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1、名师总结优秀知识点泛函分析知识点知识体系概述（一） 、度量空间和赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1. 距离空间的定义：设 X是非空集合，若存在一个映射d：XXR，使得x,y,zX,下列距离公理成立：（1）非负性： d(x,y)0，d(x,y)=0 x=y; （2）对称性： d(x,y)=d(y,x); （3）三角不等式：d(x,y)d(x,z)+d(z,y); 则称 d(x,y)为 x 与 y 的距离， X为以 d 为距离的距离空间，记作（X，d）2. 几类空间例1离散的度量空间例2序列空间S 例3有界函数空间B(A) 例4可测函数空M(X) 例5Ca,b空间即连续函数空间例6l2第二节
2、度量空间中的极限，稠密集，可分空间1.开球定义设（ X,d）为度量空间，d 是距离，定义U(x0, )x X | d(x, x0) N 时，必有,nmd xx，则称nx是 X 中的柯西点列或基本点列。如果度量空间（X,d）中每个柯西点列都在（X,d ）中收敛，那么称（X,d ）是完备的度量空间. 【注意】（1）Q 不是完备集（2）nR完备（3）cauchy 列不一定收敛，但收敛列一定是cauchy 列. （4）Ca,b完备2.定理完备度量空间X 的子空间 M 是完备空间的充要条件为M 是 X 中的闭子空间 . 第五节度量空间的完备化1.定义设（X,d）,(X,d )是两个度量空间，如果存在X
3、到X上的保距映射T，即,d Tx Tyd x y，则称（X,d）和(X,d )等距同构，此时T 称为 X 到X上等距同构映射。2.定理 1（度量空间的完备化定理）设 X=（X,d）是度量空间，那么一定存在一完备度量空间X=(X,d )，使 X 与X的某个稠密子空间W 等距同构， 并且X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d )也是一完备度量空间， 且 X 与X的某个稠密子空间等距同构，则(X,d )与(X,d )等距同构。3.定理 1设 X=（X,d） 是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X=(X,d )，使 X 为X的稠密子空间。第六节压缩映射原理及其应用1.定义设 X 是度量空间，T 是
4、 X 到 X 中的映射，如果存在一个数，01,111pq，,pqfLa bgLa b 那么 f(t)g(t)在a,b上 L 可积,并且bpqaft g t dtfg3 引理 2(Minkowski 不等式 ) 设 p1,f,gLpa,b,那么 f+gLpa,b,并且成立不等式f+gp fp +gp 4.定理 1 当 p1 时,Lpa,b按(6)中范数 fp成为赋范线性空间 . 5.定理 2 Lp a,b(p1)是 Banach空间.6.定理 3 设 X 是 n 维赋范线性空间 ,e1,e2,en是 X 的一组基 ,则存在常数 M 和M,使得对一切1nkkkxe成立1221nkkM xMx. 7
5、.推论 1 设在有限维线性空间上定义了两个范数x和 x1 ,那么必存在常数M 和M,使得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页名师总结优秀知识点Mx x1M x. 8. 定义 2 设(R1, x1 )和(R2 ,x2 )是两个赋范线性空间.如果存在从R1到 R2上的线性映射 和正数 c1 ,c2,使得对一切xR1,成立c1 x2 x1c2x2则称 (R1 ,x1)和(R2,x2 )这两个赋范空间是拓扑同构的. 8.推论2 任何有限维赋范空间都和同维数欧氏空间拓扑同构.相同维数的有限维赋范空间彼此拓扑同构 . (二)有界线
6、性算子和连续线性泛函第一节有界线性算子和连续线性泛函定义 1 设 X 和 Y 是两个同为实(或复 )的线性空间 ,D 是 X 的线性子空间,T 为 D 到 Y 中的映射,如果对任何x,yD,及数 ,有T(x+y)= Tx+ Ty, (1) T( x)= Tx, (2) 则称 T 为 D 到 Y 中的线性算子 ,其中 D 称为 T 的定义域 ,记为 D(T),TD 称为 T 的值域 ,记为R(T),当 T 取值于实 (或复 )数域时 ,就称 T 为实 (或复 )线性泛函 . 定义 2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间,T 是 X 的线性子空间D(T) 到 Y 中的线性算子,如果存在常数 c,使
7、对所有xD(T), 有Tx cx, (3) 则称 T 是 D(T) 到 Y 中的有界线性算子,当 D(T)= X 时,称 T 为 X 到 Y 中的有界线性算子,简称为有界算子 .对于不满足条件(3)的算子 ,称为无界算子.本书主要讨论有界算子. 定理 1 设 T 是赋范线性空间X 到赋范线性空间Y 中的线性算子 ,则 T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上连续算子 . 定理 2 设 X 是赋范线性空间,f 是 X 上线性泛函 ,那么 f 是 X 上连续泛函的充要条件为f 的零空间 N(f) 是 X 中的闭子空间定义 3 T 为赋范线性空间X 的子空间D(T) 到赋范线性空间 Y 中的线性算
8、子 ,称0supxxD TTxTx(4) 为算子 T 在 D(T) 上的范数 . 引理 1 设 T 是 D(T) 上有界线性算子,那么11supsupxD Tx D TxxTTxTx（ 6）. 有界线性算子和连续线性泛函的例子例 6 赋范线性空间X 上的相似算子Tx= x 是有界线性算子,且 T=|,特别 IX=1,O=0. 第二节有界线性算子空间和共轭空间. 有界线性算子全体所成空间定理 1 当 Y 是 Banach空间时 ,B(XY) 也是 Banach空间. . 共轭空间定义 1 设 X 是赋范线性空间 ,令 X表示 X 上连续线性泛函全体所成的空间,称为 X 的共轭空间 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页名师总结优秀知识点定理 2 任何赋范线性空间的共轭空间是Banach空间. 定义 2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间 ,T 是 X 到 Y 中的线性算子 ,并且对所有 xX,有Tx=x, 则称 T 是 X 到 Y 中的保距算子 ,如果 T 又是映射到 Y 上的,则称 T 是同构映射 ,此时称 X 与 Y 同构. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页