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1、第四章 多自由度体系结构的地震反应 4.1 概 述 4.2 多自由度体系的自由振动 4.3 多自由度体系的振型分解法 4.4 多自由度体系的水平地震作用及效应 4.5 多自由度体系地震反应的时程分析 4.1 多自由度体系的自由振动一、多自由度体系的基本概念1实际房屋的自由度：无限个。简化：有限自由度模型。2常用分析模型：层间模型。每层楼面、屋面可作为一个质点，墙柱质量则分别向上下质点集中。图4.1 层间模型计算简图 二、两自由度无阻尼运动方程的建立以两个自由度为例图4.2 两个自由度的层间剪切模型计算简图 1质点的运动质点绝对加速度:质点相对加速度:地面运动加速度恢复力惯性力2质点1的运动方程
2、平衡方程质点1运动方程(4.1)平衡方程惯性力恢复力(4.2)质点2运动方程3质点2的运动方程合并式（4.2）和（4.3），写成矩整形式(4.3)(4.4)考虑阻尼时采用瑞雷阻尼假定无阻尼自由振动方程(4.5)考虑两自由度情况,假定位移矢量(4.6)三、多自由度体系的自振频率(4.7)代入式4.5(4.8)或(4.9)展开(4.10)(4.11)频率方程 第一自振圆频率，第二自振圆频率，频率特征 较大的为第一自振周期，较小的为第二自振周期，较小的为第一自振频率，较大的为第二自振频率，1)体系的运动包含若干个频率的振动.2)每一个频率的振动有何特征？3)不同频率运动之间的关系？振型概念：对应某一
3、自振频率各质点位移间的关系频率方程X11、X12X21、X22特点：位移幅值的比值为常数四、多自由度体系的振型1对应某一自振频率各质点位移幅值的比值?位移比值仍为常数2对应某一自振频率各质点任意时刻位移的关系1)多自由度运动方程的特点耦联的微分方程;2)质点的运动包含所有振型频率;3)各主振型之间具有关系？3体系运动的组成：包含所有的频率和振型(4.12)频率方程(4.13)左乘(4.12)(4.14)4振型的正交性：任意两个不同频率的主振型之间存在互相正交的性质左乘(4.13)(4.16)式(4.15)式(4.16)振型关于质量矩整正交性(4.17)转置变换(4.15)同样可得 振型关于刚度
4、矩整正交性(4.18)进一步可得 振型规格化例4.1 三层剪切结构如图示，求该结构自振频率和振型解:周期与自振频率的关系可得结构的各阶自振周期分别为为求第一阶段型，将 代入同样可得第一振型 第二振型 第三振型1）体系的最大变形能2）体系的最大动能3）能量守恒原理五、结构周期的计算（一）基本周期的实用近似计算1能量法对应第一振型，假定将质点的重力荷载视为水平力所产生的质点处的水平位移各层重力荷载为解：将各楼层的重力荷载当做水平力产生的楼层剪力为例4.2 用能量法求4.1基本周期则将楼层重力荷载当做水平力所产生的楼层水平位移为与精确解误差为2%基本思想：用一个等效单质点体系代替原来的多质点体系。等
5、效原则为：2等效质量法1）等效单质点体系与原多质点体系的基本自振频率相等；2）等效单质点体系自由振动的最大动能与原多质点体系的基本自由振动的最大动能相等。多质点体系按第一振型振动的最大动能等效单质点体系的最大动能连续质量体系弯曲型悬臂构剪切型悬臂构弯、剪型悬臂结构介于前两者之间。等效单质点体系的频率 体系在等效质点处受单位水平力所产生的水平位移。例4.3 用等效质量法求4.1基本周期与精确解的相对误差为在单位质点下施加单位水平力产生的水平位移为3顶点位移法基本思想：将悬臂结构的基本周期，用顶点位移来表示，而该顶点位移为将结构重力荷载作为水平荷载作用在结构顶点所产生的假想顶点位移。对质量沿高度均
6、匀分布的等截面弯曲型悬臂杆将重力荷载作为水平荷载产生的顶点位移为：剪切型悬臂杆弯剪型悬臂杆 例4.4 用顶点位移法求4.1基本周期 与精确解的误差为3%该结构属于剪切型悬臂杆（二）求解结构体系自振频率及振型的其它方法1广义雅可比法 求解自振频率及振型的问题归结为求解式（4.20）中的特征值 和特征向量 的问题。广义雅可比法的基本思路是寻找合适的相似转换矩阵 和，使 于是特征值 由于变换为相似变换，所得的特征值即为式（4.20）的特征值 P67、69、70例题2利用Matlab编程求解3矩阵迭代法（stodola法）矩阵迭代法是首先假定振型形状，经过迭代调整一直到获得满意的结果，然后再确定自振频
7、率假定体系的刚度矩阵的逆矩阵 存在，将其左乘式（4.20）（a）令，得（b）式（b）就是迭代方程，式中矩阵 代表了结构的所有动力特征，所以也叫动力矩阵。矩阵迭代法的迭代步骤如下：（1）先假定一个试探振型（其中下标1表示第一振型，上标0表示初始迭代振型。将其代入式（b）得（c）（2）一般说 和 是不一样的（除非 是真实的振型）。再将 代入式（b）得到（d）其中 是第二次近似振型矢量（3）如果 和 间误差满足要求，则式（d）中的 就是所求的特征值。如两者误差不满足要求，则继续进行迭代。可以证明，该迭代过程最终将收敛于第一振型。4.2 多自由度体系的振型分解法一、振型分解法基本概念1思路：利用各振型
8、相互正交的特性，将原来耦联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若干个单自由度体系的问题；2求解：在求得了各单自由度体系的解后，再将各个解进行组合，从而可求得多自由度体系的地震反应。3两自由度体系振型分解法1）坐标变换（4.21）坐标变换 和2）振型乘以组合系数叠加将实际位移按振型加以分解，故称为振型分解法。二、多自由度体系振型分解振型分解式（4.22）将质点地震作用下任一时刻的位移用其振型的线性组合表示其中假定阻尼矩阵 可表示为 体系的运动方程将 代入上式，（4.23）并左乘振型矢量 得 考虑式（4.23）左端第一项 利用振型正交性类似地，可推得：将上述
9、各式代入式（4.23），（4.24）并除以系数 得式中（4.25）称为 j 振型参与系数令式（4.24）中（4.26）则式（4.24）可改写成（4.27）（4.28）称为对应于第 振型的振型阻尼比，系数 及 可通过体系第一振型及第二振型的频率及阻尼比确定。已解耦的第j个广义坐标的运动方程 依次取，可得n个独立的微分方程，即在每一个方程中仅含有一个未知量，从而，可运用单自由度体系的求解方法，求得将求得的各广义坐标 代入式（4.22），可求得各质点的位移比较单自由度情况（4.27）第j振型位移反应表达式（4.29）令 阻尼比为，自振频率为 的单自由度体系的位移反应，对比式（4.27），可知第j振型
10、的解即位移反应，而i 质点的位移反应为 式（4.25）中的 称为第j振型的参与系数，它满足下式（4.30）P76有证明三、多自由度体系地震反应振型分解法的求解步骤1）求体系的自振频率和振型。2）计算振型参与系数。3）求解耦的各阶单自由度体系的广义坐标。4）按振型叠加原理计算各质点的位移：4.3 多自由度体系的水平地震作用及效应 适合于工程抗震设计的方法：简单、实用；需要的关键参数：各质点反应的最大值；简化分析方法：在振型分解法的基础上，结合运用单自由度体系的反应谱理论，推导出实用的振型分解反应谱法；在某些特定的条件下，还可推得更为简单实用的底部剪力法。一、振型分解反应谱法 多自由度体系的水平地
11、震作用可用各质点所受的惯性力来代表，故质点i上的地震作用为由式（4.30），可写成（4.33）而由式（4.29）可知从而（4.34）式中（4.35）称为对应于第j振型质点i的水平地震作用 相当于单自由度的地震反应利用单自由度反应谱（4.36）？单自由度时定义地震影响系数（4.37）即为对应于j振型自振周期为 的单自由度体系的地震影响系数，可按单自由度体系的地震影响系数确定。（4.38）对应于第j振型质点i的最大地震作用为 利用规范给出的反应谱曲线，可方便地求得对应于某一振型各质点的最大地震作用所产生的作用效应（弯矩、剪力、轴力、位移等）（4.39）各振型产生的地震作用效应 S为总的地震作用效应
12、，为对应于第j振型该处结构的地震作用效应。当某一振型的地震作用达最大值时，其余各振型的地震作用不一定也达到最大。从而结构地震作用的最大值并不等于各振型地震作用最大值之和根据随机振动理论，近似地取“平方和开方”。振型的地震组合时振型反应数的确定 结构的总地震反应以低阶振型为主，高阶振型的影响较小：1）一般情况下，可取结构前23阶振型进行组合，但不多于结构自由度；2）当结构基本周期大于1.5s或高宽比大于5时，可适当增加。例题分析例题4.5 三层框架结构，假定横梁刚度无穷大，两柱截面相同，各层重量及三个振型及对应的周期如图4.3所示，设防烈度为7度,类场地设计地震动分组为第二组，结构阻尼比 为0.
13、05，试用振型分解反应谱法求水平地震作用下框架梁的弯矩。图4.3三层框架各层的重量和振型 解 查第五章表5.5和地震影响系数曲线（图5.2）则对于第一振型地震影响系数第j振型参与系数第一振型参与系数 对应第一振型的地震作用 对应第二振型的地震作用对应第三振型的地震作用 根据各振型的地震作用，可求出各振型地震作用下框架的弯矩如4.4所示；按平方和开方的组合原则，可求得各振型组合后框架弯矩图，如图4.5所示第一振型弯矩 第二振型弯矩第三振型弯矩 各振型组合弯矩图 二、底部剪力法(寻求更为简便的适合设计的方法）1适用条件：结构的质量和刚度沿高度分布比较均匀；房屋的总高度不超过40m；建筑结构在地震作
14、用下的变形以剪切变形为主；建筑结构在地震作用时的扭转效应可忽略不计。2底部剪力计算按振型分解反应谱法，j振型质点的地震作用为（4.40）j振型下结构的底部剪力为 式中 基本振型下的地震影响系数；结构总的重力荷载代表值；为质点i的重力荷载代表值。按“平方和开方”的振型组合原则，结构的底部剪力为（4.41）为系数,抗震规范规定，当n=1时，取 1，而当n 1时，取 0.85，并定义等效总重力荷载代表值GeqGE，因此，其底部剪力（或称总水平地震作用）为（4.42）回忆单自由度的形式?各质点的水平地震作用近似地取为对应于第一振型的地震作用。3总底部剪力的分配（4.43）根据第一振型近似为直线的假定，
15、取（4.44）式中，Hi为质点i的计算高度，将式（4.44）代入式（4.43）（4.45）再根据各质点的水平地震作用之和等于总水平地震作用的条件，得 进一步得 将上式代入式（4.45），得（4.46）误差分析1）特殊情况处理 抗震规范规定，当结构基本周期 时，在顶点附加水平地震作用，即取 2）顶点的水平地震作用为（4.47）（4.48）其余各质点的地震作用为式中，为顶部附加地震作用系数，对多层内框架砖房，可取0.2，对多层钢筋混凝土房屋和钢结构房屋，可根据特征周期及房屋基本周期T1按第五章表5.7确定 鞭梢效应 突出屋面的小建筑，由于刚度和质量突然变小，局部地震反应有可能加剧，计算作用在小建筑
16、上的地震作用需乘以增大系数抗震规范规定为3,向主体结构传递时不乘增大系数。表6顶部附加地震作用系数 n例题分析例题4.6用底部剪力法求例4.5中三层框架弯矩图 地震影响系数 解等效总重力荷载代表值总水平地震作用由于查表5.7，得顶部附加地震作用系数上述地震作用在框架引起的弯矩如下图所示图4.6 底部剪力法和振型分解法计算结果比较底部剪力法计算结果振型分解法计算结果 4.4 多自由度体系地震反应的时程分析 对于特别不规则的建筑、特别重要的建筑，以及房屋高度和设防烈度较高的建筑，规范规定，宜采用时程分析法进行补充计算；当进行房屋结构的弹塑性变形验算时，由于结构已出现了明显的非线性，振型分解反应谱法
17、已不再适用，而需采用弹塑性时程分析法；当需要对建筑结构进行地震作用下的时程分析时，一 般均采用数值计算方法，较为常用的是 法及第三章介绍过的线性加速度法。4.5 多自由度体系地震反应的时程分析4.5.1多自由度体系的线性加速度法 类似于3.6.3节的推导;可根据体系的初始条件，一步一步地求得各时刻 体系的位移、速度、加速度反应。4.5.2多自由度体系的 法 在线性加速度法基础上改进得到的一种无条件收敛的数值方法，即只要参数 取得合适，无论取多大，均能取得收敛的计算结果 建筑结构抗震作业第四章思考题1.计算地震作用时结构的重力荷载怎样取值？2.怎样进行结构的振型分解？3.如何根据各振型的反应求结
18、构的总反应？其依据是什么？9、静夜四无邻，荒居旧业贫。5月-235月-23Wednesday,May 17,202310、雨中黄叶树，灯下白头人。15:22:3315:22:3315:225/17/2023 3:22:33 PM11、以我独沈久，愧君相见频。5月-2315:22:3315:22May-2317-May-2312、故人江海别，几度隔山川。15:22:3315:22:3315:22Wednesday,May 17,202313、乍见翻疑梦，相悲各问年。5月-235月-2315:22:3315:22:33May 17,202314、他乡生白发，旧国见青山。17 五月 20233:22
19、:33 下午15:22:335月-2315、比不了得就不比，得不到的就不要。五月 233:22 下午5月-2315:22May 17,202316、行动出成果，工作出财富。2023/5/17 15:22:3315:22:3317 May 202317、做前，能够环视四周；做时，你只能或者最好沿着以脚为起点的射线向前。3:22:33 下午3:22 下午15:22:335月-239、没有失败，只有暂时停止成功！。5月-235月-23Wednesday,May 17,202310、很多事情努力了未必有结果，但是不努力却什么改变也没有。15:22:3315:22:3315:225/17/2023 3:
20、22:33 PM11、成功就是日复一日那一点点小小努力的积累。5月-2315:22:3315:22May-2317-May-2312、世间成事，不求其绝对圆满，留一份不足，可得无限完美。15:22:3315:22:3315:22Wednesday,May 17,202313、不知香积寺，数里入云峰。5月-235月-2315:22:3315:22:33May 17,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。17 五月 20233:22:33 下午15:22:335月-2315、楚塞三湘接，荆门九派通。五月 233:22 下午5月-2315:22May 17,202316、少年
21、十五二十时，步行夺得胡马骑。2023/5/17 15:22:3315:22:3317 May 202317、空山新雨后，天气晚来秋。3:22:33 下午3:22 下午15:22:335月-239、杨柳散和风，青山澹吾虑。5月-235月-23Wednesday,May 17,202310、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。15:22:3315:22:3315:225/17/2023 3:22:33 PM11、越是没有本领的就越加自命不凡。5月-2315:22:3315:22May-2317-May-2312、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。15:22:3315:22:3315:22Wed
22、nesday,May 17,202313、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。5月-235月-2315:22:3315:22:33May 17,202314、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。17 五月 20233:22:33 下午15:22:335月-2315、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。五月 233:22 下午5月-2315:22May 17,202316、业余生活要有意义，不要越轨。2023/5/17 15:22:3315:22:3317 May 202317、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。3:22:33 下午3:22 下午15:22:335月-23MOMODA POWERPOINTLorem ipsum dolor sit amet,consectetur adipiscing elit.Fusce id urna blandit,eleifend nulla ac,fringilla purus.Nulla iaculis tempor felis ut cursus.感 谢 您 的 下 载 观 看专家告诉