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1、第三章第三章 单自由度体系结构的地震反应单自由度体系结构的地震反应 3.1 3.1 概述概述一、建筑结构的地震反应一、建筑结构的地震反应 地震反应：地面运动作用于房屋，在房屋结构中产生的地震反应：地面运动作用于房屋，在房屋结构中产生的内力、变形、位移、速度和加速度内力、变形、位移、速度和加速度。影响地震反应的因素：房屋结构的影响地震反应的因素：房屋结构的动力特性、地面运动动力特性、地面运动特性（幅值、频谱特性、持续时间）特性（幅值、频谱特性、持续时间）等。等。需求解一个动力学问题需求解一个动力学问题,很复杂。分析中需要进行简化。很复杂。分析中需要进行简化。房屋结构的简化：一般将一单层房屋房屋结
2、构的简化：一般将一单层房屋集中为一个质点，集中为一个质点，将竖向构件质量集中至上下两端。忽略质量的扭转效应，将竖向构件质量集中至上下两端。忽略质量的扭转效应，按单自由度考虑。按单自由度考虑。二、建筑结构的动力计算简图二、建筑结构的动力计算简图三、地震反应分析的目的三、地震反应分析的目的计算地震作用下结构的内力，进行结构抗震设计。计算地震作用下结构的内力，进行结构抗震设计。图3.1 单层排架计算简图图3.2 单层平面框架计算简图3.23.2 单自由度体系的自由振动单自由度体系的自由振动一、力学模型及运动方程一、力学模型及运动方程1.荷载作用下的运动方程荷载作用下的运动方程图3.3 单自由度体系分
3、析模型FI(t)弹性恢复力：弹性恢复力：惯性力：惯性力：P(t)阻尼力：阻尼力：外力：外力：4 质点所受的力：质点所受的力：达朗贝尔原理达朗贝尔原理(3.1)运动方程运动方程(3.2)阻尼比阻尼比c阻尼系数阻尼系数无阻尼自振圆频率无阻尼自振圆频率2.地面运动作用下运动方程地面运动作用下运动方程地面运动加速度地面运动加速度 质点绝对加速度：质点绝对加速度：质点相对地面加速度质点相对地面加速度惯性力：惯性力：质点的阻尼力：质点的阻尼力：恢复力：恢复力：达朗贝尔原理：达朗贝尔原理：(3.3)运动方程运动方程(3.4)1.单自由度体系的无阻尼自由振动单自由度体系的无阻尼自由振动一般解一般解二、运动方程
4、的解二、运动方程的解给定初始条件给定初始条件t=0时时:初位移初位移x 0，初速度，初速度0,则则 B=x 0,C=0/(3.5)(3.6)周期周期频率频率即即加速度加速度惯性力惯性力振幅振幅A 圆频率圆频率几个重要参数几个重要参数2.单自由度体系的有阻尼自由振动单自由度体系的有阻尼自由振动 结构中存在一种耗能的因素结构中存在一种耗能的因素阻尼：一般采用粘滞阻尼：一般采用粘滞阻尼理论，粘滞阻尼理论假定阻尼力与速度成正比，但阻尼理论，粘滞阻尼理论假定阻尼力与速度成正比，但方向与速度相反。方向与速度相反。(3.8)初始条件初始条件t=0时时:初位移为初位移为x 0，初速度，初速度为为0,B=x 0
5、(3.9)解的一般形式解的一般形式 有阻尼自振频率有阻尼自振频率(3.10)图图3.5 3.5 单自由度体系自由振动曲线单自由度体系自由振动曲线 解解 自振圆频率自振圆频率 有阻尼自振圆频率有阻尼自振圆频率 自振频率自振频率 自振周期自振周期 例例题题3.1 3.1 一一单单自自由由度度体体系系，质质点点质质量量m m为为204t204t，抗抗侧侧刚刚度度k k为为 ，阻阻尼尼比比取取为为0.050.05，求求体体系系的的自自振振特性。特性。代入初始条件：代入初始条件：t=0,位移位移x=0,初速度初速度0=Pdt/m得得3.单自由度体系在任意荷载作用下的受迫振动单自由度体系在任意荷载作用下的
6、受迫振动1)瞬时荷载作用下的自由振动瞬时荷载作用下的自由振动在方程解中在方程解中杜哈美积分杜哈美积分2)一般动力荷载作用下的动力反应一般动力荷载作用下的动力反应(3.12)?3)地面运动作用情况地面运动作用情况图3.6 埃尔森特罗地震记录 特点：不规则，不能用函数表示，如何特点：不规则，不能用函数表示，如何求解运动方程？求解运动方程？用用代入代入二、运动方程数值计算二、运动方程数值计算1.分析方法分析方法将时段将时段0 T划分为划分为n个时间段：个时间段：t0，t1,tk-1,tk tn-1,tn (3.14)3-4 单自由度体系地震反应的数值计算单自由度体系地震反应的数值计算一、地面运动作用
7、下的位移反应一、地面运动作用下的位移反应代入代入(3.13)杜哈美积分中用杜哈美积分中用在在tk,tk1内设定某种变化规律内设定某种变化规律（Wilson-法、线性加法、线性加速度法）速度法），从而可根据从而可根据tk时刻值，求得时刻值，求得tk1时刻的值。时刻的值。当当t=tk时时2.线性加速度法，假定线性加速度法，假定tk-1 tk 内的加速度满足下式：内的加速度满足下式：在区间在区间tk-1 tk内对上式进行积分，得内对上式进行积分，得(3.15)Bk-1(3.16)在区间在区间tk-1 tk内对内对(3.16)式进行积分，式进行积分，得得将上两项代入运动方程将上两项代入运动方程（3.1
8、6)sAk-1 例题例题3.2 3.2 已知单自由度体系质点质量为已知单自由度体系质点质量为200t200t，抗侧，抗侧移刚度移刚度k k7200KN/m7200KN/m，阻尼比，阻尼比 ，地面运动加速，地面运动加速度记录如表所示，试用线性加速度法计算质点的位移、度记录如表所示，试用线性加速度法计算质点的位移、速度、加速度及最大绝对加速度和最大水平地震作用速度、加速度及最大绝对加速度和最大水平地震作用（计算步长取（计算步长取0.1s0.1s，计算至，计算至1.2s1.2s）。）。0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.11.2108207300200950-150-19
9、8-120-1800 解解 自振频率自振频率按下列公式进行迭代计算按下列公式进行迭代计算最大绝对加速度最大绝对加速度 最大水平地震作用力最大水平地震作用力 求解地震作用下结构内力的方法求解地震作用下结构内力的方法 1.1.比较精确的方法：建立结构体系的动力学模型，根据比较精确的方法：建立结构体系的动力学模型，根据在地震作用下的在地震作用下的位移反应位移反应，利用刚度方程，直接求解内，利用刚度方程，直接求解内力。适用情况：力。适用情况：理论分析；理论分析；2.2.近似方法：根据地震作用下结构的近似方法：根据地震作用下结构的加速度反应加速度反应，求出，求出该结构体系的该结构体系的惯性力惯性力，将此
10、惯性力视作为一种反映地震，将此惯性力视作为一种反映地震影响的等效力，即影响的等效力，即地震作用地震作用，再进行结构的静力计算，再进行结构的静力计算，求出各构件的内力。求出各构件的内力。适用于结构设计适用于结构设计3.5 3.5 抗震设计反应谱抗震设计反应谱 抗震规范采用近似方法抗震规范采用近似方法 一、水平地震作用的基本公式一、水平地震作用的基本公式对于某一特定的地面运动对于某一特定的地面运动 ，体系的加速度反应体系的加速度反应 ，质点的绝对加速度为质点的绝对加速度为质质点的最大点的最大绝对绝对加速度加速度地震地震时结时结构构经经受的最大地震作用受的最大地震作用（3.17)二、地震影响系数二、
11、地震影响系数地震影响系数地震影响系数 包含包含地面运动强烈程度和结构反应地面运动强烈程度和结构反应大小大小 地震系数地震系数 反应地面运动强烈程度。反应地面运动强烈程度。一般，地震烈度愈大，地面一般，地震烈度愈大，地面运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数运动加速度愈大，地震系数也愈大，因而，地震系数与地震烈度之间有一定的对应关系。与地震烈度之间有一定的对应关系。动力系数动力系数(放大倍数）放大倍数）反应单质点体系反应单质点体系最大绝对加速度与地面运动最大加速度最大绝对加速度与地面运动最大加速度的比值，的比值，表示由于动力效应，质点的最大绝对加速度比表示由于动力效应，质点的最大绝对加速
12、度比地面运动最大加速度放大了多少倍地面运动最大加速度放大了多少倍.地震烈度地震烈度 6 7 8 9 地震系数地震系数k k 0.05 0.1 0.2 0.4地震烈度与地震系数的关系地震烈度与地震系数的关系 表表3 31 1三、水平地震作用的计算三、水平地震作用的计算关键要确定关键要确定 。影响因素：。影响因素：设防烈度，场区的地震动特性和场地条件设防烈度，场区的地震动特性和场地条件2.2.反应谱曲线的绘制反应谱曲线的绘制1)1)反应谱曲线：单质点结构反应（加速度、速度、位移）反应谱曲线：单质点结构反应（加速度、速度、位移）与结构自振周期的关系曲线。与结构自振周期的关系曲线。2)2)反应谱曲线的
13、确定反应谱曲线的确定已知结构的阻尼已知结构的阻尼(一般变化不大），场地特征，对某一一般变化不大），场地特征，对某一特特定的地面运动，地震加速度反应只与结构的周期有关，定的地面运动，地震加速度反应只与结构的周期有关，因因此可以求出加速度（速度、位移）此可以求出加速度（速度、位移）a a 与周期与周期T T的一一对应的一一对应关系，这样给定任一地面运动，即可做出一条关系，这样给定任一地面运动，即可做出一条a-T曲线称曲线称作作加速度反应谱曲线。加速度反应谱曲线。1.1.影响结构地震反应的因素：影响结构地震反应的因素：地面运动（加速度波）地面运动（加速度波）;场地特征（特征周期）场地特征（特征周期）
14、;结构动力特性（周期和阻尼）结构动力特性（周期和阻尼）.四、地震反应谱四、地震反应谱 3.3.反应谱曲线的特点反应谱曲线的特点1 1）多峰值；）多峰值；2)2)阻尼影响大；阻尼影响大；3)3)随周期变化规律显著随周期变化规律显著El CentroEl Centro波加速度反应谱波加速度反应谱El CentroEl Centro波速度反应谱波速度反应谱2)2)场地地面运动的选取场地地面运动的选取根据建筑特征选择数条合适的地面加速度波，绘制根据建筑特征选择数条合适的地面加速度波，绘制n条条a-T 曲线进行曲线进行统计拟合统计拟合确定出一条适合该建筑场地的确定出一条适合该建筑场地的反应谱曲线称为反应
15、谱曲线称为标准反应谱曲线标准反应谱曲线;3)3)标准反应谱曲线的利用标准反应谱曲线的利用已知结构的周期即可由已知结构的周期即可由标准反应谱曲线标准反应谱曲线直接查出加速度直接查出加速度反应。反应。1)地震动反应谱是某一个地震动记录的，同时有很多地震动反应谱是某一个地震动记录的，同时有很多峰值。不同地震记录的反应谱之间的差别很大。峰值。不同地震记录的反应谱之间的差别很大。需对大量的地震反应谱进行标准化、平均化处理，需对大量的地震反应谱进行标准化、平均化处理，得到设计反应谱。得到设计反应谱。4.4.标准地震加速度反应谱曲线标准地震加速度反应谱曲线五、五、抗震规范设计反应谱抗震规范设计反应谱1.1.
16、我国抗震规范中的设计反应谱即我国抗震规范中的设计反应谱即为地震影响系数为地震影响系数 曲线曲线.2.2.地震影响系数曲线的确定地震影响系数曲线的确定1)1)选用国内、外近选用国内、外近300300条地震纪录，按场地类别归类，统条地震纪录，按场地类别归类，统计拟合出标准地震影响系数曲线。计拟合出标准地震影响系数曲线。2)2)谱曲线的峰值谱曲线的峰值 ：取决于设防烈度和阻尼；：取决于设防烈度和阻尼；3.3.地震影响系数曲线地震影响系数曲线3)3)谱曲线的形状谱曲线的形状 场地条件决定：场地类型和地震分组（场地条件决定：场地类型和地震分组（分为第分为第一组、第二组、第三组）一组、第二组、第三组）阻尼
17、的影响：一般钢筋混凝土的阻尼比取阻尼的影响：一般钢筋混凝土的阻尼比取0.05,0.05,但建筑结构的阻尼比也会有较多变化：如但建筑结构的阻尼比也会有较多变化：如阻尼器的采用，钢结构房屋等阻尼比均不相同。阻尼器的采用，钢结构房屋等阻尼比均不相同。地震影响系数最大值，由地震影响系数最大值，由设防烈度设防烈度确定；确定；场地特征周期场地特征周期,根据根据场地类型和设计地震分组场地类型和设计地震分组确定；确定；地震影响系数；地震影响系数；结构自振周期。结构自振周期。曲线下降段的衰减指数曲线下降段的衰减指数,阻尼比阻尼比0.05（混凝土（混凝土或砌体结构）或砌体结构）时，时，0.9，阻尼比不等于阻尼比不
18、等于0.05（钢结构或（钢结构或耗能结构）耗能结构）时，按下式计算时，按下式计算。IIIIIIIV直线下降段的下降斜率调整系数直线下降段的下降斜率调整系数,阻尼比阻尼比0.05（混凝土或砌体结构）时（混凝土或砌体结构）时,=0.02；阻尼比不等阻尼比不等于于0.05 0.05（钢结构或耗能结构）时按下式计算（钢结构或耗能结构）时按下式计算。小于小于0时取时取0 阻尼调整系数，阻尼比阻尼调整系数，阻尼比0.05（混凝土结构（混凝土结构砌体）砌体）时为时为1；阻尼比不等于阻尼比不等于0.050.05（钢结构或耗能结构）（钢结构或耗能结构）时按下式计算时按下式计算。小于小于0.55时，应取时，应取0
19、.55。表表3.3 3.3 水平地震影响系数最大值水平地震影响系数最大值maxmax地震影响地震影响6度度7度度8度度9度度多遇地震多遇地震0.040.08（0.12）0.16（0.24）0.32罕遇地震罕遇地震-0.50（0.72）0.90（1.20）1.40 设防烈度设防烈度 6 7 8 9设计基本地设计基本地震加速度震加速度 0.05g 0.10 (0.15)g 0.20(0.30)g 0.40g表表3.2.3.2.设防烈度和地震加速度值的对应关系设防烈度和地震加速度值的对应关系六、设防烈度地震有关参数确定六、设防烈度地震有关参数确定地震加速度、水平地震影响系数最大值、特征周期地震加速度
20、、水平地震影响系数最大值、特征周期表表3.4 3.4 特征周期值特征周期值TgTg（s s）设计地设计地震分组震分组 场地类别场地类别 IIIIIIIV第一组第一组 0.25 0.350.450.65第二组第二组 0.300.400.550.75第三组第三组 0.350.450.650.90 例例题题3.3 3.3 按按规规范范反反应应谱谱方方法法计计算算题题3.23.2中中单单自自由由度度体体系系的的水水平平地地震震作作用用，设设防防烈烈度度为为8 8度度，类类场场地地，阻阻尼尼比比 为为0.050.05。并和时程分析法结果进行比较。并和时程分析法结果进行比较。解解 自振周期自振周期 查第五
21、章表查第五章表5.55.5和和地震影响系数曲线地震影响系数曲线（图（图5.25.2）可得）可得 8 8度对应的多遇烈度的地面运动加速度峰值约为度对应的多遇烈度的地面运动加速度峰值约为 ，参照例参照例3.23.2的结果，此时，用线性的结果，此时，用线性加速度法求得的加速度法求得的最大加速度反应为最大加速度反应为最大绝对加速度为最大绝对加速度为 最大水平地震作用最大水平地震作用3.6 3.6 单自由度体系的非线性地震反应与计算单自由度体系的非线性地震反应与计算 本节将考虑结构变形时的材料非线性，而阻尼仍采用本节将考虑结构变形时的材料非线性，而阻尼仍采用瑞利阻尼假定瑞利阻尼假定 3.6.13.6.1
22、材料的非线性材料的非线性 3.6.23.6.2单自由度非线性体系的运动方程单自由度非线性体系的运动方程3.6.33.6.3非线性运动方程的求解非线性运动方程的求解3.6.43.6.4恢复力模型恢复力模型 3.6.53.6.5单自由度体系地震反应计算程序单自由度体系地震反应计算程序 一、材料的非线性一、材料的非线性 当应力较小当应力较小时，建筑结构中常用的钢筋混凝土和砌体这两时，建筑结构中常用的钢筋混凝土和砌体这两种材料，应力和应变基本上呈线性关系，反映在宏观上，种材料，应力和应变基本上呈线性关系，反映在宏观上，构件所受的力或其恢复力和构件的变形或位移成线性关系，构件所受的力或其恢复力和构件的变
23、形或位移成线性关系，在力学模型中，在力学模型中，构件可理想化为一根线性弹簧。构件可理想化为一根线性弹簧。当变形增大，当变形增大，特别是材料出现裂缝后，应力和应变之间已特别是材料出现裂缝后，应力和应变之间已不再具有线性关系，有部分变形不能恢复，在宏观上，构不再具有线性关系，有部分变形不能恢复，在宏观上，构件的件的恢复力和变形之间不再具有线性关系。恢复力和变形之间不再具有线性关系。二、单自由度非线性体系的运动方程二、单自由度非线性体系的运动方程 当体系变形较大当体系变形较大,质点所受到的恢复力质点所受到的恢复力fsfs和质点变形和质点变形之间的非线性关系系数与质点的变形有关之间的非线性关系系数与质
24、点的变形有关（3.273.27）体系的运动方程为体系的运动方程为三、非线性运动方程的求解三、非线性运动方程的求解 运动方程在运动方程在tk-1时刻和时刻和tk时刻均成立，即时刻均成立，即 n后一式减去前一式，并记后一式减去前一式，并记 n上式称为单自由度体系增量形式的运动方程上式称为单自由度体系增量形式的运动方程 n假定假定 时段足够小系数时段足够小系数k k（x x）的变化可略去不计）的变化可略去不计 （3.283.28）参照式（参照式（3.183.18），（），（3.193.19），有），有 （3.303.30）（3.313.31）由（由（3.31）得）得（3.323.32）代入（代入（3
25、.30）得）得（3.333.33）将（将（3.32），（），（3.33）代入（）代入（3.29），得），得 整理后得整理后得 简写为简写为称称 为体系的拟刚度，而为体系的拟刚度，而 称为拟荷载增量称为拟荷载增量 四、恢复力模型四、恢复力模型 体系的恢复力模型反映了体系恢复力体系的恢复力模型反映了体系恢复力f fs s在体系整个振在体系整个振动过程中的变化规则。动过程中的变化规则。实际结构恢复力的变化情况是比较复杂的，图实际结构恢复力的变化情况是比较复杂的，图3.93.9所示所示是一砌体墙片在侧向力作用下实测得到的恢复力和墙是一砌体墙片在侧向力作用下实测得到的恢复力和墙片变形的关系，为了研究建筑
26、结构的非线性地震反应，片变形的关系，为了研究建筑结构的非线性地震反应，就必须根据大量实测得到的恢复力和变形的关系曲线，就必须根据大量实测得到的恢复力和变形的关系曲线，进行适当的简化和抽象，建立实用的恢复力模型。进行适当的简化和抽象，建立实用的恢复力模型。图3.9 砌体墙片恢复力和变形的关系“半退化三线型半退化三线型”恢复力模型恢复力模型 本节介绍适用于砌体结构非线性地震反应分析的本节介绍适用于砌体结构非线性地震反应分析的“半退化三线型半退化三线型”恢复力模型。恢复力模型。图图3.103.10所示为所示为“半退化三线型半退化三线型”恢复力模型示意图。当计算地震恢复力模型示意图。当计算地震剪力剪力
27、 P P开裂强度开裂强度P Px x时，加载及卸载刚度均取时，加载及卸载刚度均取k k1 1，当计算地震剪，当计算地震剪力力P Px xPPPPy y时，加载刚度取时，加载刚度取k k2 2，卸载刚度取，卸载刚度取k k1 1，并对计算得到的，并对计算得到的地震剪力进行修正，当计算所得地震剪力地震剪力进行修正，当计算所得地震剪力P Py y时，加载刚度取时，加载刚度取k k3 3，卸载刚度取，卸载刚度取k k1212，并对计算所得地震剪力进行修正。当反向变形，并对计算所得地震剪力进行修正。当反向变形时，加载、卸载刚度按类似原则确定。时，加载、卸载刚度按类似原则确定。建筑结构抗震作业 思考题思考题 结结构构抗抗震震计计算算有有几几种种方方法法？分分别在什么情况下适用？别在什么情况下适用？解解释释地地震震反反应应谱谱与与设设计计反反应应谱谱之之间的关系。间的关系。