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1、等比数列的前n项和公式的教学设计（共2课时，单元教学设计）一、单元内容及其解析错位相减法1.内容分类讨论法等比数列前n项和公式的推导与应用公式推导本单元的知识结构：简单应用等比数列的前n项和公式综合应用公式应用 本单元建议用2课时：第1课时，等比数列前n项和公式的推导；第2课时，等比数列前n项和公式的应用.1.内容解析本节内容为人教A版高中数学选择性必修第二册第四章的核心内容，它在普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）中，被纳入“选择性必修课程”的函数主题之中数列作为一类特殊的函数，既是高中函数知识体系中的重要内容，又是用来刻画现实世界中一类具有递推规律的数学模型在现行新教材的编排
2、中，等比数列的前n项和处于等比数列的单元内容之中，是等比数列的概念与通项公式的后继学习内容，它在完善数列单元的知识结构体系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的整体性等方面都是不可或缺，在提升学生探究、应用和实践能力等方面，有着不可替代的作用和价值等比数列的前n项和公式是等比数列的又一重要性质，是进一步认识等比数列的函数特性的又一重要角度，是感受等比数列与指数型函数、等比数列的前n项和公式与指数型函数之间的联系，体会数学的整体性的又一重要载体.等比数列的前n项和不仅在现实生活中有着广泛的应用，而且通过对公式的探究与推导，培养了学生的探索精神和创新思维，同时发展了学生数学抽象与数学建模的素养.
3、在发现问题、提出问题和解决问题的过程中，通过学生观察、归纳与猜想，形成了数列错位相减求和方法，突出错位相减法在等比数列求和中的优势，同时了渗透特殊到一般、化归与转化、分类讨论、函数与方程等数学思想.基于以上分析，确定本单元的教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及其应用.二、单元目标及其解析1.目标（1）了解等比数列前n 项和公式发现的背景；（2）推导并掌握等比数列的前n项和公式；（3）经历并体验“提出问题一分析问题一解决问题”的过程，运用已有方法去寻求新的求和方法时形成基本活动经验，在具体问题情境中，能运用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，渗透转化与化归、特殊与一般、
4、分类与讨论、函数与方程等数学思想，提升学生数学抽象、数学建模等核心素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1） 学生通过课前自主阅读教科书或查阅史料，了解等比数列的前n 项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般思想，感受前人严谨的治学精神和数学文化额熏陶.（2） 学生通过自主学习和小组合作探究的方式，在经历“类比推理探公式-归纳推理猜公式-演绎推理证公式”的推导过程中，明确基本公式的学习套路，掌握等比数列的前n 项和公式的“错位相减法”以及其他推导方法，领悟对等比数列的前n项和乘以公比或公比的倒数，再利用错位相减法导出求和公式.学生能在具体的问题情境中，特别是在具有数学史料和实际应用的问题情境下，
5、运用等比数列的前n项和解决相应的问题.（3）等比数列的前n 项和是等比数列定义及其通项公式的延续，它是继等差数列前n项和公式学习之后的又一个特殊数列的前n项和的学习与研究.为继续深入学习数列的通项及前n项和提供了基础知识与基本方法.三、单元教学问题诊断分析从学生已有的数学思维特点来看，等比数列的前n项和公式的学习，其认知基础是等比数列的定义与性质、数列求和的一般观念，以及学生对特殊数列求和的研究经验等.这些认知准备，对于分析等比数列项的变化规律，采用乘以公比或公比的倒数，在移项过程中，发现错位相减的运算特点，从而达到简化的目的，并最终能够顺利的导出求和公式等，都能起到思路引领作用.从学生积累的
6、数学活动经验来看，课堂教学从有限项到无限项的求和，从特殊到一般的求和，怎样让等比数列的前n 项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式，推导过程的合理性的关键.为了有效突破这一难点，在推导过程中，既要在从特殊到一般的问题情境中，通过归纳推理，分类讨论公式的结构特征；也要在遵循“错位相减法”产生的数学背景中，通过推理再次获得公式.在求和公式的教学中，让学生经历“等比数列的前n项和公式”的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学生的思维品质.四、单元教学支持条件分析为了加强学生对等比数列的前n项和公式的整体感受，采取素养导航、特殊到一般、推理定位、应用落实的“四位一体”的单元教学设计
7、，教学情境围绕如何求等比数列的有限项和到无限项和，从特殊到一般，和推导等比数列的前n 项和及其简单应用和综合应用开展,采用问题串驱动法.一是借助庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的经典史料，如何求数列有限项的和，让学生经历乘以公比或公比的倒数再错位相减的认知过程，体验把等比数列前n项错位相减求和的思维过程，实现化简求和的终极目标.二是通过特殊到一般的求和思路，揭示求和公式的结构特征和其中蕴含的数学思想方法，提升学生的逻辑推理素养.三是，让学生小组合作发言，让学生经历化归与转化、探索与尝试、总结与提炼以及应用与深化四个阶段，加深学生对求和公式的认知，对推导和应用的理解，完成本单元的教学目标
8、.五、课时教学设计（一）教学内容等比数列的前n项和公式的推导.（二）教学目标（1）了解等比数列前n项和公式发现的背景；（2）推导并掌握等比数列的前n 项和公式，提升逻辑推理和数学运算素养.（三）教学重点、难点重点：等比数列的前n项和公式的推导.难点：等比数列的前n项和公式的推导.（四）教学过程设计引导语：在前面的学习中，我们已经学习了等比数列的通项公式，类比等差数列及其前n项和公式，这节课我们来探讨一下等比数列的前n项和公式.（一）情境引入，获取对象师：庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭.意思是：“如果一尺长的木棒，每日取其一半，那么永远也取不完”.如果我们将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下
9、的部分依次为：，我们如何求该数列的前六项和？生：（二）已有方法，快速见效生:计算结果63/64。师:请解释一下。生:结合图形可知，等于总的长度1减去剩余部分的64.通过图形比较容易解决.师:非常好(掌声鼓励)!数学家华罗庚先生曾说:“数形结合百般好，隔裂分家万事非”.生:通过数形结合，将计算转化成图形，既巧妙又简单.师:还有其它求法吗?生:先通分，再算分子之和.（三） 变更对象，引发冲突师:很好，通分是最基本的求和方法，其实通分之后分子也是一个等比数列求和.如果是求前100项的和，就不易求出结果了.师:倘若是求，尝试一下数形结合还易求解吗?生众:(一片茫然).师:同样的，我们本想用总的长度1减
10、去剩余部分的长度，但作图有些困难而且从图像上也不好观察，因此数形结合解决就有些困难了.（四） 原有方法，试用失效师:请同学们回想一下，数列求和都用过一些什么方法呢?生:倒序相加法.师:我们曾探究过用“倒序相加法”求等差数列的前n项和，请看能否解决这个问题?生众:不能.师:为什么呢?生众:因为使用倒序相加法，则要求每一组倒序相加的结果要相等.师:用倒序相加法求等差数列的前n项和时，根据等差数列的性质将数列求和化简为求积，显然发现倒序相加后不能化简.（五）探索成功，获取对象师：那我们该如何思考？生：类比求数列通项公式与前n项和的关系（教材第7页），能否采用消项的方法?比如求和等式乘以两边分别乘以1
11、/2或2，再错位相减，就可以了.师:非常好，掌声鼓励!这需要同学们进行思维训练，初学时确实非常困难，不易掌握.（六）观察比较，生成方法为什么会产生如此奇妙的效果呢?请同学们仔细观察一下，两个式子有着怎样特别的联系呢?生:两个式子都是等比数列，式的每一项乘以公比之后得到了式.师:非常好，观察的非常仔细(掌声鼓励)!根据等比数列的定义和通项公式， 再错位相减，整理，即可.（七） 有限到无限，提升思维师:整个过程，我们只需要乘以公比，作差消项，化简整理。从有限项求和到无限项求和，推导一下：学生上台板演.求和生：解答之后，学生展讲.师:作差时，我们注意到这n-1个相同项在位置上有“错位”的特点，为便于
12、大家形象而直观的记住它，故取名为:“错位相减法”.（八）特殊到一般，明晰方法师:整个过程，我们只需要乘以公比，作差消项，化简整理。探究出了等比数列的前6项和，同学们能否根据这个求和方法,推导求等比数列的前n项和公式.（九）归纳步骤，推导公式，由得 即当时，； 当时，.（十）分析公式，提炼思想（1）推导公式时，须对与时分类讨论，强化分类讨论思想； （2）公式应用时，公式即为关于与五个变量的方程，提炼函数与方程思想；（3）对象的变化，特殊到一般的思想.（十一）典型例题，巩固提高师:我们探索出了等比数列的前n项和公式S，下面就进行简单的运用，请大家完成.例 已知数列是等比数列.（1）若，求；（2）若
13、，求；（3）若，求n.（十二）学以致用，目标检测练习EX.（1）求和： （2）等比数列为，求它的前多少项和等于？（十三）回归教材，故事精彩国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说:“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放.即每一.个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了.”国王听后哈哈大笑道:“好吧!我答应你这个谦卑的请求.事实上这是不可能的.这是因为：，大约7000亿吨，小麦按2022年世界粮食总产量约为28亿吨来计算，是全世界粮
14、食产量的270多倍.（十四）归纳概括，课堂小结1.数学知识：等比数列的前n项和公式：2.数学方法：通分求和，错位相减法3.数学思想：转化与化归，特殊与一般，函数与方程思想（十五）回到情境，励志少年它告诉我们毎天加倍努力，未来不可估量;这表明庄子“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的极限限思想，同吋也告泝我们，毎天努力減半，未来实力有限。所以，努力吧，同学们，争做一名追风少年!（十六） 作业布置，拓展提升1.必做题：教科书第37页.练习第1题，第3题.2.选做题：教科书第40页.习题4.3复习巩固第3题.3.课后探究：研究性学习在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，在第二个格子里放上格子序号的2倍的麦粒
15、，在第三个格子里放上格子序号的4倍的麦粒，在第四个格子里放上格子序号的8倍的麦粒，依次类推，直到第六十四个格子.试给出足够的麦粒来实现上述要求.（十七）建立模块，发展素养1.建立了等比数列前n项和公式模块;2.生成了错位相减法;3.发展了数学抽象，数学建模，数学运算等核心素养.（十八）规范书写，板书设计等比数列的前n项和公式1.等比数列的前n项和公式：2.数学方法：通分求和，错位相减法3.数学思想：转化与化归，特殊与一般，分类与讨论，函数与方程 六、教学设计反思本课注重数列教学的整体性，以系统观为指导，在数列“一般观念”的指引下，采取数列公式教学应有的 “猜想” “证明”“应用”的教学模式除此
16、之外，在新课程、新教材、新高考大背景下，力图突出教学过程中学生的主体地位，渗透数学学科的核心素养，达到数学育人的根本任务，尊重学生的认知规律，尊重知识的发生、发展、形成过程整个教学情景线上围绕如何推导等比数列求和展开，教学流程上遵照三个基本的教学环节围绕“找公式”，“证公式”，“用公式”进行展开（用公式主要落实在第2课时，其中第2课时略写，毕竟是单元教学设计），终极目标是让学生在猜想中提炼，在证明中延伸，在应用中升华；教学策略上让学生课前预习教材，自主学习，课间展示成果，质疑互学，课下探索实例，师生交流，让学生真正意义上做课堂的主人可取之处：教学设计上以生为本，教师始终扮演“引路人”的角色，通
17、过问题驱动，突出了数学源于生活，服务于生活让学生在以后的生活中，会用等比数列求和的眼光观察生活中数列问题（如银行中的存款的复利），用数列的语言表达生活中的数列问题，用所学到的等比数列知识分析生活中出现的等比数列求和知识改进之处：本节课在公式猜想，归纳，证明，运用等都做了力所能及的工作但等比数列求和从一定程度上是一种代数变形，求和理论基础是等比数列的定义，求和本质是消项，让学生通过特殊到一般公式推导的体验过程，尤其是涉及到一些如错位相减这一常用求和技巧认识不到位教学环节中应增设公式推导的其他可能本源性思考，如为什么要这么变形，求和的本质是什么当然万事万物都有两面性，教学是解决教与学的矛盾，而我们也只能尽力解决一些主要矛盾，不足之处需要在接下来的教学过程中逐步完善，同时如何在教育教学中落实“四基”，“四能”，如何更有效的发展学生的学科素养？践行生态课堂，我们坚信教育教学一直在路上路漫漫其修远兮，吾将上下而求索7学科网（北京）股份有限公司