《2023年考研日历高数公式大全.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年考研日历高数公式大全.pdf（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备 欢迎下载 考研数学三公式汇总 高等数学公式汇总 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantancotcot1cot()cotcot()()shsh chch shchch chsh sh 和差角公式：s i ns i n2 s i nc o s22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22 和差化积公式：1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsinco
2、s()cos()2 积化和差公式：学习必备 欢迎下载 2222222222sin22sincoscos 22cos1 12sincossin2tantan21tancot1cot 22cot22212 21shsh chchshchchsh 倍角公式：22222222sincos1;tan1sec;cot1csc;11 cossin221 coscos221 cos1 cossintan21 cossin1 cos1 cos1 cossincot21 cossin1 cosxxxx ch xsh x 半角公式：22:ln(12:ln(1)211:ln21xxxxxxxxeeshxarshxxx
3、eechxarchxxxshxeexthxarthxchxeex 双曲正弦；反双曲正弦）双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切 3322()()()abab aabb，222(1)(21)126n nnn 22333(1)124nnn 2、极限 常用极限：1,lim0nnqq;1,lim1nnaa;lim1nnn ln(1()limln(1()()()lim()()1/()()0,(),lim1()f xf xf xg xf x g xg xf xg xf xee 若则 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理
4、拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 两个重要极限 100sinsin1lim1,lim0;lim(1)lim(1)xxxxxxxxexxxx :常用等价无穷小 2111 cos;sin arcsin arctan;11;2 1ln;1;(1)1;ln(1)nxxaxxxxxxxxnaxa exxaxxx 3、连续：定义：000lim0;lim()()xxxyf xf x 0000lim()lim()()()xxxxf xf xf xf x极限存在或 第二章 导数与微分 1、基本导数公式：00000000()()()()()limlimlimtan
5、xxxxf xxf xf xf xyfxxxxx _0+0()()fxfx导数存在 122220;();(sin)cos;(cos)sin;(tan)sec;(cot)csc;(sec)sectan;(csc)csc;()ln;();1111(log);(ln);(arcsin);(arccos);ln11aaxxxxaCxaxxxxxxxxxxxxxx ctgxaaa eexxxxxaxxx 22222211(arctan);(cot);();();111111();();();()111xarcxshxhx chxshxxxthxarshxarchxarthxch xxxx 2、高阶导数：
6、()()()()!()()!;()ln()()!nkn knnxnxnxnxnxxxnaaaeenk()()()1111(1)!1(1)!1!();();()()()nnnnnnnnnnnxxxaxaaxax 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 ()()(sin)sin();(cos)cos();22nnnnkxkkxnkxkkxn ()1()(1)1(1)!1(1)!ln()(1)ln()()(1)()nnnnnnnnnax
7、xaxxx 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!nnkn kknknnnn kknuvC uvn nn nnkuvnuvuvuvuvk 3、微分：0()()();=()();yf xxf xdyoxdy fxxfx dx 连续极限存在收敛有界;=可微可导左导 右导连续；不连续不可导 第三章 微分中值定理与微分的应用 1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f bf afbaa bf bf afa bF bF aFxx拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。2、()2000000
8、00(1)(1)0110000()():()()()()()()()2!():();(,),(0,1)()()()()(1)!(1)!nnnnnnnnnfxfxf xf xfxxxxxxxR xnoxxR xx xfxxxfxxxxnn 泰勒公式余项 222232302221()().(:MMs()()()()Mlim=.(1)()()10;.sdsy dxx ty tdtdKMMsyttttdKsdsyttKRKR 弧微分公式：平均曲率：从点到点，切线斜率的倾角变化量；:弧长)点的曲率：直线的曲率：半径为 的圆的曲率：正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不
9、连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 23(1)1=yMKy曲线在点处的曲率半径:第四章 不定积分 1、常用不定积分公式：()();()();()()f x dxF xCf x dxf xF x dxF xC 11(1);ln;1;lnxxxxxx dxCdxxCxaa dxCe dxeCa 2222sincos;cossin;tanln cos;cotln sin;secln sectan;cscln csccotln tanln csccot;2sectan;csccot;cossinsectxd
10、xxCxdxxCxdxxCxdxxCxdxxxCxxdxxxCCxxCdxdxxdxxCxdxxCxxx ansec;csccotcsc;xdxxCxxdxxCshxdxchxCchxdxshxC 22222222222222arcsinarccos;arcsin;11arctanarccot;arctan;111ln;ln;22ln();dxdxxx CxCCaxaxdxdxxx CxCCxaxaadxxadxaxCCxaaxaaxaaxdxxxaCxa 222222222222ln();22arcsin22xaxa dxxaxxaCxaxax dxaxCa 2、常用凑微分公式：正切反双曲正
11、切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 222212;();(ln);11(1);(1)()1(ln tan);cossindxdxdxdxddxxxxxxdxdxdxd xxxxdxdxxx 3、有特殊技巧的积分 2211(1)sincossin()dxdxaxbxxab sincos(2)lnsincossincoscxdxdxAxBaxbxCaxbx 241(3)1xdxx2211()1()(2)d xxxx 第五章 定积分 1、基本概
12、念 00111()lim()lim()()()(),()()nnbbiiaaniiif x dxfxfF bF aF xF xf xn n 连续可积;有界+有限个间断点可积;可积有界;连续原函数存在()()()()xaxf t dtxf x ()()()()()()()xxdf t dtfxxfxxdx()()()abf x dxftt dt，()()()()()()aabbu x dv xu x v xv x du x 2、常用定积分公式：0()()()aaaf x dxf xfx dx；0(),()2()aaaf xf x dxf x dx为偶函数；(),()0aaf xf x dx为奇函
13、数 2200(sin)(cos)fx dxfx dx；222000(sin)(sin)(sin)2xfx dxfx dxfx dx TTT2T02()()()aaf x dxf x dxf x dx；TT0()()a naf x dxnf x dx 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 Wallis公式：222001 331,12 2 42sincos2 431,3 52nnnnnnnnnnIxdxxdxInnnnnn为正偶数为
14、正奇数 无穷限积分：+b+b-bb+-()lim()(+)();()lim()(-)();()lim()lim()(+)()aabbaaaabaf x dxf x dxFF af x dxf x dxFF af x dxf x dxf x dxFF 瑕积分：()lim()()lim();()lim()lim()();()()()bbattatabtaatbtbbcbaacf x dxf x dxF bF tf x dxf x dxF tF af x dxf x dxf x dx+1,1,1padx ppx收敛发散；11,01,1padxppx 收敛发散 10()(1)!xnnexdxn,(1)
15、()!;(1)1;nnnn 201()22xedx 第六章 定积分应用 1、平面图形的面积：直角坐标情形：()baAf x dx；()()baAf xg x dx；()()dcAyy dy 参数方程情形：()()()();();()At dttt dtab 极坐标情形：21()2Ad 2、空间立体的体积：由截面面积：()baVA x dx 旋转体：绕 x 轴旋转：222();()()()2();2()()()bbaaddccVfx dx Vfxgx dx xVyy dy Vyyy dy y 为积分变量为积分变量 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可
16、导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 绕 y 轴旋转：222()2()();()()()()bbaadcVx f x dxx f xg x dx xVyy dy y为积分变量为积分变量 3、平面曲线的弧长：22222()()1()()()bastt dtfx dxd 总结 求极限方法：1、极限定义；2、函数的连续性；3、极限存在的充要条件；4、两个准则；5、两个重要极限；6、等价无穷小；7、导数定义；8 利用微分中值定理；9、洛必达法则；10、麦克劳林公式展开；求导法：1、导数的定义（求极限）；2、导数存在的
17、充要条件；3、基本求导公式；4、导数四则运算及反函数求导；5、复合函数求导；6、参数方程确定的函数求导；7、隐函数求导法；8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数）；等式与不等式的证明：1、利用微粉中值定理；2、利用泰勒公式展开；3、函数的单调性；4、最大最小值；5、曲线的凸凹性 第七章 多元函数微分法及其应用 一、定义：00000(,)000(,)0(,)(,)lim(,)(,)(,)xyxxxyxx xff xx yf x ydf x yfxyfx yxxdx 二、微分：0(,)(,)lim0 xyzfx yxfx yy 可微，偏导连续可微连续+偏导存在，全微分：(,)(,)xyd
18、zfx y dxfx y dy 三、隐函数求导:正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 ood1 ,0().d2 ,0(,),xyyxzzFyF x yyf xxFF x y zzf x yFFzzxFyF （）且（）且 四、曲线的切线和法平面 1、曲 线 方程():()()xtLytzt，切 线：000000()()()()()()xxyyzzttt，法平 面：000000()()()()()()0txxtyytzz 2、曲 线
19、 方 程():()yy xLzz x，切 线：000001()()xxyyzzy xz x，法 平 面：00000()()()()()0 xxyxyyzxzz 3、曲线方程(,)0:(,)0F x y zLG x y z，切向量 00,xyzxyzMMTF FFG GG，切线：000000 zxyzxyzxyzxyMMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG 四、曲面的切平面和法线 1(,)0F x y z、曲面方程：，法 向 量：0,xyzMnF F F，切 平面:000000000000 (,)()(,)()(,)()0 xyzFxyzxxFxyzyyF xyzzz,法 线：00000000
20、0000()()()(,)(,)(,)xxxyyzzFxyzFxyzFxyz 2、(,)zf x y曲面方程：，切平面0000(,)()(,xyfxyzxxfxyzyyzz，法线：0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy 五、方向导数：0000coscoscosxyzMMMMffffl 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 梯度：00grad,xyzMMufff 第八章：重积分 一、二重积分：2211()()()
21、()(,)(,)(,)(,)bxdxaxcxDDf x y df x y dxdydxf x y dydyf x y dx 21()()(cos,sin)(cos,sin)Dfd ddfd 二、重积分的应用：1、体积：21d d d(,)(,)d dxyDVx y zz x yz x yx y 2、曲面(,)zf x y：面积：221(,)(,)d dxyxyDSfx yfx yx y 3、质量：(,)dDMx y或,Mx y zdv（）第九章 无穷级数 一、常数项级数1nnu 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基
22、本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 011111-1/11111(1)0101nnnppnnqqqqPPPPnnPP 收、常用级数：等比级数 几何级数：发收绝对收敛级数：；交错 级数：收敛发条件收敛 1201/lim(lim)11nnnnnnnuSuuu、正项级数：基本定理：收敛部分和有上届比较审敛法：大收小收，小发大发比较审敛法的极限形式：同阶：同收同发；低阶：同收；高阶：同发，收敛比值 根值审敛法：，发散，失效-11111111131(0),lim0:nnnnnnnnnnnnnnnnnnu uuuSuruuuuuu、交错级数：（）莱布尼
23、茨审敛法：级数收敛，绝对收敛：收敛收敛，条件收敛收敛而发散，发散 14 lim lim0 /1lim(lim)11nnnnnnnnnnSSuuuu 、任意项级数：，收敛利用定义：部分和有极限；，发散利用收敛的必要条件：发散；利用正项级数（比值 根植）审敛法：，绝对收敛收敛，绝对值发散发散，失效 二、幂级数：00()nnnaxx 1、收敛半径：11/0lim(lim)00nnnnnnauRa ，2、常用等式：01(1)1nnxxx，1(1)1nnxxxx，01(1)(1)1nnnxxx 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的
24、应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 1ln(1)(11)nnxxxn ，11(1)ln(1)(11)nnnxxxn 12011(1)(1)(1)nnnnnxnxxx，2121011111ln(1)212121nnnnxxxxnnx 210arctan x=(1)(1)21nnnxxn 2021351211122420e1(,)!2!(1)sin(1)(,)(21)!3!5!(21)!cos(1)1(1)(,)(2)!2!4!(2)!ln(1)nnxnnnnnnnnnnnxxxxxnnxxxxxxxnnxxxxxxnnx ；231111
25、2(1)(1)(1,123(1)(2)(1)(1)1!(1)(1)(1)1(1,1)2!nnnnnnnnxxxxxxnnnxxnnxxxxn ；3、泰勒展开：(1)()1000001()()(),(),()(),(,)!(1)!lim()0nnnnnnnnnnff xaxxafxR xxxxxnnR x 第十章 微分方程:一、基本类型的一阶微分方程 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载()()()1:()(),()()2:()(
26、)()0 :()0 :()P x dxP x dxP x dxdydyf x g yf x dxdxg ydyP x yQ xdxQ xyeQ xyeQ x edxC、可分离变量方程分离变量，两边积分、一阶线性微分方程齐次 通解：，非齐次 通解：0003(,)d(,)d0(),.(1)(2)(,)(,)d(,)d.(3)uP x yu(x,y)=P(x,y)dx+c(y)xu(xuQ x yc(y)=Q-P(x,y)dx(y)xyyxxyxyP x yxQ x yyPQu x yCu x yP x yxQ x yyC、全微分方程:其中通解：（）、分项组合法；、特殊路径法：、偏积分法；(,)=(
27、,)=,y)=P(x,y)dx+(y)dy :二、可化为基本类型的一阶微分方程11221()(),a xb ydyydyyffudxxdxa xb yx（）齐次方程：或令 1112222()a xb ycdyfdxa xb yc（）准齐次方程：111112222211221111111112211200,()()d0().da xb ycabxXhh kabyYka xb yca XbYdYYfudXa Xb YXabk a xb ycyf a xb yua xb yabxa xb yc 若令，(由解得)，再令。若，令。(3)()dyf axbycuaxbycdx令。1(4)()()(0,1)
28、(1)()(1)()dydzP x yQ x yzyP x zQ xdxdy 伯努利方程：，令(,)5 (,)(,)0 (),yxdyP x yP x y dxQ x y dyPQdxQ x y（）其中（）正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 16/()()()(),xdxdxP y xQ yP y xQ y xzxdydy（）关于 的线性方程 伯努利方程：；令()()7(,)(,)0()1;21(1)()()()()1(2)(
29、)()()()1(3)(,)yxx dxyxy dyyxP x y dxQ x y dyPQu xPQxu xceQu yPQyu ycePu x yxPyQ（）其中求积分因子方法：、分项组合法：常用全微分公式、公式法：方程有形如的积分因子方程有形如的积分因子齐次方程的积分因子:三、可降阶的高阶微分方程 d1()nd2(,),(,)dd3(,),(,)ddnnyf xxyf x yypyppf x pppyf y yypyppf y pyy（）连续积分 次;（）令，则（）令，则 四、二阶常系数齐次线性微分方程 200ypyqyrprq 特征方程：121212122121221,21240,40
30、,()40,(cossin)r xr xr xxpqrryC eC epqrryCC x epqriyeCxCx 通解：通解：通解：四、二阶常系数非齐次线性微分方程 ()()()()yp yq yf xy xY xyx通解齐次通解非齐次特解 01()()()12xkxmmkf xe Pxyx Qx ekk不是特征根（）特解形式是特征单根是特征重根 (1)(2)2()()()cos()sin 0 ()cos()sin 1xlnxmmf xf xeP xxP xxiwkyxeRxxRxxiwk（）不是特征根特解形式是特征根正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连
31、续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 线性代数公式汇总 1、行列式 1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijijijijijijMAAM 4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21(1)n nDD；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则
32、(1)22(1)n nDD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)2(1)n n；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、(1)m nCAOAA BBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1(1)nnkn kkkEAS，其中kS为k阶主子式；7.证明0A 的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，
33、证明其有非零解；、利用秩，证明()r An；、证明 0 是其特征值；正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 2、矩阵 8.A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()r An（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax 有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为 0；TA A是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；9.对于n阶矩
34、阵A：*AAA AA E 无条件恒成立；10.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA 11.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；12.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：、12sAAAA；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAA CBOBOB；（拉普拉斯）正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲
35、率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载、11111AOAOCBB CAB；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组 13.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()r Ar BAB；14.行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0；15.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(,)(,)rA EE
36、X ，则A可逆，且1XA；、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B，即：1(,)(,)cA BE A B；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)rA bE x，则A可逆，且1xA b；16.初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；、对 调 两 行 或 两 列，符 号(,)E i j，且1(,)(,)EijEij，例 如：1111111；正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可
37、导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 、倍 乘 某 行 或 某 列，符 号()E i k，且11()()E i kE ik，例 如：1111(0)11kkk；、倍 加 某 行 或 某 列，符 号()E ij k,且1()()E ij kE ijk，如：11111(0)11kkk；17.矩阵秩的基本性质：、0()min(,)m nr Am n；、()()Tr Ar A；、若AB，则()()r Ar B；、若P、Q可逆，则()()()()r Ar PAr AQr PAQ；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max(),(
38、)(,)()()r A r Br A Br Ar B；（）、()()()r ABr Ar B；（）、()min(),()r ABr A r B；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（）、B的列向量全部是齐次方程组0AX 解（转置运算后的结论）；、()()r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵，则()()()r ABr Ar Bn；18.三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展开式；二项展开式：01110()nnnnmn mmnnnnmmn mnnnnnnmabC aC abC
39、 abCa bC bC a b ；注：、()nab展开后有1n 项；、0(1)(1)!11 2 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm、组合的性质：11110 2nmn mmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 19.伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An ；、伴随矩阵的特征值：*1*(,)AAA
40、XX AA AA XX ；、*1AA A、1*nAA 20.关于A矩阵秩的描述：、()r An，A中有n阶子式不为 0，1n 阶子式全部为 0；（两句话）、()r An，A中有n阶子式全部为 0；、()r An，A中有n阶子式不全为 0；21.线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；22.线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；23.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：、11112211
41、211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xa xaxbaxaxaxb ；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb （向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）、1212nnxxaaax （全部按列分块，其中12nbbb ）；、1122nna xa xa x（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性 24.m个n维 列 向 量 所 组 成 的 向 量 组A：12,m 构 成nm矩 阵正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续
42、不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 12(,)mA ；m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTm 构成mn矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25.、向量组的线性相关、无关 0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出 Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程）26.矩阵m nA与l nB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax 和0Bx 同解；(101P例 14)27.()()Tr A Ar A；(101P例 15)
43、28.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关 0；、,线性相关,坐标成比例或共线（平行）；、,线性相关,共面；29.线性相关与无关的两套定理：若12,s 线性相关，则121,ss 必线性相关；若12,s 线性无关，则121,s 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30.向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版74P定理 7)；向量组A能由向量组B线性表示，则
44、()()r Ar B；（86P定理 3）向量组A能由向量组B线性表示 AXB有解；()(,)r Ar A B（85P定理 2）向量组A能由向量组B等价()()(,)r Ar Br A B（85P定理 2 推论）31.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12lAP PP；正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx 同解、矩阵列等价：cABAQB（右乘，Q可逆）；、矩阵等
45、价：ABPAQB（P、Q可逆）；32.对于矩阵m nA与l nB：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax 与0Bx 同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；33.若m ss nm nABC，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）34.齐次方程组0Bx 的解一定是0ABx 的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；、0ABx 只有零解0Bx只有零解；、0Bx 有非零解0ABx 一定存在非零解；35.设向量组12:
46、,n rrBb bb可由向量组12:,n ssAa aa线性表示为：（110P题 19结论）1212(,)(,)rsb bba aaK（BAK）其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关()r Kr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(),(),()rr Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；36.、对矩阵m nA，存在n mQ，mAQE()r Am、Q的列向量线性无关；（87P）、对矩阵m nA，存在n mP，nPAE()r An、P的行向量线性无关；37.12,s 线性相关 存在一组不全为 0 的数12,sk kk，
47、使得11220sskkk 成立；（定义）正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 1212(,)0ssxxx 有非零解，即0Ax 有非零解；12(,)srs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；38.设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax 的解集S的秩为：()r Snr；39.若*为Axb的一个解，12,n r为0Ax 的一个基础解系，则*12,n r 线性无关；（111P题 33 结论）5、相似矩阵和二次型 40.正交矩阵T
48、A AE或1TAA（定义），性质：、A的 列 向 量 都 是 单 位 向 量，且 两 两 正 交，即1(,1,2,)0Tijija ai jnij；、若A为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；41.施密特正交化：12(,)ra aa 11ba；1222111,b ababb b 121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb;42.对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；43.、A与B等价 A经过初等变换得到B；
49、PAQB，P、Q可逆；()()r Ar B，A、B同型；、A与B合同 TC ACB，其中可逆；Tx Ax与Tx Bx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似 1PAPB；44.相似一定合同、合同未必相似；正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 若C为正交矩阵，则TC ACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；45.A为对称阵，则A为二次型矩阵；46.n元二次型Tx Ax为正定：A的正惯性指数为n；A与E合同，即存在可逆矩
50、阵C，使TC ACE；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于 0；0,0iiaA；(必要条件)概率论与数理统计公式汇总 第 1 章 随机事件及其概率 1 排列组合)!(!nmmPnm )!(!nmnmCnm 2关系运算 A(BC)=(AB)C A(BC)=(AB)C (AB)C=(AC)(BC)(A B)C=(AC)(BC)BABA，BABA 正切反双曲正切极限常用极限若则学习必备欢迎下载两个重要极限常用导右导连续不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用基本定理拉式点的曲率直线的曲率学习必备欢迎下载曲线在点处的曲率半径第四章学习必备 欢迎下载 3 几何概型（1）S 是直线上的某个线