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1、第26讲 绝对连续函数现在学习的是第1页，共20页第五节 绝对连续函数一.绝对连续函数的定义现在回到我们最初的问题上来：牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？牛顿一莱布尼兹公式对何种函数成立？现在学习的是第2页，共20页第五节 绝对连续函数从单调函数的例子及上面的讨论不难看到，有界变差函数的导数虽然可积，但也未必能使牛顿莱布尼兹公式成立。因此条件还要加强，这正是下面要引入的 定义定义8 8 设设f f是是a,ba,b上的函数，若对任意上的函数，若对任意 ，存在，存在，使得对于使得对于a,ba,b中的任意一组分点：中的任意一组分点：，只要只要 ，便有，便有 ，则称则称f f是是a,ba,b上的上的绝
2、对连续函数绝对连续函数，或称，或称f f在在a,ba,b上上绝绝对连续对连续。现在学习的是第3页，共20页第五节 绝对连续函数二.牛顿一莱布尼兹公式成立的充要条件从定义立知,a,b上的绝对连续函数一定是一致连续的。绝对连续函数与有界变差函数又是什么关系呢？假设是a,b上的绝对连续函数，于是对任意，存在，使得只要，就有，取正整数N，使得，将分成N等分，设分点为现在学习的是第4页，共20页第五节 绝对连续函数对a,b的任一分划添加进去，得新的分划，于是因此，。这就是说,连续函数一定是有界变差函数。下面的定理指出：对对绝绝对对连连续续函函数数，牛牛顿顿莱莱布布尼兹公式是成立的。尼兹公式是成立的。现在
3、学习的是第5页，共20页第五节 绝对连续函数定理9 设上的绝对连续函数，则 上几乎处处可微,上Lebesgue可积，且证明：由上面的讨论，显然仅需证明等式成立。现在学习的是第6页，共20页第五节 绝对连续函数对于 则上的可积函数，且现在学习的是第7页，共20页第五节 绝对连续函数往证上积分等度绝对连续的函数序列。任取使得定义8中的不等式成立。设内一列互不相交的区间,使得,则对任意正整数,有现在学习的是第8页，共20页第五节 绝对连续函数从而对任意，有进而现在学习的是第9页，共20页第五节 绝对连续函数由积分的绝对连续性易知，现在学习的是第10页，共20页第五节 绝对连续函数进而对任意开集，只要
4、，便有若 是 型集，是开集,则可设 ，当k充分大时，也有,因此由（为什么？）立得现在学习的是第11页，共20页第五节第五节 绝对连续函数绝对连续函数现设 是任意可测集，则可找到 型集。使 于是 这说明 具有积分等 度绝对连续性，由Vitali定理立知现在学习的是第12页，共20页第五节 绝对连续函数证毕。现在学习的是第13页，共20页第五节 绝对连续函数 定理9告诉我们，绝对连续函数的确可以表示成其导函数的Lebesgue积分，但问题尚未得到圆满解决，因为我们还不知道绝对连续性是否为牛顿一莱布尼兹公式成立的必要条件，现在就来讨论这个问题。定理10 设 上的Lebesgue可积函数，且对任意 则
5、，则。现在学习的是第14页，共20页第五节 绝对连续函数证明：由 及积分的基本性质不难得知对a,b 内任意区间I，有,于是对a,b内任意开集G，也有,对a,b内任意闭集F,令则G是开集，注意到，从而现在学习的是第15页，共20页第五节 绝对连续函数现设E是a,b内任一可测集，则对任意正整数n，存在闭集 ，使得 ，由 积分的绝对连续性知对任意 ，存在N，当 时,有 因此，现在学习的是第16页，共20页第五节 绝对连续函数由的任意性知。如果 ，则 ，,至少有一个是 正测度集。从而存在正整数n，使或不妨设。，则现在学习的是第17页，共20页第五节 绝对连续函数这与上面的证明矛盾，故必有证毕。定理11
6、 设 是 上的Lebesgue可积函数，其中 c是任意常数，则 上的绝对连续函数，且。证明：由积分的绝对连续性立得上的绝对连 续函数，于是 几乎处处可微，且 在 上可积,现在学习的是第18页，共20页第五节 绝对连续函数并有。又由F的定义知,所以 对任意,有。由定理10便得。至此我们得到了：一个函数等于其导数的Lebesgue积分当且仅当该函数为绝对连续函数。由此可以证明，对于绝对连续函数，分部积分公式及换元公式都是成立的。具体说来即有下面的现在学习的是第19页，共20页第五节 绝对连续函数 推论1（分部积分法）设 ，均为 上的绝对连续，则 推论2（换元法）若设 是 上的可积函数，是单调绝对连续函数，推论1与推论2的证明作为练习留给读者。现在学习的是第20页，共20页