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1、学习必备 欢迎下载 第十七章 反比例函数 1711 反比例函数的意义 一、教学目标 1使学生理解并掌握反比例函数的概念 2能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 二、重、难点 1重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 2难点：理解反比例函数的概念 3难点的突破方法：（1）在引入反比例函数的概念时，可适当复习一下第 11 章的正比例函数、一次函数等相关知识，这样以旧带新，相互对比，能加深对反比例函数概念的理解（2）注意引导学生对反比例函数概念的理解，看形式xky，等号左边是函数 y，
2、等号右边是一个分式，自变量 x 在分母上，且 x 的指数是 1，分子是不为 0 的常数 k；看自变量 x 的取值范围，由于 x 在分母上，故取 x0 的一切实数；看函数 y 的取值范围，因为 k0，且 x0，所以函数值 y 也不可能为 0。讲解时可对照正比例函数 ykx（k0），比较二者解析式的相同点和不同点。（3）xky（k0）还可以写成1kxy（k0）或 xyk（k0）的形式 三、课堂引入 1回忆一下什么是正比例函数、一次函数？它们的一般形式是怎样的？2体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？四、例习题分析 例 1见教材 P47 分析：因为 y 是 x 的反比例函
3、数，所以先设xky，再把 x2 和 y6 代入上式求出常数 k，即利用了待定系数法确定函数解析式。例 1（补充）下列等式中，哪些是反比例函数（1）3xy （2）xy2 （3）xy21 （4）25xy （5）xy23（6）31xy （7）yx4 分析：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成xky（k 为常数，k0）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含 x，（6）改写后是xxy31，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式 例 2（补充）当 m 取什么值时，函数23)2(mxmy是反比例函数？分析：反比例函数xky（k0）的另一种表达式是1kxy（k0
4、），后一种写法学习必备 欢迎下载 中 x 的次数是1，因此 m 的取值必须满足两个条件，即 m20 且 3m21，特别注意不要遗漏 k0 这一条件，也要防止出现 3m21 的错误。解得 m2 例 3（补充）已知函数 yy1y2，y1与 x 成正比例，y2与 x 成反比例，且当 x1 时，y4；当 x2 时，y5（1）求 y 与 x 的函数关系式（2）当 x2 时，求函数 y 的值 分析：此题函数 y 是由 y1和 y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出 y1、y2与 x 的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意 y1与 x 和 y2与 x
5、的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为 k，要用不同的字母表示。略解：设 y1k1x（k10），xky22（k20），则xkxky21，代入数值求得 k12，k22，则xxy22，当 x2 时，y5 五、随堂练习 1苹果每千克 x 元，花 10 元钱可买 y 千克的苹果，则 y 与 x 之间的函数关系式为 2若函数28)3(mxmy是反比例函数，则 m 的取值是 3矩形的面积为 4，一条边的长为 x，另一条边的长为 y，则 y 与 x 的函数解析式为 4 已知y与x 成反比例，且当x2时，y3，则y与x 之间的函数关系式是 ，当 x3 时，y 5函数21xy中自变量 x 的取值范围是
6、六、课后练习 已知函数 yy1y2，y1与 x1 成正比例，y2与 x 成反比例，且当 x1 时，y0；当 x4 时，y9，求当 x1 时 y 的值 答案：y4 1712 反比例函数的图象和性质（1）一、教学目标 1会用描点法画反比例函数的图象 2结合图象分析并掌握反比例函数的性质 3体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法 二、重点、难点 1重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质 2难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质 3难点的突破方法：式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围
7、因为且所以函数值也不可能为讲解时可对照正比例函数比较二者解学习必备 欢迎下载 画反比例函数图象前，应先让学生回忆一下画函数图象的基本步骤，即：列表、描点、连线，其中列表取值很关键。反比例函数xky（k0）自变量的取值范围是 x0，所以取值时应对称式地选取正数和负数各一半，并且互为相反数，通常取的数值越多，画出的图象越精确。连线时要告诉学生用平滑的曲线连接，不能用折线连接。教学时，老师要带着学生一起画，注意引导，及时纠错。在探究反比例函数的性质时，可结合正比例函数 ykx（k0）的图象和性质，来帮助学生观察、分析及归纳，通过对比，能使学生更好地理解和掌握所学的内容。这里要强调一下，反比例函数的图
8、象位置和增减性是由反比例系数 k 的符号决定的；反之，双曲线的位置和函数性质也能推出 k 的符号，注意让学生体会数形结合的思想方法。四、课堂引入 提出问题：1一次函数 ykxb（k、b 是常数，k0）的图象是什么？其性质有哪些？正比例函数 ykx（k0）呢？2画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？3反比例函数的图象是什么样呢?五、例习题分析 例 2见教材 P48，用描点法画图，注意强调：（1）列表取值时，x0，因为 x0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求 y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚
9、，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于 x0，k0，所以 y0，函数图象永远不会与 x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴 例 1（补充）已知反比例函数32)1(mxmy的图象在第二、四象限，求 m 值，并指出在每个象限内 y 随 x 的变化情况？分析：此题要考虑两个方面，一是反比例函数的定义，即1kxy（k0）自变量 x的指数是1，二是根据反比例函数的性质：当图象位于第二、四象限时，k0，则 m10，不要忽视这个条件 略解：32)1(mxmy是反比例函数 m231，且 m10 又图
10、象在第二、四象限 m10 解得2m且 m1 则2m 例 2（补充）如图，过反比例函数xy1（x0）的图象上任意两点 A、B 分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 C、D，连接 OA、OB，设AOC 和BOD 的面积分别是 S1、S2，比较它们的大小，可得（）（A）S1S2 （B）S1S2 式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围因为且所以函数值也不可能为讲解时可对照正比例函数比较二者解学习必备 欢迎下载 （C）S1S2 （D）大小关系不能确定 分析：从反比例函数xky（k0）的图象上任一点 P（x，y）向 x
11、轴、y 轴作垂线段，与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积kxyS，由此可得 S1S2 21，故选 B 五、随堂练习 1已知反比例函数xky3，分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随 x 的增大而增大 2函数 yaxa 与xay（a0）在同一坐标系中的图象可能是（）3在平面直角坐标系内，过反比例函数xky（k0）的图象上的一点分别作 x 轴、y 轴的垂线段，与 x 轴、y 轴所围成的矩形面积是 6，则函数解析式为 七、课后练习 1若函数xmy)12(与xmy3的图象交于第一、三象限，则 m 的取值范围是 2 反比例函数xy2，当 x2 时，
12、y ；当 x2 时；y 的取值范围是 ；当 x2 时；y 的取值范围是 3 已知反比例函数yaxa()226，当x 0时，y 随 x 的增大而增大，求函数关系式 答案：3xya25,5 1712 反比例函数的图象和性质（2）一、教学目标 1使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围因为且所以函数值也不可能为讲解时可对照正比例函数比较二者解学习必备 欢迎下载 3深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转
13、化的思想方法 二、重点、难点 1重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它们解决一些综合问题 2难点：学会从图象上分析、解决问题 3难点的突破方法：在前一节的基础上，可适当增加一些较综合的题目，帮助学生熟练掌握反比例函数的图象和性质，要让学生学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，以便更好的理解数形结合的思想，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题。三、课堂引入 复习上节课所学的内容 1什么是反比例函数？2反比例函数的图象是什么？有什么性质？四、例习题分析 例 3见教材 P51 分析：反比例函数xky 的图象位置及 y 随 x 的变化情况取决于常数
14、k 的符号，因此要先求常数 k，而题中已知图象经过点 A（2，6），即表明把 A 点坐标代入解析式成立，所以用待定系数法能求出 k，这样解析式也就确定了。例 4见教材 P52 例 1（补充）若点 A（2，a）、B（1，b）、C（3，c）在反比例函数xky（k0）图象上，则 a、b、c 的大小关系怎样？分析：由 k0 可知，双曲线位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随 x 的增大而增大，因为 A、B 在第二象限，且12，故 ba0；又 C 在第四象限，则 c0，所以 ba0c 说明：由于双曲线的两个分支在两个不同的象限内，因此函数 y 随 x 的增减性就不能连续的看，一定要强调“在每一象限内”
15、，否则，笼统说 k0 时 y 随 x 的增大而增大，就会误认为 3 最大，则 c 最大，出现错误。此题还可以画草图，比较 a、b、c 的大小，利用图象直观易懂，不易出错，应学会使用。例 2（补充）如图，一次函数 ykxb 的图象与反比例函数xmy 的图象交于A（2，1）、B（1，n）两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 分析：因为 A 点在反比例函数的图象上，可先求出反比例函数的解析式xy2，又 B 点在反比例函数的图象上，代入即可求出n 的值，最后再由 A、B 两点坐标求出一次函数解析式 yx1，第（2）问根据图象可得 x
16、 的取值范围 x2 或 0 x1，这是因为比较两个不同函数的值的大小时，就是看这两个函数图象哪个在上方，哪个在下方。五、随堂练习 式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围因为且所以函数值也不可能为讲解时可对照正比例函数比较二者解学习必备 欢迎下载 1若直线 ykxb 经过第一、二、四象限，则函数xkby 的图象在（）（A）第一、三象限 （B）第二、四象限 （C）第三、四象限 （D）第一、二象限 2已知点（1，y1）、（2，y2）、（，y3）在双曲线xky12上，则下列关系式正确的是（）（A）y1y2y3 （
17、B）y1y3y2 （C）y2y1y3 （D）y3y1y2 六、课后练习 1 已知反比例函数xky12 的图象在每个象限内函数值 y 随自变量 x 的增大而减小，且 k 的值还满足)12(29k2k1，若 k 为整数，求反比例函数的解析式 2已知一次函数bkxy的图像与反比例函数xy8的图像交于 A、B 两点，且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是2，求（1）一次函数的解析式；（2）AOB 的面积 答案：1xy1或xy3或xy5 2（1）yx2，（2）面积为 6 172 实际问题与反比例函数（1）一、教学目标 1利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决
18、问题的能力 二、重点、难点 1重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式 3难点的突破方法：用函数观点解实际问题，一要搞清题目中的基本数量关系，将实际问题抽象成数学问题，看看各变量间应满足什么样的关系式（包括已学过的基本公式），这一步很重要；二是要分清自变量和函数，以便写出正确的函数关系式，并注意自变量的取值范围；三要熟练掌握反比例函数的意义、图象和性质，特别是图象，要做到数形结合，这样有利于分析和解决问题。教学中要让学生领会这一解决实际问题的基本思路。三、课堂引入 寒假到了，小明正与几个同伴在结冰的河面上溜冰，突然发现前面有一处冰出现了
19、裂痕，小明立即告诉同伴分散趴在冰面上，匍匐离开了危险区。你能解释一下小明这样做的道理式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围因为且所以函数值也不可能为讲解时可对照正比例函数比较二者解学习必备 欢迎下载 吗？四、例习题分析 例 1见教材第 57 页 分析：（1）问首先要弄清此题中各数量间的关系，容积为 104，底面积是 S，深度为 d，满足基本公式：圆柱的体积 底面积高，由题意知 S 是函数，d 是自变量，改写后所得的函数关系式是反比例函数的形式，（2）问实际上是已知函数 S 的值，求自变量 d 的取值，（3
20、）问则是与（2）相反 例 2见教材第 58 页 分析：此题类似应用题中的“工程问题”，关系式为工作总量工作速度工作时间，由于题目中货物总量是不变的，两个变量分别是速度 v 和时间 t，因此具有反比关系，（2）问涉及了反比例函数的增减性，即当自变量 t 取最大值时，函数值 v 取最小值是多少？例 1（补充）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 P（千帕）是气体体积 V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示（千帕是一种压强单位）（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是 0.8 立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于 144 千帕时，气球将爆炸，为
21、了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？分析：题中已知变量 P 与 V 是反比例函数关系，并且图象经过点 A，利用待定系数法可以求出 P 与 V 的解析式，得VP96，（3）问中当 P 大于 144 千帕时，气球会爆炸，即当 P 不超过 144 千帕时，是安全范围。根据反比例函数的图象和性质，P 随 V 的增大而减小，可先求出气压 P144 千帕时所对应的气体体积，再分析出最后结果是不小于32立方米 五、随堂练习 1京沈高速公路全长 658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的函数关系式为 2 完成某项任务可获得 500
22、 元报酬，考虑由 x 人完成这项任务，试写出人均报酬 y（元）与人数 x（人）之间的函数关系式 3一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积 V（m3）的反比例函数，当 V10 时，1.43，（1）求与 V的函数关系式；（2）求当 V2 时氧气的密度 答案：V3.14，当 V2 时，7.15 六、课后练习 1小林家离工作单位的距离为 3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v（米/分），所需时间为 t（分）（1）则速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？（2）若小林到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？（2）如果小林骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟
23、到达单位？式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围因为且所以函数值也不可能为讲解时可对照正比例函数比较二者解学习必备 欢迎下载 答案：tv3600，v240，t12 2学校锅炉旁建有一个储煤库，开学初购进一批煤，现在知道：按每天用煤 0.6 吨计算，一学期（按 150 天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为 x 吨，那么这批煤能维持 y 天（1）则 y 与 x 之间有怎样的函数关系？（2）画函数图象（3）若每天节约 0.1 吨，则这批煤能维持多少天？172 实际问题与反比例函数（2）一、教学目标 1利用反比例函
24、数的知识分析、解决实际问题 2渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型 二、重点、难点 1重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题 2难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题 3难点的突破方法：本节的两个例题与学生的日常生活联系紧密，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，不但能巩固所学的知识，还能提高学生学习数学的兴趣。本节的教学，要引导学生从已有的生活经验出发，按照上一节所讲的基本思路去分析、解决实际问题，注意体会数形结合及转化的思想方法，要告诉学生充分利用函数图象的直观性，这对分析和解决实际问题
25、很有帮助。三、课堂引入 1小明家新买了几桶墙面漆，准备重新粉刷墙壁，请问如何打开这些未开封的墙面漆桶呢？其原理是什么？2台灯的亮度、电风扇的转速都可以调节，你能说出其中的道理吗？四、例习题分析 例 3见教材第 58 页 分析：题中已知阻力与阻力臂不变，即阻力与阻力臂的积为定值，由“杠杆定律”知变量动力与动力臂成反比关系，写出函数关系式，得到函数动力 F 是自变量动力臂l的反比例函数，当l1.5 时，代入解析式中求 F 的值；（2）问要利用反比例函数的性质，l越大 F越小，先求出当 F200 时，其相应的l值的大小，从而得出结果。例 4见教材第 59 页 分析：根据物理公式 PRU2，当电压 U
26、 一定时，输出功率 P 是电阻 R 的反比例函数，则RP2220，（2）问中是已知自变量 R 的取值范围，即110R220，求函数 P 的取值范围，根据反比例函数的性质，电阻越大则功率越小，得 220P440 式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围因为且所以函数值也不可能为讲解时可对照正比例函数比较二者解学习必备 欢迎下载 例 1（补充）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 x(分钟)成为正比例,药物燃烧后，y 与 x成反比例(如
27、图)，现测得药物 8 分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量 6 毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：(1)药物燃烧时，y 关于 x 的函数关系式为 ,自变量 x 的取值范为 ；药物燃烧后，y 关于 x 的函数关系式为 .(2)研究表明，当空气中每立方米的含药量低于 1.6 毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过_分钟后，员工才能回到办公室；(3)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效?为什么?分析：（1）药物燃烧时，由图象可知函数 y 是 x 的正比例函数，设xky1，将点（8，
28、6）代人解析式，求得xy43，自变量 0 x8；药物燃烧后，由图象看出 y 是 x 的反比例函数，设xky2，用待定系数法求得xy48（2）燃烧时，药含量逐渐增加，燃烧后，药含量逐渐减少，因此，只能在燃烧后的某一时间进入办公室，先将药含量 y1.6 代入xy48，求出 x30，根据反比例函数的图象与性质知药含量 y 随时间 x 的增大而减小，求得时间至少要 30 分钟（3）药物燃烧过程中，药含量逐渐增加，当 y3 时，代入xy43中，得 x4，即当药物燃烧 4 分钟时，药含量达到 3 毫克；药物燃烧后，药含量由最高 6 毫克逐渐减少，其间还能达到 3 毫克，所以当 y3 时，代入xy48，得
29、x16，持续时间为 1641210，因此消毒有效 五、随堂练习 1某厂现有 800 吨煤，这些煤能烧的天数 y 与平均每天烧的吨数 x 之间的函数关系是（）（A）xy300（x0）（B）xy300（x0）（C）y300 x（x0）（D）y300 x（x0）2已知甲、乙两地相 s（千米），汽车从甲地匀速行驶到达乙地，如果汽车每小时耗油量为 a（升），那么从甲地到乙地汽车的总耗油量 y（升）与汽车的行驶速度 v（千米/时）的函数图象大致是（）式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围因为且所以函数值也不可能为讲解
30、时可对照正比例函数比较二者解学习必备 欢迎下载 3 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识，一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的粗细（横截面积）S（mm2）的反比例函数，其图象如图所示：（1）写出 y 与 S 的函数关系式；（2）求当面条粗 1.6mm2时，面条的总长度是多少米？七课后练习 一场暴雨过后，一洼地存雨水 20 米3，如果将雨水全部排完需 t 分钟，排水量为 a 米3/分，且排水时间为 510 分钟（1）试写出 t 与 a 的函数关系式，并指出 a 的取值范围；（2）请画出函数图象（3）根据图象回答：当排水量为 3 米3/分时，排水的时间需要多长？式体会函数的模型思想二重难点重点理解反比例函数的概念能根据已知新相互对比能加深对反比例函数概念的理解注意引导学生对反比例函数范围因为且所以函数值也不可能为讲解时可对照正比例函数比较二者解