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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等差数列的前 n 项和 例题解析【例 1】等差数列前10 项的和为140,其中,项数为奇数的各项的和为125,求其第 6 项解依题意,得a1 d = 140120d = 12510a110 102a1a3a57a = 5a解得 a1=113,d=22 其通项公式为an=113n1 22=22n135 a6=22 61353 【例 2】在两个等差数列2,5,8, , 197 与 2,7,12, , 197 中,求它们相同项的和解由已知,第一个数列的通项为an3n 1；其次个数列的通项为bN=5N3 如 ambN,就有 3n15N
2、3 2 N 1 即 nN3如满意 n 为正整数,必需有N3k1k 为非负整数 又 25N3197,即 1N40,所以 N1,4,7, , 40 n=1,6,11, , 66 两数列相同项的和为 21732 197=1393 【例 3】挑选题：实数a, b,5a, 7,3b, , c 组成等差数列,且ab5a7 3b c2500,就 a,b,c 的值分别为A1,3,5 B1,3,7b = 3a C1,3, 99 D1, 3,9 解 C 由题设2b = a5a又 145a 3b,a1,b 3 首项为 1,公差为 2 名师归纳总结 又S = na 1n n1 d2 50第 1 页,共 9 页2 25
3、00= nn n1 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a50=c=1 5012=99学习必备欢迎下载 a 1,b3,c99 【例 4】在 1 和 2 之间插入 2n 个数,组成首项为1、末项为 2 的等差数列,如这个数列的前半部分的和同后半部分的和之比为 解 依题意 212n21d 913,求插入的数的个数 n 1 n前半部分的和 S n+1n1d 2 n 1 n后半部分的和 Sn+1n12d 2nd由已知,有 S n 1 n 1 12 9Sn 1 n 1 2 nd 132nd化简,得 12 9nd 13225解之,得 nd = 11由,有 2n 1
4、d=1 由,解得 d = 1,n = 511 共插入 10 个数【例 5】在等差数列 a n 中,设前 m 项和为 Sm,前 n 项和为 Sn,且 SmSn,m n,求 Sm+n解Sm+nmna11mnm 1d2mna11m n1d2且 SmSn,m n名师归纳总结 ma 11mm1dna 11nn1d第 2 页,共 9 页22整理得mna1dmnm n1 = 02- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即mna 11学习必备欢迎下载m 1d = 02由mn,知a 11m 1d02Sm+n0【例 6】已知等差数列 an 中, S3=21,S6=64,求数列
5、|an|的前 n 项和Tn解设公差为d,由公式S nna 1n n1d2得3a 13d = 21ba 115d = 24解方程组得： d 2,a19an 9n1n 2 2n11 由a n2n110 得 11= 5.5,故数列a n的前5项为正,2其余各项为负数列an 的前 n 项和为：Sn9nn n1 2 =n210n2当 n 5 时, Tn n210n当 n6 时, TnS5|SnS5| S5Sn S52S5SnTn22550n210nn210n50 T =n 210n n5即n 210n50 n6 nN *说明 依据数列 a n中项的符号, 运用分类争论思想可求|an|的前 n 项和【例
6、7】在等差数列 an 中,已知 a6 a9a12 a1534,求前 20 项之和解法一 由 a6a9a12a1534 得 4a1 38d34 名师归纳总结 又S 2020a 12019d第 3 页,共 9 页2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20a1190d54a138d=5 34=170 解法二 S20= a + a 20220= 10a1a20由等差数列的性质可得：a6a15=a9a12a1a20a1a20=17 S20170 【例 8】已知等差数列 an 的公差是正数,且 a3a7=12,a4a6=4,求它的前 20 项的和
7、S20 的值解法一 设等差数列 an 的公差为 d,就 d 0,由已知可得a 12da 1bd12 a 13da 15d =4 由,有 a1 24d,代入,有 d2=4再由 d 0,得 d2 a1=10 最终由等差数列的前 n 项和公式,可求得 S20180 解法二 由等差数列的性质可得：a4a6a3a7 即 a3a7 4 又 a3a7=12,由韦达定理可知：a3,a7是方程 x24x120 的二根解方程可得 x1=6,x22 d0 a n是递增数列a3 6,a7=2 名师归纳总结 d =a7a 3= 2,a110,S20180Sn和 Tn,如第 4 页,共 9 页73【例 9】等差数列 an
8、 、b n 的前 n 项和分别为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - Sn2n1,就a 100学习必备欢迎下载等于T n3 nb 100A1S nn a 1aB2 3bn C199D200299301解法一n,T nn b 122S nT na 1ana 1an2nb 1b nb 1bn3 n12a100a1a199,2b100b1b199ab 100100 = ab 11 ab 199199=32199+1 = 199 选 解法二 利用数列 a n 为等差数列的充要条件：Snan2bn S Tn32n1nn可设 Sn2n2k, Tnn3n1kanS nS
9、 n122 n k2 n1 2k1 1 kbnT nT n1n3 n1 kn1 3 na1004n22 n16 n23 n121001199b10031001299【例 10】解答以下各题：1已知：等差数列a n 中 a23,a6 17,求 a9；2在 19 与 89 中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数 列各项之和为 1350,求这几个数；3已知：等差数列4已知：等差数列a n 中, a4a6 a15a1750,求 S20；a n 中, an=333n,求 Sn的最大值名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - -
10、 - 学习必备 欢迎下载分析与解答1a6= a 262d d173=54a9=a696d= 173 5=32 2a1=19,an+2=89,Sn+21350 S n+2= a + a n+22n + 2861,公差为35的23个数 2 = 2 19 +89 = 25 n = 231350an+2= a 25= a 124d d = 35 12故这几个数为首项是2111 12,末项是12123a4a6a15a17=50 又因它们的下标有 417615=21 a4 a17=a6a15=25 S20=a + a202010a4a172 n250n24an=333n a130363S =a + a n
11、n633 n n22223n21 2232 2128nN,当 n=10 或 n=11 时, Sn 取最大值 165【例 11】求证：前 n 项和为 4n2 3n 的数列是等差数列证 设这个数列的第 n 项为 an,前 n 项和为 Sn当 n2 时, anSnSn-1an 4n23n 4n 123n1 =8n1 当 n=1 时, a1=S1=43=7 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由以上两种情形可知,对全部的自然数 n,都有 an=8n1 又 an+1an8n1 1 8n18 这个数列是首项为 7
12、,公差为 8 的等差数列【例 12】证明： 数列 a n 的前 n 项之和 Snan2bna、b 为常数 是这个数列成为等差数列的充分必要条件证由 Snan2bn,得当 n2 时, anSnSn-1an2bnan12bn1 =2naba a1S1ab 对于任何 nN,an2naba 且 anan-1=2naba 2n1aba 2a常数 a n 是等差数列如a n 是等差数列,就Snna 1n n1 dna1d2= d1n n2=dn2n a1d22= b,即如令d= a,就a 1d22Sn=an2bn综上所述, Sn=an2bn 是an 成等差数列的充要条件名师归纳总结 【例 13】等差数列
13、an 的前 n 项和 Snm,前 m 项和 Smnmn,求前第 7 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载m n 项和 Sm+n解法一 设an 的公差 d 按题意,就有S nna 1n n1 dmnd1 d = nm2S mma 1m m1 dn 2,得mna 1mn m2即a 1mn1d =1n1 2mn mS m nmn a 12mn a 1mn1d 2=m n解法二 设 Sx Ax 2Bxx N 2AmBmn An 2Bnm ,得 Am 2n2Bmnnmm n Am nB= 1 故 Am n2 Bm n mn 即 Sm
14、+n mn 【例 14】在项数为 2n 的等差数列中,各奇数项之和为 75,各偶数项之和为 90,末项与首项之差为 27,就 n 之值是多少？解S 偶项 S 奇项 =nd nd=90 75=15 又由 a2na127,即 2n1d=27 名师归纳总结 nd1527n = 5a125,S9S17,问数列前多少项和第 8 页,共 9 页 2n1d【例 15】在等差数列 an 中,已知- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载最大,并求出最大值解法一建立 Sn 关于 n 的函数,运用函数思想,求最大值169依据题意：S 17= 17a 11716d,S 99a 198d22a1=25,S17S9解得 d 2Sn25nn n1 2 =n226n =n1322当 n=13 时, Sn 最大,最大值S13169n解法二由于 a1=250,d 20,所以数列 an 是递减等差数列,如使前n 项和最大,只需解an00,可解出an+1a1 25,S9S17 2598d = 17251716d,解得d =222an=25n 12=2n27名师归纳总结 2n2700n13.5n = 13S13=169第 9 页,共 9 页2n127n12.5即前 13 项和最大,由等差数列的前n 项和公式可求得- - - - - - -