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1、第四章 数列4.3.2等比数列的前n项和教学设计第1课时 教学目标1掌握等比数列的前n项和公式及其应用2会用错位相减法求数列的和3能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 教学重难点教学重点：等比数列的前n项公式的运用教学难点：等比数列的前n项和公式的推导. 课前准备PPT课件 教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第3437页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题预设的答案：（1）本节课主要学习等比数列的前n项和公式（2）学生在已学习等差数列前n项和公式的基础上，引导学生类比学习等
2、比数列前n项和公式，让学生经历公式的推导过程，体会化无限为有限，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思，进一步培养学生灵活运用公式的能力.发展学生逻辑推理、直观想象、数学运算和数学建模的的核心素养.设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架问题2：国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣
3、然同意了.假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016-2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.设计意图：以国际象棋为背景，提出等比数列求和问题，激发学生探究欲望.发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养.问题3：每个格子里放的麦粒数可以构成一个数列,请判断分析这个数列是否是等比数列?并写出这个数列的通项公式.师生活动：学生回答，教师完善预设的答案：是等比数列,首项是1，公比是2，共64项. 通项公式为an=2n-1.问题4：请将发明者的要求表述成数学问题.师生活动：学生回答，教师完善预设的答案：求这个等比数列的前64项的和，即：1+2+22+
4、23+263=？问题5：如何求解该问题.师生活动：让学生回顾等差数列的前n项和公式的推导过程.教师完善预设的答案：等差数列a1,a2, a3, ,an的前n项和是Sn=a1+a2+a3+an-2 +an-1 +an根据等差数列的定义an+1 -an= dSn=a1+a2+a3+an-2 +an-1 +anSn=an+an-1+an-2+a3 +a2 +a1 + 得，2Sn=n(a1+an).所以问题6：对于等比数列，是否也能用倒序相加的方法进行求和呢？师生活动：让学生回顾等比数列的性质后回答.教师完善预设的答案：在等比数列中a1 +ana2 +an-1a3 +an-2，所以2Snn(a1+an
5、).对于等比数列求和，不能照搬倒序相加的方法，而是要挖掘此方法的本质，即求和的根本目的.问题7：求和的根本目的是什么？思路：为了看清式子的特点，我们不妨把各项都用首项和公比来表示.问题8：观察式，相邻两项有什么特征？怎样把某一项变成它的后一项？师生活动：学生思考后回答，教师完善.预设的答案：an=an-1q(n2,q0)问题9：如何构造另一个式子，与原式相减后可以消除中间项？师生活动：学生思考后回答，教师完善.预设的答案：设等比数列 an 的首项为a1，公比为q，则an 的前n项和是SnSn=a1+a2+a3+an-2 +an-1 +an，根据等比数列的通项公式，Sn=a1+a1q+ a1q2
6、+ a1qn-3 + a1qn-2+ a1qn-1qSn= a1q+ a1q2+ a1q3+ a1qn-2+ a1qn-1+ a1qn- 得, Sn -qSn= a1 - a1qn即Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn).问题10：要求出Sn，是否可以把上式两边同时除以(1 -q) ？师生活动：学生思考后回答，教师完善.预设的答案：Sn(1 -q)= a1 ( 1-qn)当1 -q=0时，即q=1 时，当1 -q0时，即q1 时，.设计意图：通过问题串，层层递进，引导学生探究等比数列的求和问题.发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养.【探究新知】知识点1等比数列的前n项和公式已知量首
7、项a1、公比q(q1)与项数n首项a1、末项an与公比q(q1)首项a1、公比q1求和公式问题5的解决：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒依次类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”1+2+22+23+263a1=1,q=2，n=64，一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨.不能实现！设计意图：利用错位相减法求得了等比数列前n项和公式,并利用公式解决了象棋大师的问题.进一步培养学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养.【巩固
8、练习】例1已知数列是等比数列.（1）若，求；（2）若，求；（3）若，求n.师生活动：学生板演，教师完善规范解题过程.预设的答案：（1）因为，所以.（2）由，可得，即.又由，得 .所以.（3）把，代入，得，整理，得，解得n=5.设计意图：通过典型例题，加深对等比数列求和公式的理解和运用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.方法总结：等比数列的通项公式和前n项和公式一共涉及五个量，知三求二.通常会用到列方程或方程组求解.例2已知等比数列的首项为-1，前n项和为，若，求公比q.师生活动：学生板演，教师完善规范解题过程.预设的答案：若q=1，则，所以q1.当q1时,由得，.整理，
9、得，即.所以.设计意图：通过该例题，让学生知道使用等比数列求和公式的条件，有时需要分类讨论；加深对等比数列求和公式的理解和运用.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.方法总结：在等比数列an的五个量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用a1与q表示an与Sn，从而列方程组求解在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用例3已知等比数列的公比q-1，前n项和为.证明成等比数列，并求这个数列的公比.师生活动：学生分组讨论，派代表板演.教师完善规范解题过程.预设的答案：(方法一)当q=1
10、时，所以成等比数列，公比为1.当q1时，所以 .因为为常数,所以成等比数列，公比为.方法二)，所以因为为常数，所以成等比数列，公比为.结论：等比数列的公比q-1，前n项和为，则成等比数列，公比为.注：当q=-1时，此结论不一定成立.例如，当时，此结论不成立.设计意图：通过该例题，推导出等比数列均匀分段和性质.发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.结论：（1）等比数列的前n项和为，则，（）成等比数列；（2）.练习：教科书P37 练习1 、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养【课堂总结】1板书设计：4
11、. 3.2等比数列的前n项和（1）一、探索新知二、初步应用1等比数列的前n项和公式推导例1知识讲解1：例22等比数列的前n项和公式应用例3知识讲解2：2总结概括：（1）等比数列前n项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前n项和公式时，需讨论公比是否为1；（2）等比数列前n项和公式的推导：错位相减法；（3）数学思想方法的应用:方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现；分类讨论思想：由等比数列前n项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想.师生活动：学生总结，老师适当补充.设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力3课堂作业
12、：教科书P37 练习3 、4 、5【目标检测设计】1等比数列an中，a11，公比q2，当Sn127时，n()A8 B7C6 D5设计意图：让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式.2等比数列an的前n项和为Sn，若a2S30，则公比q()A1 B1C2 D2 设计意图：让学生进一步巩固等比数列的通项公式和前n项和公式.3已知等比数列an的公比为2，且Sn为其前n项和，则 ()A5 B3C5 D3设计意图：让学生进一步巩固等比数列的性质.4已知等比数列an的前n项和为Sn，且a13，S39，则S4()A12 B15C12或15 D12或15设计意图：让学生进一步巩固等比数列的前n项和公式及分类讨论
13、思想.5已知等比数列an满足a312，记其前n项和为Sn.(1)求数列an的通项公式；(2)若Sn93，求n.设计意图：通过本题，加深学生对等比数列求和公式的综合运用能力.发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.参考答案：1B由Sn，a11，q2.当Sn127时，则，解得n7.故选B.2Aa2S3a2(a1a2a3)0，a12a2a3a1(12qq2)a1(1q)20.又a10，q1.故选A3C由题意可得：，故选C4C因为a13，S39，当q1时，满足题意；故可得S44a112；当q1时，S3，解得q2，故S4.综上所述S412或15.故选C5解：(1)设等比数列an的公比为q，则解得所以. (2) .由Sn93，得，解得n5. 学科网（北京）股份有限公司