是首项为 7，公差为 8 的等差数列【例 12】证明：数列an的前 n 项之和 Snan2bn(a、b 为常数)是这个数列成为等差数列的充分必要条件 证 由 Snan2bn，得 当 n2 时，anSnSn-1 an2bna(n1)2b(n1)=2naba a1S1ab 对于任何 nN，an2naba 且 anan-1=2na(ba)2(n1)aba 2a(常数)an是等差数列 若an是等差数列，则 Snad=dn(ad)=d2n11n nnnnn ad()()()
13、1212221 若令，则，即dd22=aa=b1 Sn=an2bn 综上所述，Sn=an2bn 是an成等差数列的充要条件【例 13】等差数列an的前 n 项和 Snm，前 m 项和 Smn(mn)，求前为若则有即若满足为正整数必须有为非负整数又即所以两数列相同项的前半部分的和同后半部分的和之比为求插入的数的个数解依题意前半部列中求数列的前项和解设公差为由公式得解方程组得由得故数列的前项学习必备 欢迎下载 mn 项和 Sm+n 解法一 设an的公差 d 按题意，则有 SnadmSmadn (mn)ad=nmn1m11，得n nm mmn mn()()()()121212 即ad=11mnSmn
14、 amn mndmn amndm n 12121211()()()()()=(mn)解法二 设 SxAx2Bx(x N)AmBmn AnBnm 22，得 A(m2n2)B(mn)nm mn A(mn)B=1 故 A(mn)2B(mn)(mn)即 Sm+n(mn)【例 14】在项数为 2n 的等差数列中，各奇数项之和为 75，各偶数项之和为 90，末项与首项之差为 27，则 n 之值是多少？解 S偶项S奇项=nd nd=9075=15 又由 a2na127，即(2n1)d=27 nd15(2n1)d27n=5【例 15】在等差数列an中，已知 a125，S9S17，问数列前多少项和为若则有即若满
15、足为正整数必须有为非负整数又即所以两数列相同项的前半部分的和同后半部分的和之比为求插入的数的个数解依题意前半部列中求数列的前项和解设公差为由公式得解方程组得由得故数列的前项学习必备 欢迎下载 最大，并求出最大值 解法一 建立 Sn关于 n 的函数，运用函数思想，求最大值 根据题意：，S=17adS9ad1719117162982 a1=25，S17S9 解得 d2 S25n(2)=n26n=(n13)169n22n n()12 当 n=13 时，Sn最大，最大值 S13169 解法二 因为 a1=250，d20，所以数列an是递减等 差数列，若使前 项和最大，只需解，可解出 na0a0nnn+1 a125，S9S17 ，解得9252d=1725dd=29817162 an=25(n1)(2)=2n27 2n2702(n1)270n13.5n12.5n=13 即前 13 项和最大，由等差数列的前 n 项和公式可求得 S13=169 为若则有即若满足为正整数必须有为非负整数又即所以两数列相同项的前半部分的和同后半部分的和之比为求插入的数的个数解依题意前半部列中求数列的前项和解设公差为由公式得解方程组得由得故数列的前项