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1、学习必备 精品知识点 第一章实数集与函数 1 实数 授课章节：第一章实数集与函数1 实数 教学目的：使学生掌握实数的基本性质 教学重点：(1)理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用 教学方法：讲授（部分内容自学）教学程序：引 言 上节课中，我们与大家共同探讨了数学分析这门课程的研究对象、主要内容等话题从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始 问题 为什么从“实数”开始 答：数学分析研究的基本对象是函数，但这里的
2、“函数”是定义在“实数集”上的（后继课复变函数研究的是定义在复数集上的函数）为此，我们要先了解一下实数的有关性质 一、实数及其性质 学习必备 精品知识点 1、实数(,qp qp有理数:任何有理数都可以用分数形式为整数且q0)表示，也可以用有限十进小数或无限十进小数来表示.无理数:用无限十进不循环小数表示.|Rx x为实数-全体实数的集合 问题 有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”为此作如下规定：对于正有限小数01.,nxa a aa其中009,1,2,0,inain aa 为非负整数，记011.(1)9999n
3、nxa aaa；对于正整数0,xa则记0(1).9999xa；对于负有限小数（包括负整数）y，则先将y表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号0 表示为 00.0000 例：2.0012.0009999；利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示在此规定下，如何比较实数的大小？2、两实数大小的比较 1）定义 1 给定两个非负实数01.nxa aa，01.nyb bb.其中32.99992.0012.00999932.9999；不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精
4、品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 00,a b为非负整数，,kkab(1,2,)k 为整数，09,09kkab若有,0,1,2,kkabk，则称x与y相等，记为xy；若00ab或存在非负整数l，使得,0,1,2,kkabkl，而11llab，则称x大于y或y小于x，分别记为xy或yx 对于负实数x、y，若按上述规定分别有xy 或xy ，则分别称为xy与xy（或yx）规定：任何非负实数大于任何负实数 2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）定义 2（不足近似与过剩近似）：01.nxa aa为非负实数，称有理数01.nnxa aa为实数x的n位不足近似；110nnnxx称为实
5、数x的n位过剩近似，0,1,2,n.对于负实数01.nxa aa，其n位不足近似011.10nnnxa aa；n位过剩近似01.nnxa aa.注：实数x的不足近似nx当n增大时不减，即有012xxx；过剩近似nx当 n 增大时不增，即有012xxx 命题：记01.nxa aa，01.nyb bb为两个实数，则xy的等价条件是：存在非负整数 n，使nnxy（其中nx为x的n位不足近似，ny为y的n位过剩近似）命题应用 例 1设,x y为实数，xy，证明存在有理数r，满足xry 证明：由xy，知：存在非负整数 n，使得nnxy 令12nnrxy，则 r 为有理数，且 nnxxryy 即xry 不
6、等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 3、实数常用性质（详见附录289302PP）1）封闭性（实数集R对,）四则运算是封闭的即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为 0）仍是实数 2）有序性：,a bR，关系,ab ab ab，三者必居其一，也只居其一.3）传递性：abcR，,ab bcac若，则 4）阿基米德性：,0a bR banN 使得nab 5）稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数 6）一一对应关系：实数集R与数轴上
7、的点有着一一对应关系 例 2设,a bR，证明：若对任何正数，有ab，则ab （提示：反证法利用“有序性”，取ab）二、绝对值与不等式 1、绝对值的定义 实数a的绝对值的定义为,0|0aaaaa 2、几何意义 从数轴看，数a的绝对值|a就是点a到原点的距离|xa表示就是数轴上点x与a之间的距离 3、性质 1）|0;|00aaaa （非负性）；2）|aaa；3）|ahhah ，|.(0)ahhah h ；不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备
8、 精品知识点 4）对任何,a bR有|ababab （三角不等式）；5）|abab；6）|aabb（0b）三、几个重要不等式 1、,222abba .1 sin x .sin xx 2、均值不等式:对,21Rnaaa记 ,1 )(121niiniannaaaaM (算术平均值),)(1121nniinniaaaaaG (几何平均值).1111111)(1121niiniiniananaaanaH(调和平均值)有平均值不等式:),()()(iiiaMaGaH即：121212111nnnnaaana aanaaa 等号当且仅当naaa21时成立.3、Bernoulli不等式:(在中学已用数学归纳法
9、证明过),1 x有不等式(1)1,.nxnxn N 当1x且0 x,Nn且2n时,有严格不等式.1)1(nxxn 证：由01 x且111)1(1)1(,01nnxnxx ).1()1(xnxnnn.1)1(nxxn 4、利用二项展开式得到的不等式:对,0 h由二项展开式 不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 ,!3)2)(1(!2)1(1)1(32nnhhnnnhnnnhh 有 nh)1(上式右端任何一项.练习P45 课堂小结
10、：实数：一 实数及其性质二 绝对值与不等式.作业P41(1)，2(2)、(3)，3 2 数集和确界原理 授课章节：第一章实数集与函数2 数集和确界原理 教学目的：使学生掌握确界原理，建立起实数确界的清晰概念.教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应用.教学方法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导入新课.引 言 上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后又让大家自学了第一章1 实数的相关内容.下面，我们先来检验
11、一下不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 自学的效果如何！1、证 明：对 任 何xR有：(1)|1|2|1xx ；(2)|1|2|3|2xxx .（111(2)12,121xxxxx （）（2121,231,232.xxxxxx （）三式相加化简即可）2、证明：|xyxy.3、设,a bR，证明：若对任何正数有ab，则ab.4、设,x yR xy，证明：存在有理数r满足yrx.引申：由题 1 可联想到什么样的结论呢？这样思考是
12、做科研时的经常的思路之一.而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？由上述几个小题可以体会出“大学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具.本节主要内容：1、先定义实数集 R中的两类主要的数集区间与邻域；2、讨论有界集与无界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.一、区间与邻域 1、区间（用来表示变量的变化范围）设,a bR且ab.有限区间区间无限区间，其中 不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其
13、应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点|(,)|,|,)|(,xR axba bxR axba bxR axba bxR axba b 开区间:闭区间:有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:|,).|(,.|(,).|(,).|.xR xaaxR xaaxR xaaxR xaaxRxR 无限区间 2、邻域 联想：“邻居”.字面意思：“邻近的区域”.与a邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（1）a的邻域：设,0a
14、R，满足不等式|xa 的全体实数x的集合称为点a的邻域，记作(;)U a，或简记为()U a，即(;)|(,)U ax xaaa.其中a称为该邻域的中心，称为该邻域的半径.（2）点a的空心邻域(;)0|(,)(,)()ooUaxxaaaa aUa .（3）a的右邻域和点a的空心右邻域 00(;),)();(;)(,)().Uaa aUax axaUaa aUax axa （4）点a的左邻域和点a的空心左邻域 00(;)(,();(;)(,)().UaaaUax axaUaaaUax axa 不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉
15、的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点（5）邻域，邻域，邻域()|,Ux xM（其中 M为充分大的正数）；(),Ux xM()Ux xM 二、有界集与无界集 1、定义 1（上、下界）：设S为R中的一个数集.若存在数()M L，使得一切xS都有()xM xL，则称 S 为有上（下）界的数集.数()M L称为 S 的上界（下界）；若数集 S 既有上界，又有下界，则称 S 为有界集.闭区间,a b、开区间baba,(),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合),(,sin xxyyE也是有界数集.若数集 S 不是有界集，则称 S 为无界
16、集.),0 (,)0 ,(,),(等都是无界数集,集合)1 ,0 (,1 xxyyE也是无界数集.注：1）上（下）界若存在，不唯一；2）上（下）界与 S 的关系如何？看下例：例 1 讨论数集|Nn n为正整数的有界性.解：任取0nN，显然有01n，所以N有下界 1；但N无上界.因为假设N有上界 M,则 M0，按定义，对任意0nN，都 有0nM，这 是 不 可 能 的，如 取0 1nMMM（符号表示不超过的最大整数），则0nN，且0nM.不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精
17、品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 综上所述知：N是有下界无上界的数集，因而是无界集.例 2 证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）无限区间都是无界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.问题：若数集 S 有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个).三、确界与确界原理 1、定义 定义 2（上确界）设 S 是 R中的一个数集，若数满足：(1)对一切,xS有x（即是 S 的上界）;(2)对任何，存在0 xS，使得0 x（即是 S 的上界中最小的一个），则称数为数集 S 的上确界，记作sup.S 从定义中可以得出：上确界就是上界中的最小者.命题 1supME 充要条
18、件 1）,xE xM；2）00,oxSxM 使得.证 明：必 要 性，用 反 证 法.设2）不 成 立，则00,oxExM 使得均有，与M是上界中最小的一个矛盾.充分性（用反证法），设M不是E的上确界，即0M是上界，但0MM.令00MM，由 2），0 xE，使得00 xMM，与0M是E的上界矛盾.定义 3（下确界）设 S 是 R中的一个数集，若数满足：（1）对一切,xS有x（即是 S 的下界）；（2）对任何，存在0 xS，使得0 x（即是 S 的下界中最大的一个），则称数为数集 S 的下确界，记作inf S.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最大者.不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数
19、集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 命题 2 inf S的充要条件：1）,xE x；2）0，00,xSx 有.上确界与下确界统称为确界.例 3（1）,)1(1nSn则sup S 1 ；inf S 0 .（2）.),0(,sin xxyyE则sup S 1 ；inf S 0 .注：非空有界数集的上（或下）确界是唯一的.命题 3：设数集A有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯一的.证明：设sup A，sup A 且，则不妨设 AsupAx有x sup A 对，0 xA
20、使0 x，矛盾.例：sup0R，sup11n Znn，1inf12n Znn 5,0,3,9,11E 则有inf5E .开区间,a b与闭区间,a b有相同的上确界b与下确界a 例4设S和A是非空数集，且有.AS 则有.infinf ,supsupASAS.例 5 设A和B是非空数集.若对Ax和,By都有,yx 则有.infsupBA 证 明：,Byy是A的 上 界,.sup yAAsup 是B的 下不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备
21、精品知识点 界,.infsup BA 例 6A和B为非空数集,.BAS试证明:.inf,inf mininfBAS 证明：,Sx有Ax或,Bx由Ainf和Binf分别是A和B的下界,有 Axinf或.inf,inf min .infBAxBx 即 inf,inf minBA是数集S的下界,.inf,inf mininf BAS 又SAS ,的下界就是A的下界,Sinf是S的下界,Sinf 是A的下界,;infinf AS 同理有.infinfBS 于是有 inf,inf mininfBAS.综上,有 inf,inf mininfBAS.1.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.以例 3为例做
22、解释.2.确界与最值的关系:设 E为数集.（1）E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.（2）非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.（3）若Emax存在,必有.supmaxEE 对下确界有类似的结论.4.确界原理:Th1.1(确界原理).设S非空的数集.若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.这里我们给一个可以接受的说明,ER E非空，Ex，我们可以找到一个整数p，使得p不是E上界，而1p 是E的上界.然后我们遍查9.,2.,1.ppp和1p，我们可以找到一个0q，900q，使得0.qp不是E上界，)1.(0qp是E上界，如果再找第二位小数1q，,如此
23、下去，不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 最后得到210.qqqp，它是一个实数，即为E的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下面讲对下确界的证明）不妨设S中的元素都为非负数，则存在非负整数n，使得 1）Sx，有nx；2）存在Sx 1，有1 nx；把区间 1,(nn10 等分，分点为n.1，.2，,.9,存在1n，使得 1）S，有；1.nnx；2）存在Sx 2，使得10112.nnx 再对开区间111(.,.10nn
24、 nn 10 等分，同理存在2n，使得 1）对任何Sx，有21.nnnx；2）存在2x，使2101212.nnnx 继续重复此步骤，知对任何,2,1k，存在kn使得 1）对任何Sx，kknnnnx10121.；2）存在Sxk，kknnnnx21.因此得到knnnn21.以下证明Sinf（）对任意Sx，x；（）对任何，存在Sx 使x 作业：P9 1（1），（2）；2；4（2）、（4）；3 函数概念 授课章节：第一章实数集与函数3 函数概念 教学目的：使学生深刻理解函数概念.教学要求：（）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示法；（）牢记基本初等函数的定义、性质
25、及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学.教学程序：引 言 关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论.一、函数的定义 定义 设,D MR，如果存在对应法则f，使对xD，存在唯一的一个数yM与之对应，则称f是定义在数集D上的函
26、数，记作:fDM|xy.数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()f D.即()|(),f Dy yf x xD.几点说明（1）函数定义的记号中“:fDM”表示按法则f建立D到M的函数关系，|xy表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作|()xf x.习惯上称x自变量，y为因变量.（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来.因此，函数的基本要素为不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问
27、题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 两个：定义域和对应法则.所以函数也常表示为：(),yf xxD.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,f xxR ()1,0.g xxR（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()|,xxxR 2(),.xxxR（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数.即“函数()yf x”或“函数f”.（
28、4）“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于aD，()f a称为映射f下a的象.a称为()f a的原象.（5）函数定义中，xD，只能有唯一的一个y值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个x值，可以对应多于一个y值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.二、函数的表示方法 1 主要方法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图示法）.2 可用“特殊方法”来表示的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示.不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质
29、一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 例如 1,0s g n0,01,0 xxxx，（符号函数）（借助于 sgnx 可表示()|,f xx即()|sgnf xxxx）.2）用语言叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例 ）yx（取整函数）比如：3.5=3,3=3,-3.5=-4.常有 1xxx,即 01xx.与此有关一个的函数 yxxx（非负小数函数）图形是一条大锯，画出图看一看.）狄利克雷（Dirichlet）函数 1,()0,xD xx当 为有理数,当 为无理数,这是一个病态函数，很有用处，却无法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最小周期，事实上任一
30、有理数都是它的周期.）黎曼（Riemman）函数 1,(,()0,0,1(0,1)ppxp qNqqqR xx当为既约分数),当和内的无理数.三 函数的四则运算 给定两个函数12,f xD g xD，记12DDD，并设D，定义f与g在D上的和、差、积运算如下：()()(),F xf xg x xD；()()(),G xf xg x xD；()()(),H xf x g x xD.若在D中除去使()0g x 的值，即令2()0,DDx g xxD，不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质
31、学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 可在D上定义f与g的商运算如下；()(),()f xL xxDg x.注：）若12DDD，则f与g不能进行四则运算.）为叙述方便，函数f与g的和、差、积、商常分别写为：,ffgfgfgg.四、复合运算 引言 在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系.例：质量为 m的物体自由下落，速度为 v，则功率E为 22 21122EmvEmg tvgt.抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f vmvvgt，把()v t代入f，即得 2 21()2f v tmg t.这样得到函数的过程称为“函数复合
32、”，所得到的函数称为“复合函数”.问题 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin,1,1,()2,yf uu uDug xxxER .就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）.2 定义（复合函数）设有两个函数(),(),yf u uD ug xxE，不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点()Ex f xDE，若E，则对每一个xE，通过g对应D内唯一
33、一个值u，而u又通过f对应唯一一个值y，这就确定了一个定义在E上的函数，它以x为自变量，y因变量，记作(),yf g xxE或()(),yfgx xE.简记为fg.称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，u为中间变量.3.例子 例 .1)(,)(2xxguuufy 求 ).()(xgfxgf并求定义域.例 ._)(,1)1(2xfxxxf .1122xxxxf 则)()(xf A.,2x B.,12x C.,22x D.22x 例 讨论函数(),0,)yf uu u与函数2()1,ug xxxR能否进行复合，求复合函数.4 说明）复合函数可由多个函数相继复合而成.每次复合，都要验
34、证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例 如：2sin,1yu uv vx，复 合 成：2sin 1,1,1yxx.）不仅要会复合，更要会分解.把一个函数分解成若干个简单函不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 数，在分解时也要注意定义域的变化.22log1,(0,1)log,1.aayxxyu uz zx 22arcsin1arcsin,1.yxyu uv vx 2sin222,sin.xuyyuv vx
35、五、反函数.引言 在函数()yf x中把x叫做自变量，y叫做因变量.但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如：2(),1,f uu ut 那么u对于f来讲是自变量，但对t来讲，u是因变量.习惯上说函数()yf x中x是自变量，y是因变量，是基于y随x的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y随x的变化状况，也要研究x随y的变化的状况.对此，我们引入反函数的概念.反函数概念 定义设Xf:R 是一函数，如果1x，Xx 2,由)()(2121xfxfxx(或由2121)()(xxxfxf)，则称f在X上是 1-1 的.若YXf:，)(XfY，称f为满的.若 YXf:是满的 1-
36、1 的，则称f为 1-1 对应.Xf:R 是 1-1 的意味着)(xfy 对固定y至多有一个解x，YXf:是 1-1 的意味着对Yy，)(xfy 有且仅有一个解x.不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 定义 设YXf:是1-1对应.Yy,由)(xfy 唯一确定一个Xx,由这种对应法则所确定的函数称为)(xfy 的反函数，记为)(1yfx.反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域 YXf:XYf:1 显然有 XXIff:1
37、(恒等变换）YYIff:1 (恒等变换)YXff:)(11.从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为)(1xfy,这样它的图形与)(xfy 的图形是关于对角线xy 对称的.严格单调函数是 1-1 对应的，所以严格单调函数有反函数.但 1-1 对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子 21,310,)(xxxxxf 它的反函数即为它自己.实际求反函数问题可分为二步进行：1.确定 YXf:的定义域X和值域Y，考虑 1-1 对应条件.固定 Yy，解方程 yxf)(得出)(1yfx.2.按习惯，自变量x、因变量y互换，得)(1xfy.例 求 2)(xxee
38、xshy：R R 的反函数.解 固定y，为解 2xxeey，令 zex，方程变为 122zzy 0122 zyz 12yyz (舍去12 yy)得)1ln(2yyx，即)()1ln(12xshxxy，称为反双曲正弦.定理 给定函数)(xfy，其定义域和值域分别记为X和Y，若在Y上存在函数)(yg，使得 xxfg)(,则有)()(1yfyg.0 x y 不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 分析：要证两层结论：一是)(xfy 的
39、反函数存在，我们只要证它是 1-1 对应就行了；二是要证1()()g yfy.证 要证)(xfy 的反函数存在，只要证)(xf是X到Y的 1-1 对应.1x，Xx 2，若)()(21xfxf，则由定理条件，我们有 11)(xxfg 22)(xxfg 21xx，即 YXf:是 1-1 对应.再证1()()g yfy.Yy，Xx，使得)(xfy.由反函数定义)(1yfx，再由定理条件()()g yg f xx.1()()g yfy 例:fRR，若)(xff存在唯一（|）不动点，则)(xf也|不动点.证 存在性，设)(*xffx，)()(*xfffxf，即)(*xf是ff的不动点，由唯一性*)(xx
40、f，即存在)(xf的不动点*x.唯一性：设)(xfx，)()(xffxfx，说明 x是ff的不动点，由唯一性，x=*x.从映射的观点看函数.设函数(),yf xxD.满足：对于值域()f D中的每一个值y，中有且只有一个值x，使得()f xy，则按此对应法则得到一个定义在()f D上的函数，称这个函数为f的反函数，记作 1:(),(|)ff DDyx或1(),()xfyyf D.、注释 a)并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数f有反函数，意味着f是与()f D之间的一个一一映射，称1f为映射f的逆映射，它把()f DD0 y=f y=-1(x 0 y=f 不等式它们是分析论证的重要工
41、具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点；b)函 数f与1f互 为 反 函 数，并 有:1(),ff xx xD 1(),().ffxy yf D c)在反函数的表示1(),()xfyyf D中，是以y为自变量，x为因变量.若按习惯做法用x做为自变量的记号，y作为因变量的记号，则函数f的反函数1f可以改写为 1(),().yfxxf D 应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已.但它们的图形在同一
42、坐标系中画出时有所差别.六、初等函数 1.基本初等函数（类）常量函数 yC（为常数）；幂函数 ()yxR；指数函数(0,1)xyaaa；对数函数 l o g(0,ayxaa；三角函数 s i n,c o s,yxyxyt g xyt g x；反三角函数 a r c s i n,a r c c o s,yxyxya r c t g xya r c c t g x.注：幂函数()yxR和指数函数(0,1)xyaaa都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义.下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质.不等式它们是分析论证的重要工具
43、教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 定义给定实数0,1aa，设x为无理数，我们规定：sup|,1|,01rxrxraraaara r0，Xx有()f xM，即()Mf xM,取Mm,MM 即可.反之如果M,m使得,()xX mf xM，令0max1,MMm，则0()f xM，即00M，使得对xX 有0()f xM，即:fXR有界.例 2证明 1()f xx为(0,1上的无上界函数.例3 设,f g为D 上 的 有 界 函 数.证 明：（1）inf()in
44、f()inf()()x Dx Dx Df xg xf xg x；（2）sup()()sup()sup()x Dx Dx Df xg xf xg x.例 4 验证函数 325)(2xxxf在R内有界.解法一 由,62322)3()2(32222xxxx当0 x时,有 .3625625325325)(22xxxxxxxf 30)0(f,对,R x 总有,3)(xf 即)(xf在R内有界.不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 解法二
45、 令 ,3252xxy关于x的二次方程 03522yxyx有实数根.22245 y.2 ,42425 ,02yy 解法三 令 2,2 ,23ttgtx对应).,(x 于是 tttttgtgttgttgtxxxf2222sec1cossin65123353232235325)(.6252sin625)(,2sin625 txft 二、单调函数 定义 3 设f为定义在 D 上的函数，1212,x xD xx（1）若12()()f xf x，则称f为 D上的增函数；若12()()f xf x，则称f为 D上的严格增函数.（2）若12()()f xf x，则称f为 D 上的减函数；若12()()f x
46、f x，则称f为 D上的严格减函数.例 5证明：3yx在(,)上是严格增函数.证明：设21xx，)(222121213231xxxxxxxx 如021xx，则3231120 xxxx 如120 x x，则22331122120,xx xxxx 故03231xx即得证.例 6讨论函数 yx在R上的单调性.12,x xR，当12xx时，有12xx，但此函数在R上的不是严格增函数.注：1）单调性与所讨论的区间有关.在定义域的某些部分，f可能单调，也可能不单调.所以要会求出给定函数的单调区间；2）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于x轴的部分.更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于x轴
47、的直线至多有一个交点.这一特征保证了它必有反函数.总结得下面的结论：定理 1 设(),yf x x D为严格增（减）函数，则f必有反函数1f，且1f在其定义域()f D上也是严格增（减）函数.不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 证明：设f在D上严格增函数.对(),()yf DxDf xy 有使.下面证明这样的x只有一个.事实上，对于D内任一1,xx由于f在D上严格增函数，当1xx时1()f xy，当1xx时1()f xy，总
48、之1()f xy.即(),()yf DxDf xy 都只存在唯一的一使得，从而 例 7 讨论函数2yx在(,)上反函数的存在性；如果2yx在(,)上不存在反函数，在(,)的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关.例8 证明：xya当1a 时在上严格增，当01a 时在R上严格递减.三、奇函数和偶函数 定义 4.设 D为对称于原点的数集，f为定义在 D上的函数.若对每一个xD有（1）()()fxf x ，则称f为 D 上的奇函数；（2）()()fxf x，则称f为 D上的偶函数.注：（1）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于y轴对称；
49、（2）奇偶性的前提是定义域对称，因此(),0,1f xx x没有必要讨论奇偶性.（3）从奇偶性角度对函数分类：奇函数:y=sinx偶函数:y=sgnx非奇非偶函数:y=sinx+cosx既奇又偶函数:y0；（4）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、周期函数 1、定义 设f为定义在数集 D上的函数，若存在0，使得对一切xD有()()f xf x，则称f为周期函数，称为f的一个周期.2、几点说明：（1）若是f的周期，则()nnN也是f的周期，所以周期若存在，则不唯一.如sin,2,4,yx.因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数f的所有周期中有一个最
50、小的周期，则称此最小周期为f的“基本周期”，简称“周期”.如sinyx，周期为2；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：1）1yx，不是周期函数；2）yC（为常数），任何正数都是它的周期.第二章数列极限 不等式它们是分析论证的重要工具教学难点实数集的概念及其应用教学家介绍这门课程的主要内容首从大家都较为熟悉的实数和函数开始问题数的有关性质一实数及其性质学习必备精品知识点实数有理数任何有理学习必备 精品知识点 引 言 为了掌握变量的变化规律，往往需要从它的变化过程来判断它的变化趋势.例如有这么一个变量，它开始是 1，然后为1 1 11,2 3 4n如此，一直无尽地