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1、2.2 线性方程与常数变易法5/17/2023 常微分方程一阶线性微分方程5/17/2023 常微分方程一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法5/17/2023 常微分方程代入(1)得积分得注 求(1)的通解可直接用公式(3)5/17/2023 常微分方程例1 求方程通解,这里为n 常数解:将方程改写为首先,求齐次方程 的通解从分离变量得两边积分得5/17/2023 常微分方程故对应齐次方程通解为其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即积分得故通解为5/17/2023 常微分方程例2 求方程通解.解:但将它改写为即故其通解为5/17/2023 常微分方程例3 求值问题的解.解:先求原方程的通
2、解5/17/2023 常微分方程故所给初值问题的通解为5/17/2023 常微分方程形如的方程,称为伯努利方程.解法:5/17/2023 常微分方程例4 求方程的通解.解:解以上线性方程得5/17/2023 常微分方程例5 R-L 串联电路.,由电感L,电阻R 和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R 和电源的电动势E 均为常数,试求当开关K 合上后,电路中电流强度I 与时间t 之间的关系.二 线性微分方程的应用举例电路的Kirchhoff 第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.5/17/2023 常微分方程则电流经过电感L,电阻R 的电压降分别为 解线性方程:解:于是由Kirchhoff 第二定律,得到 设当开关K 合上后,电路中在时刻t 的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:5/17/2023 常微分方程故当开关K 合上后,电路中电流强度为5/17/2023 常微分方程作业P37 7,8,11,12,15,16,205/17/2023 常微分方程