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1、 2.2 2.2 线性方程与常数变易法线性方程与常数变易法/Linear ODE and variation of constants Method/本节要求本节要求/Requirements/熟练掌握线性方程线性方程和伯努利方程伯努利方程的求解方法。了解黎卡提方程黎卡提方程的简单性质及其求解方法。内容提要内容提要/Constant Abstract/2023/3/32常微积分方程-重庆科技学院-李可人一一 、一阶线性微分方程一阶线性微分方程/FIRST-ORDER LINEAR/FIRST-ORDER LINEAR ODE/ODE/(2.2.1)的方程称为一阶线性微分方程一阶线性微分方程(即
2、关于 是线性的)其中 为 x 的已知函数。当 时，称为齐次线性方程齐次线性方程;当 时，称为非齐次线性方程非齐次线性方程。形如一般形式(2.2.2)2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/33常微积分方程-重庆科技学院-李可人假设 函数在区间AXB上连续,则根据解的存在性及唯一性定理可知，在区域 方程(2.2.1)的初值问题的解是存在唯一的。(2.2.1)2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/34常微积分方程-重庆科技学院-李可人（1 1）齐次齐次线性方
3、程线性方程/Homogenous Linear ODE/Homogenous Linear ODE/解法解法:分离变量，得:积分，得:.(2.2.2)2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/35常微积分方程-重庆科技学院-李可人得 因为为(2.2.2)的解,所以其通解为:.(2.2.3)其中c为任意常数。满足初始条件 的解是.(2.2.3)2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/36常微积分方程-重庆科技学院-李可人由公式(2.2.3)得，所求特解为:由公
4、式(2.2.3)得，所求通解为：解解例例1 1 的通解,并求满足条件的 特解 试求微分方程 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/37常微积分方程-重庆科技学院-李可人（2）非齐次线性方程非齐次线性方程/NON-HOMOGENOUS LINEAR ODE/采用常数变易法常数变易法求解设想方程 有形如(2.2.3)的解，但其中的常数c变易为x的待定函数 即设.(2.2.4)(2.2.3)方程的解。2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/38常微积分方程-重
5、庆科技学院-李可人 上式代入方程(2.2.1)，得:即:积分得:2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/39常微积分方程-重庆科技学院-李可人代入(2.2.4).(2.2.5)得:同时，方程满足初始条件的特解为:2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/310常微积分方程-重庆科技学院-李可人其中第一项是线性齐次方程的通解，第二项是线性非齐次方程特解。非齐次线性方程通解的结构：通解等于其对应齐次方程通解与自身的一个特解之和。通解等于其对应齐次方程通解与自身的
6、一个特解之和。由(2.2.5)得:2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/311常微积分方程-重庆科技学院-李可人例例2 2 解解1)先求对应的齐次方程通解 2)用常数变易法求方程通解 设是方程的解，代入原方程，得 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/312常微积分方程-重庆科技学院-李可人说明：说明：对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。对于一阶线性方程，也可直接用通解公式计算得出。2.2 Linear ODE and variation o
7、f constants Method2023/3/313常微积分方程-重庆科技学院-李可人例例3 3 解解1)转换变量位置2)用公式求方程通解 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/314常微积分方程-重庆科技学院-李可人有时方程关于x 为y 的函数，方程关于于是仍可以根据上面的方法求解。注意注意:不是线性的，但如果视是线性的，2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/315常微积分方程-重庆科技学院-李可人练习练习 2.2 Linear ODE and
8、variation of constants Method2023/3/316常微积分方程-重庆科技学院-李可人解解 1)先解齐次方程积分，得：2)设,代入原方程，得:练习练习 (1)2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/317常微积分方程-重庆科技学院-李可人化简得:所以，通解为:2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/318常微积分方程-重庆科技学院-李可人练习练习 (2)解解用公式求解,即:2.2 Linear ODE and variation
9、of constants Method2023/3/319常微积分方程-重庆科技学院-李可人解解方程可以改写为:练习练习 (3)故通解为:即:2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/320常微积分方程-重庆科技学院-李可人二、二、可化为线性方程的方程可化为线性方程的方程1 1 伯努利方程伯努利方程/Bernoulli ODE/2*2*黎卡提方程黎卡提方程/Riccati ODE/2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/321常微积分方程-重庆科技学院-李可
10、人1 1 伯努利方程伯努利方程/Bernoulli ODE/形如的方程称为伯努利方程，其中它通过变量代换可化为线性方程。解法解法：将方程(2.2.6)的各项同乘以得:令 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/322常微积分方程-重庆科技学院-李可人用上式求解后，代入原变量,便得原方程的通解。2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/323常微积分方程-重庆科技学院-李可人例例4 4将方程改写为:解解故 2.2 Linear ODE and variatio
11、n of constants Method2023/3/324常微积分方程-重庆科技学院-李可人2 2 黎卡提方程黎卡提方程/Riccati ODE/l形如 的方程称为黎卡提方程黎卡提方程。l特点:在一般情况下，此类方程的解不能用初等函数及其积分形示表示，如果先由观察法或其他方法知道它的一个特解时，才可以通过初等积分法，求出它的通解。2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/325常微积分方程-重庆科技学院-李可人解法 若方程有一特解为设则化为伯努利方程。2.2 Linear ODE and variation of cons
12、tants Method2023/3/326常微积分方程-重庆科技学院-李可人 由观察看出是方程的一个特解，于是 令 ，则得 解解 故原方程的通解为例例5 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/327常微积分方程-重庆科技学院-李可人例例6 6 试求形如的特解,解此微分方程。解解 设 代入方程得:所以 故是方程的一个特解。令 于是方程化为伯努利方程 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/328常微积分方程-重庆科技学院-李可人故原方程的通解为 2.2
13、Linear ODE and variation of constants Method2023/3/329常微积分方程-重庆科技学院-李可人练习练习 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/330常微积分方程-重庆科技学院-李可人练习练习方程各项同除以得:解解 令于是方程化为:即 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/331常微积分方程-重庆科技学院-李可人解解经观察，方程有一个特解令练习练习 2.2 Linear ODE and variation
14、of constants Method2023/3/332常微积分方程-重庆科技学院-李可人思考题思考题 2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/333常微积分方程-重庆科技学院-李可人提示提示:1 2 3（线性方程）（伯努利方程）（线性方程）2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/334常微积分方程-重庆科技学院-李可人解解 原方程可改写为:故通解为:2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/335常微积分方程-重庆科技学院-李可人即:或：2.2 Linear ODE and variation of constants Method2023/3/336常微积分方程-重庆科技学院-李可人