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1、名师总结 优秀知识点 泛函分析知识点 知识体系概述（一）、度量空间和赋范线性空间 第一节 度量空间的进一步例子 1.距离空间的定义：设 X是非空集合，若存在一个映射 d：XXR，使得x,y,zX,下列距离公理成立：（1）非负性：d(x,y)0，d(x,y)=0 x=y;（2）对称性：d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(z,y);则称 d(x,y)为 x 与 y 的距离，X为以 d 为距离的距离空间，记作（X，d）2.几类空间 例1 离散的度量空间 例2 序列空间 S 例3 有界函数空间 B(A)例4 可测函数空 M(X)例5 Ca,b 空间 即连续函数空
2、间 例6 l2 第二节 度量空间中的极限，稠密集，可分空间 1.开球 定义 设（X,d）为度量空间，d 是距离，定义 U(x0,)x X|d(x,x0)N 时，必有,nmd x x，则称nx是 X 中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在（X,d）中收敛，那么称（X,d）是完备的度量空间.【注意】（1）Q 不是完备集 （2）nR完备 （3）cauchy 列不一定收敛，但收敛列一定是 cauchy 列.（4）Ca,b完备 2.定理 完备度量空间 X 的子空间 M 是完备空间的充要条件为 M 是 X 中的闭子空间.第五节 度量空间的完备化 1.定义 设（X,d）,(X,d)
3、是两个度量空间，如果存在 X 到X上的保距映射 T，即 ,d Tx Tyd x y，则称（X,d）和(X,d)等距同构，此时 T 称为 X 到X上等距同构映射。2.定理 1（度量空间的完备化定理）设 X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=(X,d)，使 X 与X的某个稠密子空间 W 等距同构，并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一完备度量空间，且 X 与X的某个稠密子空间等距同构，则(X,d)与(X,d)等距同构。3.定理 1 设 X=（X,d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X=(X,d)，使 X 为X的稠密子空间。第六节 压缩映射原理及其应用 1.定义
4、 设 X 是度量空间，T 是 X 到 X 中的映射，如果存在一个数，01,111pq，,pqfLa bgL a b那么 f(t)g(t)在a,b上 L 可积,并且 bpqaf t g t dtfg 3 引理 2(Minkowski不等式)设 p1,f,gLpa,b,那么 f+gLpa,b,并且成立不等式 f+gp fp+gp 4.定理 1 当 p1 时,Lpa,b按(6)中范数fp 成为赋范线性空间.5.定理 2 Lp a,b(p 1)是 Banach 空间.6.定理3 设X 是n维赋范线性空间,e1,e2,en是X 的一组基,则存在常数M 和M,使得对一切 1nkkkxe 成立 1221nk
5、kM xMx.7.推论 1 设在有限维线性空间上定义了两个范数x和x1,那么必存在常数 M 和 M,使得 离的距离空间记作几类空间例离散的度量空间例序列空间例有界函数空定义若则称是点列的极限有界集定义若则称有界稠密集定义设是度量空是两个度量空间是到中映射如果对于任意给定的正数存在正数使对中一名师总结 优秀知识点 Mxx1 Mx.8.定义 2 设(R1,x1)和(R2,x2)是两个赋范线性空间.如果存在从 R1 到 R2 上的线性映射和正数 c1,c2,使得对一切 xR1,成立 c1 x2 x1 c2 x2 则称(R1,x1)和(R2,x2)这两个赋范空间是拓扑同构的.8.推论 2 任何有限维赋
6、范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构.(二)有界线性算子和连续线性泛函 第一节 有界线性算子和连续线性泛函 定义 1 设 X 和 Y 是两个同为实(或复)的线性空间,D 是 X 的线性子空间,T 为 D 到 Y 中的映射,如果对任何 x,yD,及数,有 T(x+y)=Tx+Ty,(1)T(x)=Tx,(2)则称 T 为 D 到 Y 中的线性算子,其中 D 称为 T 的定义域,记为 D(T),TD 称为 T 的值域,记为R(T),当 T 取值于实(或复)数域时,就称 T 为实(或复)线性泛函.定义 2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间,T 是X 的线性子空间D
7、(T)到Y 中的线性算子,如果存在常数 c,使对所有 xD(T),有 Txcx,(3)则称 T 是 D(T)到 Y 中的有界线性算子,当 D(T)=X 时,称 T 为 X 到 Y 中的有界线性算子,简称为有界算子.对于不满足条件(3)的算子,称为无界算子.本书主要讨论有界算子.定理 1 设 T 是赋范线性空间 X 到赋范线性空间 Y 中的线性算子,则 T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上连续算子.定理 2 设 X 是赋范线性空间,f 是 X 上线性泛函,那么 f 是 X 上连续泛函的充要条件为 f 的零空间 N(f)是 X 中的闭子空间 定义 3 T 为赋范线性空间 X 的子空间 D(T
8、)到赋范线性空 间 Y 中的线性算子,称 0supxx D TTxTx (4)为算子 T 在 D(T)上的范数.引理 1 设 T 是 D(T)上有界线性算子,那么 11supsupx D Tx D TxxTTxTx （6）.有界线性算子和连续线性泛函的例子 例6 赋范线性空间X 上的相似算子Tx=x 是有界线性算子,且T=|,特别IX=1,O=0.第二节 有界线性算子空间和共轭空间.有界线性算子全体所成空间 定理 1 当 Y 是 Banach 空间时,B(XY)也是 Banach 空间.共轭空间 定义 1 设 X 是赋范线性空间,令 X表示 X 上连续线性泛函全体所成的空间,称为 X 的共轭空
9、间.离的距离空间记作几类空间例离散的度量空间例序列空间例有界函数空定义若则称是点列的极限有界集定义若则称有界稠密集定义设是度量空是两个度量空间是到中映射如果对于任意给定的正数存在正数使对中一名师总结 优秀知识点 定理 2 任何赋范线性空间的共轭空间是 Banach 空间.定义 2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间,T 是 X 到 Y 中的线性算子,并且对所有 xX,有 Tx=x,则称 T 是 X 到 Y 中的保距算子,如果 T 又是映射到 Y 上的,则称 T 是同构映射,此时称 X 与 Y 同构.离的距离空间记作几类空间例离散的度量空间例序列空间例有界函数空定义若则称是点列的极限有界集定义若则称有界稠密集定义设是度量空是两个度量空间是到中映射如果对于任意给定的正数存在正数使对中一