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1、要点梳理要点梳理1.1.简单的逻辑联结词简单的逻辑联结词 （1 1）命题中的）命题中的“_”“_”、“_”“_”、“_”“_”叫做逻辑叫做逻辑 联结词联结词.1.2 1.2 简简易易逻辑及充逻辑及充要条要条件件基础基础知识知识 自主自主学习学习或或且且非非（2 2）用来判断复合命题的真假的真值表：）用来判断复合命题的真假的真值表：p pq q真真真真假假假假_真真_假假_假假真真假假假假真真_真真假假假假真真真真假假_假假_真真_假假假假假假真真真真假假_真真_真真_真真真真假假真真假假真真真真假假假假真真真真假假假假2.2.四种命题及其关系四种命题及其关系（1 1）四种命题）四种命题命题命题
2、表述形式表述形式原命题原命题若若p p，则，则q q逆命题逆命题_否命题否命题_逆否命题逆否命题_若若q q,则则p p（2 2）四种命题间的逆否关系）四种命题间的逆否关系 (3)(3)四种命题的真假关系四种命题的真假关系 两个命题互为逆否命题，它们有两个命题互为逆否命题，它们有_的真假性的真假性;两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假 性性_._.3.3.充分条件与必要条件充分条件与必要条件(1)(1)如果如果p p q q,则则p p是是q q的的_,_,q q是是p p的的_;_;(2)(2)如果如果p pq q,q qp p,则则p p是是
3、q q的的_._.相同相同没有关系没有关系充分条件充分条件必要条件必要条件充要条件充要条件基础自测基础自测1.1.下列语句是命题的是下列语句是命题的是 （）求证求证 是无理数；是无理数；x x2 2+4+4x x+40+40；你是高一的学生吗？你是高一的学生吗？一个正数不是素数就是合数；一个正数不是素数就是合数；若若x xR R，则，则x x2 2+4+4x x+70.+70.A.B.C.D.A.B.C.D.解析解析 不是命题，不是命题，是祈使句，是祈使句，是疑问句是疑问句.而而 是命题，其中是命题，其中是假命题，如正数是假命题，如正数 既不是既不是 素数也不是合数，素数也不是合数，是真命题，
4、是真命题，x x2 2+4+4x x+4=(+4=(x x+2)+2)2 200恒成立，恒成立，x x2 2+4+4x x+7=(+7=(x x+2)+2)2 2+30+30恒成立恒成立.答案答案 C 2.2.命题命题“若若x x2 2 y y2 2，则，则x x y y”的逆否命题是的逆否命题是 （）A.“A.“若若x x y y，则，则x x2 2 y y,则则x x2 2 y y2 2”C.“C.“若若x xy y，则，则x x2 2y y2 2”D.“D.“若若x xy y,则则x x2 2y y2 2”C3.3.(2009(2009江西文江西文,1),1)下列命题是真命题的为（下列命
5、题是真命题的为（）A.A.B.B.若若x x2 2=1,=1,则则x x=1=1 C.C.若若x x=y y,则则 D.D.若若x x y y,则则x x2 2 d d,则则 “a a b b”是是“a a-c c b b-d d”的的 （）A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.C.充要条件充要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 c c d d,-,-c c-b b,a a-c c与与b b-d d的大小无法比较；的大小无法比较；当当a a-c c b b-d d成立时，假设成立时，假设a ab b,-,-c c-
6、d d,a a-c c b b.综上可知，综上可知，“a a b b”是是“a a-c c b b-d d”的必要不充分的必要不充分 条件条件.B题型一题型一 命题的关系及命题真假的判断命题的关系及命题真假的判断【例例1 1】分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否 命题，并判断它们的真假命题，并判断它们的真假.（1 1）面积相等的两个三角形是全等三角形）面积相等的两个三角形是全等三角形.（2 2）若）若q q1,1,则方程则方程x x2 2+2+2x x+q q=0=0有实根有实根.（3 3）若）若x x2 2+y y2 2=0=0，则实数，则实数x x、
7、y y全为零全为零.题题型分类型分类 深度深度剖剖析析写成写成“若若p p，则 则q q”的形的形式式写出逆命写出逆命题、题、否命否命题、题、逆否命逆否命题题判判断断真真假假思维启迪思维启迪解解 （1 1）逆命题：全等三角形的面积相等）逆命题：全等三角形的面积相等,真命题真命题.否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题真命题.逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题题.(2)(2)逆命题：若方程逆命题：若方程x x2 2+2+2x x+q q=0=0有实根有实根,则则q q1,b b
8、+d d,q q:a a b b且且c c d d B.B.p p:a a1,1,b b1,1,q q:f f(x x)=)=a ax x-b b(a a0,0,且且a a1)1)的图象不过的图象不过 第二象限第二象限 C.C.p p:x x=1=1，q q:x x2 2=x x D.D.p p:a a1,1,q q:f f(x x)=log)=loga ax x(a a0,0,且且a a1)1)在（在（0,+0,+）上）上 为增函数为增函数 解析解析 a a b b,c c d d a a+c c b b+d d，而，而a a+c c b b+d d却不一定却不一定 推出推出a a b b,
9、c c d d.故故A A中中p p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件.B.B中中,当当a a1,1,b b11时，函数时，函数f f(x x)=)=a ax x-b b不过第二象限不过第二象限,当当f f(x x)=)=a ax x-b b不过第二象限时，有不过第二象限时，有a a1,1,b b1.1.故故B B中中p p是是q q的充分不的充分不必要条件必要条件.C.C中，因为中，因为x x=1=1时有时有x x2 2=x x，但，但x x2 2=x x时不一定有时不一定有x x=1=1，故，故C C中中p p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件.D.D中中p p是是q q的
10、充要条的充要条件件.答案答案 A题型三题型三 用用“或或”、“且且”、“非非”联结简单命联结简单命 题并判断其真假题并判断其真假【例例3 3】写出由下列各组命题构成的写出由下列各组命题构成的“p p或或q q”“p p且且q q”、“p p”形式的复合命题，并判断形式的复合命题，并判断 真假真假.（1 1）p p:1:1是质数；是质数；q q：1 1是方程是方程x x2 2+2+2x x-3=0-3=0的根；的根；（2 2）p p:平行四边形的对角线相等；平行四边形的对角线相等；q q：平行四边：平行四边 形的对角线互相垂直；形的对角线互相垂直；（3 3）p p：00；q q：x x|x x2
11、 2-3-3x x-50-50 R R；（4 4）p p：5555；q q：2727不是质数不是质数.(1)(1)利利用用“或或”、“且且”、“非非”把把 两个命两个命题题联结成新命联结成新命题题；(2)(2)根据命根据命题题p p和命和命题题q q的的真真假假判判断复合命断复合命题题的的真真假假.思维启迪思维启迪解解 （1 1）p p为假命题，为假命题，q q为真命题为真命题.p p或或q q:1:1是质数或是方程是质数或是方程x x2 2+2+2x x-3=0-3=0的根的根.真命题真命题.p p且且q q:1:1既是质数又是方程既是质数又是方程x x2 2+2+2x x-3=0-3=0的
12、根的根.假命题假命题.p p:1:1不是质数不是质数.真命题真命题.（2 2）p p为假命题，为假命题，q q为假命题为假命题.p p或或q q:平行四边形的对角线相等或互相垂直平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题假命题.p p且且q q:平行四边形的对角线相等且互相垂直平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题假命题.p p:有些平行四边形的对角线不相等有些平行四边形的对角线不相等.真命题真命题.（3 3）00，p p为假命题，为假命题，q q为真命题为真命题.p p或或q q：00或或 x x|x x2 2-3-3x x-50-50 R R,真命题，真命题，p p且且q q：00且且 x
13、 x|x x2 2-3-3x x-50-5555，假命题，假命题.“p p或或q q”、“p p且且q q”、“p p”形形式式命命题真题真假的假的判判断步断步骤骤：（1 1）确确定命定命题题的构成形的构成形式式；（2 2）判判断断其中其中命命题题p p、q q的的真真假；假；（3 3）确确定定“p p或或q q”、“p p且且q q”、“p p”形形式式命命题题的的真真假假.探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 写出由下列各组命题构成的写出由下列各组命题构成的“p p且且q q”“p p或或q q”“”“p p”形式的复合命题，并判断真假形式的复合命题，并判断真假.(1)(1)p p:66
14、,:66,q q:6=6.:6=6.(2)(2)p p：函数：函数y y=x x2 2+x x+2+2的图象与的图象与x x轴没有公共点轴没有公共点.q q:方程方程x x2 2+x x+2=0+2=0没有实根没有实根.解解 （1 1）p p且且q q：6666且且6=66=6，假命题，假命题.p p或或q q：6666或或6=66=6，真命题，真命题.p p：6666，真命题，真命题.（2 2）p p且且q q：函数：函数y y=x x2 2+x x+2+2的图象与的图象与x x轴没有公共轴没有公共 点，且方程点，且方程x x2 2+x x+2=0+2=0没有实根，真命题没有实根，真命题.p
15、 p或或q q：函数：函数y y=x x2 2+x x+2+2的图象与的图象与x x轴没有公共点，或轴没有公共点，或 方程方程x x2 2+x x+2=0+2=0没有实根，真命题没有实根，真命题.p p：函数：函数y y=x x2 2+x x+2+2的图象与的图象与x x轴有公共点，假命题轴有公共点，假命题.题型四题型四 充要条件的证明充要条件的证明 【例例4 4】（1212分）求证方程分）求证方程axax2 2+2+2x x+1=0+1=0有且只有一个有且只有一个 负数根的充要条件为负数根的充要条件为a a00或或a a=1.=1.（1 1）注意讨论注意讨论a a的不同的不同取值取值情情况况
16、；（2 2）利）利用用根的根的判判别别式式求求a a的的取值取值范围范围.解题示范解题示范证明证明 充分性：充分性：当当a a=0=0时，方程变为时，方程变为2 2x x+1=0+1=0，其根为，其根为 方程只有一负根方程只有一负根.2 2分分 当当a a=1=1时，方程为时，方程为x x2 2+2+2x x+1=0+1=0，其根为，其根为x x=-1,=-1,方程只有一负根方程只有一负根.4 4分分 当当a a00)0，方程有两个不相等的根，方程有两个不相等的根，思维启迪思维启迪证明证明 充分性：充分性：当当a a=0=0时，方程变为时，方程变为2 2x x+1=0+1=0，其根为，其根为
17、方程只有一负根方程只有一负根.2 2分分 当当a a=1=1时，方程为时，方程为x x2 2+2+2x x+1=0+1=0，其根为，其根为x x=-1,=-1,方程只有一负根方程只有一负根.4 4分分 当当a a00)0，方程有两个不相等的根，方程有两个不相等的根，且且 0|这个条件是其充分条件这个条件是其充分条件 吗？为什么？吗？为什么？证明证明 设设x x2 2+axax+1=0+1=0的两实根为的两实根为x x1 1,x x2 2,则平方和大于则平方和大于3 3的等价条件是的等价条件是|a a|这个条件是必要条件但不是充分条件这个条件是必要条件但不是充分条件.思思想方法想方法 感悟感悟提
18、提高高1.1.当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时,必必 须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并 列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其 中一个（或中一个（或n n个）作为大前提个）作为大前提.2.2.数学中的定义、公理、公式、定理都是命题数学中的定义、公理、公式、定理都是命题,但命但命 题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都题与定理是有区别的；命题有真假之分，而定理都 是真的是真的.方法与技巧方法与技巧3.3.命题的充要关系的判断方法命题的充要
19、关系的判断方法(1)(1)定义法：直接判断若定义法：直接判断若“p p则则q”q”，“若若q q则则p”p”的真假的真假.(2)(2)等价法：即利用等价法：即利用 的等价关系，对的等价关系，对 于条件或结论是否定式的命题于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法一般运用等价法.(3)(3)利用集合间的包含关系判断利用集合间的包含关系判断:若若A AB B,则则A A是是B B的的 充分条件或充分条件或B B是是A A的必要条件的必要条件;若若A A=B B,则则A A是是B B的充要的充要 条件条件.4.4.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下
20、：下：正面正面词语词语等于等于(=)(=)大于大于()()小于小于()(00且且 b b0”0”是是“a a+b b00且且abab0”0”的的 （）A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 当当a a00且且b b00时，一定有时，一定有a a+b b00且且abab0.0.反之，反之，当当a a+b b00且且abab00时，一定有时，一定有a a0,0,b b0.0.故故“a a00且且b b0”0”是是“a a+b b00且且abab0”0”的充要条件
21、的充要条件.C3.3.（20082008广东文，广东文，8 8）命题命题“若函数若函数f f(x x)=log)=loga ax x (a a0,0,a a1)1)在其定义域内是减函数，则在其定义域内是减函数，则logloga a20”20,0,a a1)1)在其定在其定 义域内不是减函数义域内不是减函数 B.B.若若logloga a2020,0,a a1)1)在其定在其定 义域内不是减函数义域内不是减函数 C.C.若若logloga a2020，则函数，则函数f f(x x)=log)=loga ax x(a a0,0,a a1)1)在其定在其定 义域内是减函数义域内是减函数 D.D.若若
22、logloga a20,20,0,a a1)1)在其定义在其定义 域内是减函数域内是减函数 解析解析 由互为逆否命题的关系可知由互为逆否命题的关系可知,原命题的逆否命原命题的逆否命 题为：若题为：若logloga a2020，则函数，则函数f f（x x）=log=loga ax x(a a0,0,a a1)1)在其定义域内不是减函数在其定义域内不是减函数.答案答案 A A4.4.已知已知A A=x x|x x-1|1,-1|1,x xR R，B B=x x|log|log2 2x x1,1,x xRR，则则x xA A是是x xB B的的 （）A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必
23、要必要不不充分条件充分条件 C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 A A=x x|x x22或或x x00，B B=x x|x x22，x xA xA xB B，但，但x xB B x xA A.B5.5.（20082008广东理，广东理，6 6）已知命题已知命题p p：所有有理数都是：所有有理数都是 实数；命题实数；命题q q：正数的对数都是负数，则下列命题：正数的对数都是负数，则下列命题 中为真命题的是中为真命题的是（）A.A.（p p）或）或q qB.B.p p且且q qC.(C.(p p)且且(q q)D.(D.(p p)或或(q
24、 q)解析解析 不难判断命题不难判断命题p p为真命题，命题为真命题，命题q q为假命题，为假命题，从而上述叙述中只有（从而上述叙述中只有（p p）或）或(q q)为真命题为真命题.D6.6.（20092009北京文，北京文，6 6）的的 （）A.A.充分而不必要条件充分而不必要条件 B.B.必要而不充分条件必要而不充分条件 C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 这说明这说明 外外 还可以取其他的值还可以取其他的值.所以所以 的充的充 分而不必要条件分而不必要条件.A二、填空题二、填空题 7.7.若若“x x2,52,5或或x xx x|
25、x x14”4”是假命题，则是假命题，则x x 的取值范围是的取值范围是_._.解析解析 x x2 2，5 5且且x x x x|x x144是真命题是真命题.由由 得得11x x2.0,0,若若 的必要不充分条件的必要不充分条件,求实数求实数m m的取值范围的取值范围.解解 p p：x x-2,10-2,10，q q：x x1-1-m m,1+,1+m m,m m0,0,的必要不充分条件，的必要不充分条件，p pq q且且q pq p.-2-2，10101-1-m m，1+1+m m.11.11.已知已知p p:|:|x x-3|2,-3|2,q q:(:(x x-m m+1)(+1)(x
26、x-m m-1)0,-1)0,若若 的充分而不必要条件，求实数的充分而不必要条件，求实数m m的取值的取值 范围范围.解解 由题意由题意p p:-2:-2x x-32,1-32,1x x5.5.:x x15.5.q q:m m-1-1x xm m+1,+1,:x x m m+1.+1.又又 的充分而不必要条件，的充分而不必要条件，12.12.求关于求关于x x的方程的方程axax2 2+2+2x x+1=0+1=0至少有一个负根的充要至少有一个负根的充要 条件条件.解解 （1 1）a a=0=0适合适合.（2 2）a a00时，显然方程没有零根时，显然方程没有零根.若方程有两异号实根，则若方程有两异号实根，则a a00；若方程有两个负的实根，则若方程有两个负的实根，则 必有必有 解得解得00a a1.1.综上知，若方程至少有一个负实根，则综上知，若方程至少有一个负实根，则a a1.1.反之，若反之，若a a1,1,则方程至少有一个负的实根，则方程至少有一个负的实根，因此，关于因此，关于x x的方程的方程axax2 2+2+2x x+1=0+1=0至少有一负的实根的至少有一负的实根的 充要条件是充要条件是a a1.1.返回返回