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1、第26讲 绝对连续函数第1页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数一.绝对连续函数的定义现在回到我们最初的问题上来：牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？第2页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数从单调函数的例子及上面的讨论不难看到，有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使牛顿莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强，这正是下面要引入的 定义8 设f是a,b上的函数，若对任意，存在，使得对于a,b中的任意一组分点：，只要，便有，则称f是a,b上的绝对连续函数，或称f在a,b上绝对连续。第3页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数二.牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件从定义立知,a,b上的绝对连续函数一定是一致
2、连续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？假设是a,b上的绝对连续函数，于是对任意，存在，使得只要，就有，取正整数N，使得，将分成N等分，设分点为第4页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数对a,b的任一分划添加进去，得新的分划，于是因此，。这就是说,连续函数一定是有界变差函数。下面的定理指出：对 绝 对 连 续 函数，牛顿莱布尼兹公式是成立的。第5页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数定理9 设上的绝对连续函数，则 上几乎处处可微,上Lebesgue可积，且证明：由上面的讨论，显然仅需证明等式成立。第6页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数对于 则上的可积函数，且第7页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数往证上积分等度绝对连续的函数序列。任取使得定义8中的不等式成立。设内一列互不相交的区间,使得,则对任意正整数,有第8页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数从而对任意，有进而第9页，本讲稿共20页第五节 绝对连续函数由积分的绝对连续性易知，第10页，本讲稿共20页