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1、第6 章 集合的基数1第1 页，本讲稿共28 页无穷集与Galileo悖论n Galileo悖论n N+=1,2,n,n N(2)=1,4,n2,n 哪一个集合的元素更“多”一些呢？n 部分=全体？伽利略(1564 1642)2第2 页，本讲稿共28 页康托(Cantor,Georg)(1845-1918)比较两个集合的“大小”有两种方法:1.数集合中元素的个数,这只使用于有限集合.2.看两个集合的元素间是否有一一对应的关系(双射).这种方法既适用于有限集合,也适用无限集合.3第3 页，本讲稿共28 页集合的等势关系n 比较集合的大小并不容易n 等势关系的定义:q 如果存在从集合A到集合B的双
2、射,则称集合A与B等势.集合A与B等势记为:A B,否则A Bq A B意味着:A,B中的元素可以“一一对应”.q 要证明A B,找出任意一个从A到B的双射即可.n 例如下面集合间是等势的。q N=0,1,2,3,4,.,A=0,2,4,6,8,.,f:N A,f(x)=2xq B=1,3,5,7,9,.,g:N B,g(x)=2x+1 4第4 页，本讲稿共28 页可列集(无穷可数集)n 与自然数集等势的集合称为可列集q 定理1 集合A是可数集,充分且必要条件是可将A的元素写成序列形式,即A=a0,a1,a2,a3,.q 直观上说:集合的元素可以线性排列,对派定序列中任一元素,可以说出:它“前
3、”、“后”元素是什么n 可列集的例子q 整数集是可列集q 自然数集的笛卡儿乘积是可列集q 有理数集是可列集:f:N Q,f(n)=“第n个分数”(按照某种排列)5第5 页，本讲稿共28 页整数集合Z N因为Z可以写成:Z=0,-1,1,-2,2,-3,3,-4,4,.即可将Z中元素从0开始按照箭头指定次序排列：0 1 23-1-2-3所以 Z是可数集。6第6 页，本讲稿共28 页0 1 2 3 4 43210点(x,y)表示有序对NN N01324567897第7 页，本讲稿共28 页表示ZZ N8第8 页，本讲稿共28 页表示x/y3201有理数集合Q N9第9 页，本讲稿共28 页Cant
4、ors 1877 letter to Dedekind:“I see it,but I dont believe it!”10第10 页，本讲稿共28 页n 定义 集合A的元素个数称为集合的基数或势,可记为|A|n 在有限集中集合的基数是一个自然数q A=1,2,3,4,5,|A|=5q A=a,b,c,x,y,z,|A|=26n 无限集合中集合的有专门的符号表示q 自然数集合N的基数:0(读:阿列夫零)q 与自然数集等势的集合,其基数也是0集合的势11第11 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法与不可数集实数轴上的(0,1)区间中的实数是不可数的.证明:反证法.假设(0,1)是可数的,则
5、可以将它的元素写成序列形式:r1,r2,r3,.,其中 ri=0.ai1ai2ai3 i=1,2,3,.即 0 ri1 aik0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 k=1,2,3,4,构造一个数revil=0.b1b2b3,其中biaii于是 revilr1,revil r2,revil r3.revil(0,1)产生矛盾,所以(0,1)是不可数的.12第12 页，本讲稿共28 页 r10.a11a12a13a14a15 r20.a21a22a23a24a25 r30.a31a32a33a34a35 r40.a41a42a43a44a45 r50.a51a52a53a54a55:revil0
6、.b1b2b3b4b5 Decimal expansions of ri biaii,i=1,2,3,.13第13 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法 r10.r20.r30.r40.r50.r60.r70.:revil0.Decimal expansions of ri 14第14 页，本讲稿共28 页 r10.1 2 3 4 5 6 7 r20.r30.r40.r50.r60.r70.:revil0.Decimal expansions of ri Cantor对角线法15第15 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法 r10.1 2 3 4 5 6 7 r20.1 1 1 1 1
7、 1 1 r30.r40.r50.r60.r70.:revil0.Decimal expansions of ri 16第16 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法 r10.1 2 3 4 5 6 7 r20.1 1 1 1 1 1 1 r30.2 5 4 2 0 9 0 r40.r50.r60.r70.:revil0.Decimal expansions of ri 17第17 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法 r10.1 2 3 4 5 6 7 r20.1 1 1 1 1 1 1 r30.2 5 4 2 0 9 0 r40.7 8 9 0 6 2 3 r50.r60.r70.:
8、revil0.Decimal expansions of ri 18第18 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法 r10.1 2 3 4 5 6 7 r20.1 5 1 1 1 1 1 r30.2 5 4 2 0 9 0 r40.7 8 9 0 6 2 3 r50.0 1 1 0 1 0 1 r60.r70.:revil0.Decimal expansions of ri 19第19 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法 r10.1 2 3 4 5 6 7 r20.1 5 1 1 1 1 1 r30.2 5 4 2 0 9 0 r40.7 8 9 0 6 2 3 r50.0 1 1 0
9、 1 0 1 r60.5 5 5 5 5 5 5 r70.:revil0.Decimal expansions of ri 20第20 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法 r10.1 2 3 4 5 6 7 r20.1 5 1 1 1 1 1 r30.2 5 4 2 0 9 0 r40.7 8 9 0 6 2 3 r50.0 1 1 0 1 0 1 r60.5 5 5 5 5 5 5 r70.7 6 7 9 5 4 4:revil0.Decimal expansions of ri 21第21 页，本讲稿共28 页Cantor对角线法 r10.1 2 3 4 5 6 7 r20.1 5
10、1 1 1 1 1 r30.2 5 4 2 0 9 0 r40.7 8 9 0 6 2 3 r50.0 1 1 0 1 0 1 r60.5 5 5 5 5 5 5 r70.7 6 7 9 5 4 4:revil0.5 4 5 5 5 4 5 Decimal expansions of ri 22第22 页，本讲稿共28 页n(0,1)区间的基数是一个比N的基数0更大的无限大的数,用(读:阿列夫)表示.即 0.n 整个实数集合R(0,1)q 证明:构造函数f:(0,1)Rq f(x)=tg(x-/2)q 显然 f是双射,所以R(0,1).n 实数轴上的任何一段连续区间(a,b)的基数都是,所以称
11、之为连续统基数.0 123第23 页，本讲稿共28 页康托尔定理n 任何集合与其幂集不等势.即:S P(S)n 康托尔悖论:不存在“一切集合的集合”.ABCSBACP(S)A,BB,CA,CA,B,Cf满射,故存在 y S 使得 f(y)=CONFUSEf.设 f:S P(S)是双射.CONFUSEf=x|x S,x f(x)y属于集合CONFUSEf么?由CONFUSEf的定义，y CONFUSEf iff.y CONFUSEf24第24 页，本讲稿共28 页康托尔(Georg Cantor 1845-1918)n“无限！再没有其它问题如此深刻地打动过人类的心灵。”-戴维。希尔伯特n“由康托
12、尔在1874-1895年创造地集合论的引起争论的题目，象征着19世纪有先见之明的预言家们认为是从物理科学到民主政府的一切事物中，极其合理的原则的总崩溃，这些预言家们预见到了一切，只是没有预见到这场大崩溃。”n“悖论和自相矛盾开始同时出现，这些可能最终是康托尔的理论注定要对数学做出的最大贡献，因为它们就在围绕无穷的逻辑和数学推理的基础中意想不到地存在，是现在整个演绎推论中批判运动地直接启迪。我们希望从这里能得出一个更丰富、更“真实”摆脱了不一致的数学。上述两段摘自 E.T.贝尔：数学精英25第25 页，本讲稿共28 页数学史上的“三次危机”n 第一次危机q 芝诺悖论(关于运动的四个悖论，如“飞箭
13、不动”)，导致数学真正严谨性的开始(公理化)n 第二次危机q 微积分悖论(无穷小量等于零吗？“那逝去的量的鬼魂”)，导致极限论的诞生n 第三次危机q 有关一切集合的集合的悖论，导致集合论公理化。26第26 页，本讲稿共28 页基数的比较定理2 设A是有限集合,则|A|0.定理3 设A是无限集合,则0|A|(可数集合是“最小的”无限集合.)由有限集和基数为0的无限集为基础构成了离散数学,而以基数为的无限集为基础则构成了连续数学.数学的两大门类即以不同的集合为基础所构成的.27第27 页，本讲稿共28 页根据现有的公理系统,既不能证明连续统假设是正确的,也不能证明它是错误的!(1963年证明)连续统假设:是大于0的最小基数,不存在集合A使得 0|A|Paul Joseph Cohen(1934 2007)28第28 页，本讲稿共28 页