《2022年考研日历高数公式大全 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年考研日历高数公式大全 .pdf（39页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载考研数学三公式汇总高等数学公式汇总第一章一元函数的极限与连续1、一些初等函数公式：sin()sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantancotcot1cot()cotcot()()shsh chch shchch chsh sh和差角公式：si nsi n2 si nco s22sinsin2cossin22coscos2coscos22coscos2sinsin22和差化积公式：1sincossin()sin()21cossinsin()sin()21coscoscos()cos()21sinsincos()cos()2积化和
2、差公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 39 页学习必备欢迎下载2222222222sin 22sincoscos22cos112sincossin2 tantan21tancot1cot 22cot2221221shsh chchshchchsh倍角公式：22222222sincos1;tan1sec;cot1csc;11cossin221coscos221cos1cossintan21cossin1cos1cos1cossincot21cossin1cosxxxx ch xsh x半角公式：22:ln(12:ln(1
3、)211:ln21xxxxxxxxeeshxarshxxxeechxarchxxxshxeexthxarthxchxeex双曲正弦；反双曲正弦）双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()ababaabb，222(1)(21)126n nnn22333(1)124nnn2、极限常用极限：1,lim0nnqq;1,lim1nnaa;lim1nnnln(1( )limln(1( )( )( )lim( )( )1/( )( )0,( ),lim1( )fxfxfxg xf x g xg xf xg xf xee若则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
4、- - - - - -第 2 页，共 39 页学习必备欢迎下载两个重要极限100sinsin1lim1,lim0;lim(1)lim(1)xxxxxxxxexxxx:常用等价无穷小2111cos; sin arcsin arctan ; 11;21 ln;1;(1)1;ln(1) nxxaxxxxxxxxnaxa exxaxxx3、连续：定义：000lim0;lim( )() xxxyf xf x0000lim( )lim( )()()xxxxf xf xf xf x极限存在或第二章导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()( )()()limlimlimtanxxxxf xxf
5、xf xf xyfxxxxx_0+0()()fxfx导数存在122220; (); (sin)cos ; (cos )sin; (tan)sec; (cot)csc;(sec )sectan ; (csc )csc; ()ln;();1111(log); (ln); (arcsin); (arccos );ln11aaxxxxaCxaxxxxxxxxxxxxxx ctgxaaaeexxxxxaxxx22222211(arctan); (cot); ();();111111(); (); ();()111xarcxshxhxchxshxxxthxarshxarchxarthxch xxxx2、高
6、阶导数：( )()( )( )!()()!; ()ln()()!nknknnxnxnxnxnxxxnaaaeenk( )()( )1111( 1)!1( 1)!1!(); (); ()()()nnnnnnnnnnnxxxaxaaxax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 39 页学习必备欢迎下载()( )(sin)sin(); (cos)cos();22nnnnkxkkxnkxkkxn( )1( )(1)1(1)!1(1)!ln()( 1)ln( )()( 1)()nnnnnnnnnaxxaxxx牛顿- 莱布尼兹公式：( )(
7、)( )0( )(1)(2)()()( )()(1)(1)(1)2!nnkn kknknnnn kknuvC uvn nn nnkuvnuvuvuvuvk3、微分：0()( )();=()( );yfxxf xdyoxdy fxxfx dx连续极限存在收敛有界 ;=可微可导左导右导连续；不连续不可导第三章微分中值定理与微分的应用1、基本定理( )( )( )(),( , )( )( )( ),( , )( )( )( )F( )f bf afbaa bf bf afa bF bF aFxx拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。2、( )200000000(1)
8、(1)0110000()(): ( )()()()()()( )2!() ):( ); (, ),(0,1)()( )()()(1)!(1)!nnnnnnnnnfxfxf xf xfxxxxxxxR xno xxR xxxfxxxfxxxxnn泰勒公式余项222232302221( )( ).(:MMs( )( )( )( )Mlim=.(1)( )( )10;.sdsydxx ty tdtdKMMsyttttdKsdsyttKRKR弧微分公式：平均曲率：从点到点，切线斜率的倾角变化量；:弧长 )点的曲率：直线的曲率：半径为的圆的曲率：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
9、总结 - - - - - - -第 4 页，共 39 页学习必备欢迎下载23(1)1=yMKy曲线在点处的曲率半径:第四章不定积分1、常用不定积分公式：( )( ); ( )( ); ( )( )f x dxF xCf x dxf xFx dxF xC11(1);ln;1;lnxxxxxx dxCdxxCxaa dxCe dxeCa2222sincos;cossin;tanln cos;cotln sin;secln sectan;cscln csccotln tanln csccot;2sectan;csccot;cossinsectxdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxdxxxCxxd
10、xxxCCxxCdxdxxdxxCxdxxCxxxansec;csccotcsc;xdxxCxxdxxCshxdxchxCchxdxshxC22222222222222arcsinarccos;arcsin;11arctanarccot;arctan;111ln;ln;22ln(); dxdxxx CxCCaxaxdxdxxx CxCCxaxaadxxadxaxCCxaaxaaxaaxdxxxaCxa222222222222ln();22arcsin22xaxa dxxaxxaCxaxax dxaxCa2、常用凑微分公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
11、- - - - -第 5 页，共 39 页学习必备欢迎下载222212;( );(ln);11( 1); (1)()1(ln tan );cos sindxdxdxdxddxxxxxxdxdxdxd xxxxdxdxxx3、有特殊技巧的积分2211(1)sincossin()dxdxaxbxxabsincos(2)lnsincossincoscxdxdxAxBaxbxCaxbx241(3)1xdxx2211()1()( 2)d xxxx第五章定积分1、基本概念00111( )lim()lim()( )( )( ) , ( )( )nnbbiiaaniiif x dxfxfF bF aF xFx
12、f xn n连续可积 ; 有界 +有限个间断点可积 ;可积有界 ; 连续原函数存在( )( )( )( )xaxf t dtxfx( )( )( )( )( )( )( )xxdf t dtfxxfxxdx( )( ( )( )abf x dxftt dt，( )( )( ) ( )( )( )aabbu x dv xu x v xv x du x2、常用定积分公式：0( )( )()aaafx dxf xfx dx；0( ),( )2( )aaaf xfx dxf x dx为偶函数；( ),( )0aaf xf x dx为奇函数2200(sin )(cos )fx dxfx dx；22200
13、0(sin)(sin)(sin)2xfx dxfx dxfx dxTTT2T02( )( )( )aaf x dxf x dxf x dx；TT0( )( )anaf x dxnf x dx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 39 页学习必备欢迎下载Wallis公式：222001 331,12 2 42sincos2 431,3 52nnnnnnnnnnIxdxxdxInnnnnn为正偶数为正奇数无穷限积分：+b+b-bb+-( )lim( )(+)( );( )lim( )(-)( );( )lim( )lim( )(+)
14、()aabbaaaabaf x dxfx dxFF afx dxf x dxFF af x dxf x dxf x dxFF瑕积分：( )lim( )( )lim( );( )lim( )lim( )( );( )( )( )bbattatabtaatbtbbcbaacf x dxf x dxF bF tf x dxf x dxF tF af x dxf x dxf x dx+1,1,1padx ppx收敛发散；11,01,1padxppx收敛发散10( )(1)!xnne xdxn,(1)( )!; (1)1;nnnn201( )22xedx第六章定积分应用1、平面图形的面积：直角坐标情形：
15、( )baAf x dx；( )( )baAf xg x dx；( )( )dcAyy dy参数方程情形：( )( )( )( );();()At dttt dtab极坐标情形：21( )2Ad2、空间立体的体积：由截面面积：( )baVA x dx旋转体： 绕 x 轴旋转：222( );( )( )()2( );2( )( )()bbaaddccVfx dx Vfxgx dx xVyy dy Vyyy dy y为积分变量为积分变量精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 39 页学习必备欢迎下载绕 y 轴旋转：222( )2(
16、)( );()( )( )()bbaadcVx f x dxx f xg x dxxVyy dy y为积分变量为积分变量3、平面曲线的弧长：22222( )( )1( )( )( )bastt dtfx dxd总结求极限方法：1、 极限定义； 2、函数的连续性； 3、极限存在的充要条件； 4、两个准则；5、两个重要极限； 6、等价无穷小； 7、导数定义； 8 利用微分中值定理；9、洛必达法则； 10、麦克劳林公式展开；求导法：1、导数的定义（求极限） ；2、导数存在的充要条件； 3、基本求导公式；4、导数四则运算及反函数求导；5、复合函数求导； 6、参数方程确定的函数求导；7、隐函数求导法；
17、8、高阶导数求导法（莱布尼茨公式/常用的高阶导数）；等式与不等式的证明：1、利用微粉中值定理； 2、利用泰勒公式展开； 3、函数的单调性；4、最大最小值； 5、曲线的凸凹性第七章多元函数微分法及其应用一、定义：00000(,)000(,)0(, )( , )lim( ,)(,)( , )xyxxxyxxxff xx yf x ydf x yfxyfx yxxdx二、 微分：0( ,)( , )lim0 xyzfx yxfx yy可微，偏导连续可微连续 +偏导存在，全微分：( ,)( ,)xydzfx y dxfx y dy三、隐函数求导 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
18、师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 39 页学习必备欢迎下载ood1,0( ).d2, ,0( , ) ,xyyxzzFyF x yyf xxFF x y zzf x yFFzzxFyF（）且（）且四、曲线的切线和法平面1、 曲 线 方 程( ):( )( )xtLytzt， 切 线 ：000000()()()()()()xxyyzzttt，法 平 面 ：000000() ()() ()()()0txxtyytzz2 、 曲 线 方 程( ):( )yy xLzz x， 切 线 ：000001()()xxyyzzy xz x，法 平 面 ：00000()() ()() ()0
19、 xxyxyyzxzz3、曲线方程( , , )0:( , , )0F x y zLG x y z，切向量00,xyzxyzMMTFFFGGG，切线：000000zxyzxyzxyzxyMMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG四、曲面的切平面和法线1( , , )0F x y z、曲面方程：，法向量：0,xyzMnFFF，切平面 :000000000000(,)()(,)()(,)()0 xyzFxyzxxFxyzyyFxyzzz, 法 线 ：000000000000()()()(,)(,)(,)xxxyyzzFxyzFxyzFxyz2、( ,)zf x y曲面方程：，切平面0000(,)(
20、)(,xyfxyzxxfxyzyyzz，法线：0000000(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy五、方向导数：0000coscoscosxyzMMMMffffl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 39 页学习必备欢迎下载梯度：00grad,xyzMMufff第八章：重积分一、 二重积分：2211( )( )( )( )( , )( , )( , )( , )bxdxaxcxDDf x y df x y dxdydxf x y dydyf x y dx21( )( )(cos ,sin)(cos ,sin)Dfdddfd
21、二、重积分的应用：1、体积：21d d d( , ) ( , )d dxyDVx y zzx yz x yx y2、曲面( ,)zfx y：面积：221( , )( , )d dxyxyDSfx yfx yx y3、质量：( , )dDMx y或, ,Mx y zdv（）第九章 无穷级数一、常数项级数1nnu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 39 页学习必备欢迎下载011111-1/11111( 1)0101nnnppnnqqqqPPPPnnPP收、常用级数：等比级数几何级数：发收绝对收敛级数：；交错级数：收敛发条件收敛
22、1201/lim(lim)11nnnnnnnuSuuu、正项级数：基本定理：收敛部分和有上届比较审敛法：大收小收，小发大发比较审敛法的极限形式：同阶：同收同发；低阶：同收；高阶：同发，收敛比值 根值审敛法：，发散，失效-11111111131(0),lim0:nnnnnnnnnnnnnnnnnnuuuuSuruuuuuu、交错级数：（）莱布尼茨审敛法：级数收敛，绝对收敛：收敛收敛，条件收敛收敛而发散，发散14?lim?lim0?/1lim(lim)11nnnnnnnnnnSSuuuu、任意项级数：，收敛利用定义：部分和有极限；，发散利用收敛的必要条件：发散；利用正项级数（比值根植）审敛法：，绝
23、对收敛收敛，绝对值发散发散，失效二、幂级数：00()nnnaxx1、收敛半径：11/ 0lim(lim)00nnnnnnauRa，2、常用等式：01(1)1nnxxx，1(1)1nnxxxx，01( 1)(1)1nnnxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 39 页学习必备欢迎下载1ln(1) (11)nnxxxn，11( 1)ln(1) (11)nnnxxxn12011(1) (1)(1)nnnnnxnxxx，2121011111ln (1)212121nnnnxxxxnnx210arctan x=( 1)(1)21n
24、nnxxn2021351211122420e1(,)!2!( 1)sin( 1)(,)(21)!3!5!(21)!cos( 1)1( 1)(,)(2 )!2!4!(2 )!ln(1)nnxnnnnnnnnnnnxxxxxnnxxxxxxxnnxxxxxxnnx；2311112( 1)( 1)( 1, 123(1)(2) (1)(1)1!(1)(1) (1)1( 1, 1)2!nnnnnnnnxxxxxxnnnxxnnxxxxn；3、泰勒展开：(1)( )1000001( )( )() ,(),( )(),(, )!(1)!lim( )0nnnnnnnnnnff xaxxafxRxxxxxnnR
25、x第十章微分方程: 一、基本类型的一阶微分方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 39 页学习必备欢迎下载()( )( )1:( ) ( ) ,( ) ( )2:( )( )( )0 :( )0 :( )P x dxP x dxP x dxdydyf x g yfx dxdxg ydyP x yQ xdxQ xyeQ xyeQ x edxC、可分离变量方程分离变量，两边积分、一阶线性微分方程齐次通解：，非齐次通解：0003( , )d( , )d0(),. (1)(2)( , )( ,)d( , )d. (3)uP x y
26、u(x,y)=P(x,y)dx +c(y)xu(xuQ x yc (y)=Q-P(x,y)dx (y)xyyxxyxyP x yxQ x yyPQu x yCu x yP x yxQ x yyC、全微分方程:其中通解：（）、分项组合法；、特殊路径法：、偏积分法；(,)=(,)=,y)=P(x,y)dx +(y)dy : 二、可化为基本类型的一阶微分方程11221()(),a xb ydyydyyffudxxdxa xb yx（）齐次方程：或令1112222()a xb ycdyfdxa xb yc（ ）准齐次方程：111112222211221111111112211200,()()d0().
27、da xb ycabxXhh kabyYka xb yca XbYdYYfudXa Xb YXabk a xb ycyf a xb yua xb yabxa xb yc若令，(由解得)，再令。若，令。(3)() dyf axbycuaxbycdx令。1(4)( )( )(0,1)(1)( )(1)( )dydzP x yQ x yzyP x zQ xdxdy伯努利方程：，令( , )5( , )( , )0 (),yxdyP x yP x y dxQ x y dyPQdxQ x y（ ）其中（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13
28、页，共 39 页学习必备欢迎下载16/( )( )( )( ),xdxdxP y xQ yP y xQ y xzxdydy（ ）关于 的线性方程伯努利方程：；令( )()7( , )( , )0 ()1;21(1)( )()( )( )1(2)( )()( )( )1(3)( , )yxx dxyxy dyyxP x y dxQ x y dyPQu xPQxu xceQu yPQyu ycePu x yxPyQ（ ）其中求积分因子方法：、分项组合法：常用全微分公式、公式法：方程有形如的积分因子方程有形如的积分因子齐次方程的积分因子: 三、可降阶的高阶微分方程d1( ) nd2( ,),( ,)
29、 dd3( ,) ,( ,) ddnnyf xxyf x yypyppf x pppyfy yypyppf y pyy（ ）连续积分次;（ ）令，则（ ）令，则四、二阶常系数齐次线性微分方程200ypyqyrprq特征方程：121212122121221,21240,40,()40,(cossin)r xr xr xxpqrryC eC epqrryCC x epqriyeCxCx通解：通解：通解：四、二阶常系数非齐次线性微分方程( ) ( )( )( ) yp yq yfxy xY xyx通解齐次通解非齐次特解01( ) ( ) ( )12xkxmmkf xe Pxyx Qx ekk不是特征
30、根（）特解形式是特征单根是特征重根(1)(2)2( ) ( ) ( )cos( )sin0( )cos( )sin1xlnxmmf xf xeP xxPxxiwkyxeRxxRxxiwk（ ）不是特征根特解形式是特征根精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 39 页学习必备欢迎下载线性代数公式汇总1、行列式1.n行列式共有2n个元素，展开后有!n项，可分解为2n行列式；2.代数余子式的性质：、ijA和ija的大小无关；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；
31、3.代数余子式和余子式的关系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM4.设n行列式D：将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为1D，则(1)21( 1)n nDD；将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为2D，则(1)22( 1)n nDD；将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为3D，则3DD；将D主副角线翻转后，所得行列式为4D，则4DD；5.行列式的重要公式：、主对角行列式：主对角元素的乘积；、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n；、上、下三角行列式（）：主对角元素的乘积；、和：副对角元素的乘积(1)2( 1)n n；、拉普拉斯展开式：AOACA BCBOB、(
32、1)m nCAOAA BBOBC、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；、特征值；6.对于n阶行列式A，恒有：1( 1)nnkn kkkEAS，其中kS为k阶主子式；7.证明0A的方法：、AA；、反证法；、构造齐次方程组0Ax，证明其有非零解；、利用秩，证明()r An；、证明 0 是其特征值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 39 页学习必备欢迎下载2、矩阵8.A是n阶可逆矩阵：0A（是非奇异矩阵）；()r An（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组0Ax有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A
33、可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TA A是正定矩阵；A的行（列）向量组是nR的一组基；A是nR中某两组基的过渡矩阵；9.对于n阶矩阵A：*AAA AA E无条件恒 成立；10.1*111*()()()()()()TTTTAAAAAA*111()()()TTTABB AABB AABBA11. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；12. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：若12sAAAA，则：、12sAAAA；、111121sAAAA；、111AOAOOBOB；（主对角分块）、111OAOBBOAO；（副对角分块）、11111ACAA CBOB
34、OB；（拉普拉斯）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 39 页学习必备欢迎下载、11111AOAOCBBCAB；（拉普拉斯）3、矩阵的初等变换与线性方程组13. 一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：rm nEOFOO；等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若()()r Ar BAB；14. 行最简形矩阵：、只能通过初等行变换获得；、每行首个非 0 元素必须为 1；、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为0；15. 初等行变
35、换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、若(,)(,)rA EEX，则A可逆，且1XA；、对矩阵(,)A B做初等行变化，当A变为E时，B就变成1A B，即：1(,)(,)cA BE AB；、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(, )(,)rA bE x，则A可逆，且1xA b；16. 初等矩阵和对角矩阵的概念：、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；、12n，左乘矩阵A，i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素； 、 对 调 两 行 或 两 列 ， 符 号( , )E i j， 且1(,)(,)EijEij， 例 如 ：1
36、111111；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 39 页学习必备欢迎下载 、 倍 乘 某 行 或 某 列 ， 符 号( ( )E i k， 且11( () )( () )Ei kEik， 例 如 ：1111(0 )11kkk； 、 倍 加 某 行 或 某 列 ， 符 号( ( )E ij k, 且1( )( ()E ij kE ijk， 如 ：11111(0)11kkk；17. 矩阵秩的基本性质：、0()min(, )m nr Am n；、()()Tr Ar A；、若AB，则()()r Ar B；、若P、Q可逆，则()(
37、)()()r Ar PAr AQr PAQ；（ 可逆矩阵不影响矩阵的秩）、max( (), ()(,)()()r A r Br A Br Ar B；（）、()()()r ABr Ar B；（）、()min( (), ()r ABr Ar B；（）、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且0AB，则：（）、B的列向量全部是齐次方程组0AX解（转置运算后的结论）；、()()r Ar Bn、若A、B均为n阶方阵 ，则()()()r ABr Ar Bn；18. 三种特殊矩阵的方幂：、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量） 的形式，再采用结合律；、型如101001acb的矩阵：利用二项展
38、开式；二项展开式：01110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabC aC abC abCa bC bC a b；注：、()nab展开后有1n项；、0(1)(1)!112 3!()!mnnnnn nnmnCCCmm nm、 组合的性质：111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC；、利用特征值和相似对角化：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 39 页学习必备欢迎下载19. 伴随矩阵：、伴随矩阵的秩：*()()1()10()1nr Anr Ar Anr An；、伴随矩阵的特征值：*
39、1*(,)AAAXX AA AA XX；、*1AA A、1*nAA20. 关于A矩阵秩的描述：、()r An，A中有n阶子式不为 0，1n阶子式全部为 0；（两句话）、()r An，A中有n阶子式全部为 0；、()r An，A中有n阶子式不全为 0；21. 线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则：、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程；、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；22. 线性方程组Axb的求解：、对增广矩阵B进行初等行变换（ 只能使用初等行变换 ）；、齐次解为对应齐次方程组的解；、特解：自由变量赋初值后求得；23. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方
40、程：、11112211211222221122nnnnmmnmnna xa xa xba xaxaxbaxaxaxb；、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）、1212nnxxaaax（全部按列分块，其中12nbbb）；、1122nna xa xa x（线性表出）、有解的充要条件：()(,)r Ar An（n为未知数的个数或维数）4、向量组的线性相关性24.m个n维 列 向 量 所 组 成 的 向 量 组A：12,m构 成nm矩 阵精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
41、 - - - - -第 19 页，共 39 页学习必备欢迎下载12(,)mA；m个n维行向量所组成的向量组B：12,TTTm构成mn矩阵12TTTmB；含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；25. 、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组）、向量的线性表出Axb是否有解；（线性方程组）、向量组的相互线性表示AXB是否有解；（矩阵方程）26. 矩阵m nA与lnB行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组0Ax和0Bx同解； (101P例 14) 27.()()Tr A Ar A；(101P例 15) 28.n维向量线性相关的几何意义：、线性相关0；、,线性相关,坐标成比例
42、或共线（平行）；、,线性相关,共面；29. 线性相关与无关的两套定理：若12,s线性相关，则121,ss必线性相关；若12,s线性无关，则121,s必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：若A线性无关，则B也线性无关； 反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；30. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版74P定理 7)；向量组A能由向量组B线性表示，则()()r Ar B；（86P定理 3）向量组A能由向量组B线性表示AXB有
43、解；()(,)r Ar A B（85P定理 2）向量组A能由向量组B等价()()(,)r Ar Br A B（85P定理 2 推论）31. 方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,lP PP，使12lAP PP；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 39 页学习必备欢迎下载、矩阵行等价：rABPAB（左乘，P可逆）0Ax与0Bx同解、矩阵列等价：cABAQB（右乘，Q可逆）；、矩阵等价：ABPAQB（P、Q可逆）；32. 对于矩阵m nA与lnB：、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；、若A与B行等价，则0Ax与0Bx同解，且A与
44、B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；、矩阵A的行秩等于列秩；33. 若mss nmnABC，则：、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，TA为系数矩阵；（转置）34. 齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解， 考试中可以直接作为定理使用，而无需证明 ；、0ABx只有零解0Bx只有零解；、0Bx有非零解0ABx一定存在非零解；35. 设向量组12:,n rrBb bb可由向量组12:,n ssAa aa线性表示为：（110P题 19结论）1212(,)(,)rsb bba aaK（BAK）其中K为sr，
45、且A线性无关，则B组线性无关()r Kr；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）（必要性：()()(), (),()rr Br AKr Kr Krr Kr；充分性：反证法）注：当rs时，K为方阵，可当作定理使用；36. 、对矩阵m nA，存在n mQ，mAQE()r Am、Q的列向量线性无关；（87P）、对矩阵m nA，存在n mP，nPAE()r An、P的行向量线性无关；37.12,s线性相关存在一组不全为0 的数12,sk kk，使得11220sskkk成立；（定义）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 39 页学习必
46、备欢迎下载1212(,)0ssxxx有非零解，即0Ax有非零解；12(,)srs，系数矩阵的秩小于未知数的个数；38. 设mn的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组0Ax的解集S的秩为：()r Snr；39. 若*为Axb的一个解，12,nr为0Ax的一个基础解系，则*12,nr线性无关；（111P题 33 结论）5、相似矩阵和二次型40. 正交矩阵TA AE或1TAA（定义），性质： 、A的 列 向 量 都 是 单 位 向 量 ， 且 两 两 正 交 ， 即1( ,1,2,)0Tijija ai jnij；、若A为正交矩阵，则1TAA也为正交阵，且1A；、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；注
47、意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化 和单位化 ；41. 施密特正交化：12(,)ra aa11ba；1222111,b ababb b121121112211,rrrrrrrrrb ab abababbbb bb bbb; 42. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；对于实对称阵 ，不同特征值对应的特征向量正交；43. 、A与B等价A经过初等变换得到B；PAQB，P、Q可逆；()()r Ar B，A、B同型；、A与B合同TC ACB，其中可逆；Tx Ax与Tx Bx有相同的正、负惯性指数；、A与B相似1PAPB；44. 相似一定合同、合同未必相似；精选学习资料 - - - -
48、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 39 页学习必备欢迎下载若C为正交矩阵，则TC ACBAB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；45.A为对称阵，则A为二次型矩阵；46.n元二次型Tx Ax为正定：A的正惯性指数为n；A与E合同，即存在可逆矩阵C，使TC ACE；A的所有特征值均为正数；A的各阶顺序主子式均大于0；0,0iiaA；(必要条件 ) 概率论与数理统计公式汇总第 1 章随机事件及其概率1 排列组合)!(!nmmPnm)!(!nmnmCnm2关系运算A(BC)=(AB)C A (BC)=(A B) C (AB) C=(AC)(B
49、C) (A B) C=(AC)(BC) BABA，BABA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 39 页学习必备欢迎下载3 几何概型（1）S是直线上的某个线段, 长度为l(S),A是 S的一个子集， 则落在 A中的概率为： P(A)=l(A)/l(S) 。（2）S是平面上的某个区域, 面积为u(S), 则落在 A中的概率为：P(A)=u(A)/u(S) 。（3）S是空间上的某个立体, 体积为v(S), 则落在 A中的概率为：P(A)=v(A)/v(S) 。甲乙两人相约在7 点到 8 点之间在某地会面，先到者等候另一人20 分
50、钟，过时就离开。如果每个人可在指定的任一小时内任意时刻到达，试计算二人能够会面的概率。解：4 加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)0 时， P(A+B)=P(A)+P(B) 5 减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 BA时， P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=时， P(B)=1- P(B) 6 条件概率事件 B在事件 A发生条件下发生的条件概率为)/(ABP)()(APABP。7 乘法公式)/()()(ABPAPABPP(ABC) P(A)P(B|A)P(C|AB) P(AB)0 8 独立性两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPA