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1、第二章第二章 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.1 简谐振动简谐振动2.3 瑞利法瑞利法 2.2 能量法能量法2.4 等效刚度系数等效刚度系数2.5 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动l自由振动自由振动受初始扰动激发所致振动，没有受初始扰动激发所致振动，没有 外界能量补充。外界能量补充。l无阻尼自由振动无阻尼自由振动保守系统，机械能守恒，保守系统，机械能守恒，动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不动能与势能互相转换，恒稳振动，实际上不存在，但可作为某些振动的近似处理。存在，但可作为某些振动的近似处理。l（有）阻尼自由振动（有）阻尼自由振动非保守系统，衰减，非保守系统，衰减
2、，l本章讨论单自由度的自由振动。本章讨论单自由度的自由振动。2.1 线性系统的线性系统的自由振动自由振动 我们看一个简单的振动模型我们看一个简单的振动模型xxFkx0弹簧质量系统在光滑平面上的振动。弹簧质量系统在光滑平面上的振动。其中其中k刚性系数（产生单位位移刚性系数（产生单位位移所需的力）。加负号是因为：弹性恢所需的力）。加负号是因为：弹性恢复力永远与位移复力永远与位移x方向相反。（始终方向相反。（始终指向静平衡位置）指向静平衡位置）弹簧质量不计；质体弹簧质量不计；质体m m当作刚体（或当作刚体（或一个质点）；并假设弹簧的恢复力与一个质点）；并假设弹簧的恢复力与变形成正比，即：变形成正比，
3、即：Fk kx注：注：k的的单位单位N/m 或写成：或写成：其中常数其中常数C1 ，C2由初始条件确定。由初始条件确定。这里令这里令 上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。上式即一个自由度（线性）系统自由振动微分方程。这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：这是个二阶齐次线性常微分方程。它的通解是：由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：设：当设：当t t0 0时时 注注：这这正正是是圆圆频频率率相相同同的的两两个个简简谐谐振振动动，一一个个用用正正弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。弦、一个为余弦的合成情况，也是一个简谐振动。把初始条件代入上式，可得把初始条件代入上式，可得其中其中
4、讨论：讨论：1 1、单单自自由由度度系系统统的的自自由由振振动动是是个个简简谐谐振振动动，其其振振幅幅A A和和初初相相位位由由初初始始条条件件决决定定。从从这这里里可可以以看看到到自自由由振振动动最最初初发发生生的的原原因因，必必须须有有初初位位移移x0 0或或初初速速度度v v0 0或或两两者者都都有有才才有有振振动动xAsinAsin(nt t)，否否则则x0 0，无振动无振动（弧度（弧度/秒）秒）2 2、自由振动的圆频率（或角频率）、自由振动的圆频率（或角频率）频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有频率取决于系统的质量及弹簧刚度，因此是系统所固有的，与运动的初始条件无关（也解
5、释说，与系统是否发生振的，与运动的初始条件无关（也解释说，与系统是否发生振动无关）故把动无关）故把n称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一称为固有频率。一座建筑物，一台机器，一架飞机等等，一旦制造出来，其架飞机等等，一旦制造出来，其m，k就都是确定的了，于就都是确定的了，于是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，是固有频率也就确定了。固有频率是本课程最重要的概念，在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。在以后的学习及工作中经常要用到（例如防止共振）。固有频率的求法：固有频率的求法：a、b、其中其中 静伸长（静伸长（cm）g重力加速度（重力加速度（cm/s s2）Pc k 固
6、有（自然）频率及周期为固有（自然）频率及周期为 在在工工程程实实际际中中，一一些些比比较较简简单单的的振振动动系系统统可可以以抽抽象象为为上上述述单单自自由由度度质质量量-弹弹簧簧系系统统，而而具具有有相相同同的的动动力学方程和运动规律，书上有些具体例子。力学方程和运动规律，书上有些具体例子。例2.1-1 均匀悬臂梁长l，弯曲刚度EJ，重量不计，自由端附有重P=mg的物体，求物体的振动方程、频率.lmy解：由材料力学知：悬臂梁的作用等价于悬挂弹簧，设其刚度系数k，有物体的振动方程：固有频率：对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系对无阻尼自由振动的问题。由于没有阻尼，系统就没有能量损失，根据机
7、械能守恒定律，在整个统就没有能量损失，根据机械能守恒定律，在整个振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：振动过程中任一瞬时机械能保持为常数，即：2.2 能量法能量法U系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作系统由于弹性变形而储存势能，或由于重力作功而产生的重力势能。功而产生的重力势能。将将具具体体能能量量代代入入（2 2）式式，化化简简后后可可得得保保守守系系统统的的振动微分方程。振动微分方程。（1 1）式对时间求导：）式对时间求导：（1 1）其中其中 T系统中运动质量所具有的动能系统中运动质量所具有的动能（2 2）我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时势我们选取静平衡位置为第一瞬时位置，这时
8、势能为零，而动能达到最大值能为零，而动能达到最大值T Tmaxmax；T TmaxmaxU Umaxmax (2)(2)对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有对较复杂系统，用能量法建立微分方程和求固有频率，有时更为方便。频率，有时更为方便。当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，当质点离开平衡位置到最远点时，速度减为零，即动能为零，但势能达到最大值即动能为零，但势能达到最大值U Umaxmax，我们取之为，我们取之为第二瞬时位置。第二瞬时位置。由（由（1 1）式得：）式得：T Tmaxmax0 00 0U Umaxmax，即：即：例例2.2-1 2.2-1 一半径一半径r重重W的圆柱体在
9、一个半径为的圆柱体在一个半径为R R的圆柱面的圆柱面内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处内作无滑动滚动。假设在圆柱面最低处O O左右微幅摆动为左右微幅摆动为简谐振动，求摆动固有频率。简谐振动，求摆动固有频率。转动时，圆柱体绕质心轴转动，转动时，圆柱体绕质心轴转动，由于无滑动，角速度为：由于无滑动，角速度为：注：注：）解：设解：设为坐标，圆柱体同时作两为坐标，圆柱体同时作两种运动种运动移动和转动。移动时，移动和转动。移动时，圆柱体质心线位移为圆柱体质心线位移为00rR(R-r)线速度为线速度为 任一瞬时位置，圆柱体动能为：任一瞬时位置，圆柱体动能为：由由 注：注：为圆柱体绕质心的转动惯量为圆柱体绕
10、质心的转动惯量 圆柱体的势能以最低位置圆柱体的势能以最低位置O O为零，在转角为为零，在转角为的瞬时，圆的瞬时，圆柱体质心升高为柱体质心升高为(R(Rr)(1-cos),r)(1-cos),则则U Uw(R-r)(1-cos)w(R-r)(1-cos)得：得：对于任一瞬时若对于任一瞬时若 ，则对应无摆动，不是我们所求的。，则对应无摆动，不是我们所求的。于是必有括号内部分为零，又因微摆动，于是必有括号内部分为零，又因微摆动，sinsin，故有故有解（解（2 2）若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率若已知圆柱体的摆动为简谐，只要求固有频率n n，则设，则设 在最低点在最低点O O处势能为零，动
11、能最大处势能为零，动能最大 则则 在摆动到在摆动到maxmax位置时动能为零，势能最大位置时动能为零，势能最大 由由T TmaxmaxU Umaxmax 有：有：于是于是 则则 例例2.2-2 2.2-2 杆杆AB是无质量刚性杆，静平衡时水平，又是无质量刚性杆，静平衡时水平，又知知k0及尺寸及尺寸a，l，质量块，质量块m，求振动微分方程及周期。，求振动微分方程及周期。解法：解法：设刚性杆，向下有微小设刚性杆，向下有微小转角转角时，时，弹簧伸长弹簧伸长a,质量块的位移：质量块的位移：l系统的动能：系统的动能：系统的势能：系统的势能：由由 mBk0al质量块的速度：质量块的速度：得得 2.32.3
12、瑞利法瑞利法前面都假设弹簧的质量可以忽略不计，若弹簧质量较前面都假设弹簧的质量可以忽略不计，若弹簧质量较大，忽略它会导致频率偏高。大，忽略它会导致频率偏高。瑞利瑞利提出，用能量法对提出，用能量法对分布质量系统分布质量系统简化为一个单自简化为一个单自由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考由度系统，从而把弹簧分布质量对系统频率的影响考虑进去，得到相对准确的频率。虑进去，得到相对准确的频率。具体做法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振具体做法是先对具有分布质量的弹性元件假定一种振动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，计动形式，然后将无阻尼自由振动的简谐规律代入，计算其动能和势能，利用
13、能量法，即得到等效质量和固算其动能和势能，利用能量法，即得到等效质量和固有频率，这种近似计算方法称作有频率，这种近似计算方法称作瑞利法瑞利法。计算弹簧的等效质量计算弹簧的等效质量 设弹簧的长度为设弹簧的长度为l，假定弹簧的变形与离固定点假定弹簧的变形与离固定点其中其中m1 1=l为弹簧质量，则系统总动能为：为弹簧质量，则系统总动能为：单位长度质量为单位长度质量为，的距离的距离成正比，弹簧端点的位移为成正比，弹簧端点的位移为x。整个弹簧的动能整个弹簧的动能T T1 1：微元长度微元长度d d的动能：的动能：我们将弹簧的1/3质量定义为弹簧的等效质量。弹簧的势能与忽略弹簧质量的情形一样：由也可导出
14、固有频率。或设简谐振动：2.4 2.4 等效等效刚性系数刚性系数弹簧刚度系数弹簧刚度系数就是使弹簧产生变形所需要的就是使弹簧产生变形所需要的力力或或力矩力矩研究的振动方向不同，刚度系数也不同研究的振动方向不同，刚度系数也不同 B点沿点沿x方向施加力方向施加力F，位移，位移xB，则，则 等效刚度：等效刚度：任何弹性体都可以看成弹簧任何弹性体都可以看成弹簧 设指定方向的位移为设指定方向的位移为x，所施加的力为，所施加的力为F，则等效刚度系数：，则等效刚度系数：B点沿点沿y方向施加力方向施加力P，位移，位移yB，则，则 B点沿点沿y方向的等效刚度：方向的等效刚度：亦称梁的亦称梁的弯曲弯曲刚度刚度 B
15、点绕点绕x轴转动方向施加扭矩轴转动方向施加扭矩M，轴产生转角轴产生转角，则则 B端：端：B点点绕绕x轴转动方向轴转动方向的等效刚度：的等效刚度：亦称轴的亦称轴的扭转扭转刚度刚度 几个弹性元件联合使用时的等效刚度：几个弹性元件联合使用时的等效刚度：固有频率固有频率（等效刚度）（等效刚度）Pk1 k2 两弹簧串联两弹簧串联 n个弹簧串联个弹簧串联 两弹簧并联两弹簧并联(两弹簧伸长相同两弹簧伸长相同)解：重量解：重量P P分配在两个弹簧上，分配在两个弹簧上，分别为分别为P1P1，P2P2，则，则 等效刚度等效刚度n个弹簧并联：个弹簧并联：Pk1 k2 前面讲的无阻尼自由振动是一种理想状态，按前面讲的
16、无阻尼自由振动是一种理想状态，按照阻尼为零的假设，遵循机械能守恒定律，振动中照阻尼为零的假设，遵循机械能守恒定律，振动中没有能量消耗，因而可以无休止地振动下去。但事没有能量消耗，因而可以无休止地振动下去。但事实上阻尼总是存在的，它使振动能量不断减少，于实上阻尼总是存在的，它使振动能量不断减少，于是自由振动逐渐衰减直至停止。我们首先讲阻尼的是自由振动逐渐衰减直至停止。我们首先讲阻尼的类型。类型。一、阻尼的分类一、阻尼的分类 2.5 有阻尼系统的自由振动有阻尼系统的自由振动1 1、粘性阻尼、粘性阻尼 2 2、材料阻尼、材料阻尼 3 3、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼 1 1、粘性阻尼、粘性阻尼 其中其中c
17、粘性阻尼系数粘性阻尼系数 当质量在磁场或流体质中振动时，阻尼力一般表当质量在磁场或流体质中振动时，阻尼力一般表现速度的函数：现速度的函数：若物体以若物体以较较大速度在空气或液体中运大速度在空气或液体中运动动，阻尼与，阻尼与速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介速度平方成正比。但当物体以低速度在粘性介质质中运中运动动（包括两接触面之（包括两接触面之间间有有润润滑滑剂时剂时）可以）可以认为认为阻尼与阻尼与速度成正比，即：速度成正比，即：这这种阻尼种阻尼(由于阻尼力与速度成正比由于阻尼力与速度成正比)又称又称为线为线性性阻尼（阻尼（这这种阻尼与介种阻尼与介质质的粘性有关，故称的粘性有关，故称为为粘
18、性阻尼）粘性阻尼）。它使。它使计计算大算大为简为简化化,我我们们将着重研究将着重研究这这种情况，种情况，对对于非粘性阻尼也得引于非粘性阻尼也得引进进等效等效粘性阻尼系数粘性阻尼系数计计算。算。2 2、材料阻尼、材料阻尼 又称又称为结为结构阻尼。在振构阻尼。在振动过动过程中物程中物体体结结构材料本身的内摩擦而引起的阻力。构材料本身的内摩擦而引起的阻力。在完全在完全弹弹性材料内，性材料内，应变应变与与应应力的相位力的相位相同，所以在反复受力相同，所以在反复受力过过程中没有能量程中没有能量损损失。而粘失。而粘弹弹性材料内，性材料内，应变应变滞后于滞后于 这这就就是是通通常常说说的的摩摩擦擦力力，出出
19、现现在在干干摩摩擦擦之之间间。按按库库仑仑摩摩擦擦定定律律：R RN N 其其中中摩摩擦擦系系数数，由由接触面的材料和粗糙程度决定。接触面的材料和粗糙程度决定。3 3、干摩擦阻尼、干摩擦阻尼 0加载卸载应力应力，在反复受力，在反复受力过过程中程中形形成滞后回成滞后回线线，因此要耗散，因此要耗散能量，而成能量，而成为为振振动动的阻尼。的阻尼。二、阻尼振动微分方程二、阻尼振动微分方程 令令 按牛按牛顿顿第二定律：第二定律：则则得得标标准型准型单单自由度阻尼自由振自由度阻尼自由振动动的微分方程的微分方程 （1 1）阻尼比（无量纲数）阻尼比（无量纲数）其中其中c c阻尼系数（阻尼系数（单单位：位：N
20、Ns/ms/m）xkc0mkx 现在求解方程（现在求解方程（1 1），这是一个二阶常系数齐），这是一个二阶常系数齐次微分方程。下面求出方程的通解。次微分方程。下面求出方程的通解。我们先设我们先设 x=e=eptpt （p p常数）常数）那么，那么，代入方程（代入方程（1 1）得：）得：但但e eptpt00，故有：，故有：（2 2）特征方程特征方程 可见，若可见，若p p是二次代数方程（是二次代数方程（2 2）的一个根，则）的一个根，则e eptpt能能使微分方程（使微分方程（1 1）满足，也就是说，是它的一个特解。）满足，也就是说，是它的一个特解。代数方程（代数方程（2 2）叫做微分方程（）
21、叫做微分方程（1 1）的特征方程。）的特征方程。特征方程（特征方程（2 2）的两个根是：）的两个根是：可能有三种情况，我们分别讨论之。可能有三种情况，我们分别讨论之。d是是 阻尼自由振动的角频率。阻尼自由振动的角频率。1 1、当当 （欠阻尼状（欠阻尼状态态），得两个复数根：），得两个复数根：因此，微分方程（因此，微分方程（1 1）的两个特解是）的两个特解是 由线性齐次微分方程的性质，由线性齐次微分方程的性质，x1 1与与x2 2的线性组的线性组合也是方程（合也是方程（1 1）的解，故）的解，故 注：做此变换的目的是把微分方程的解写成实注：做此变换的目的是把微分方程的解写成实数形式数形式 这里，
22、我们利用了欧拉公式这里，我们利用了欧拉公式 很很容容易易看看出出x1 1与与x2 2线线性性无无关关，由由齐齐次次线线性性微微分分方方程程通通解解定定律律，x1 1与与x2 2的的线线性性组组合合即即方方程程（1 1）的通解，故：）的通解，故：（3 3）（3 3）其中其中C，D为待定常数，由初始条件为待定常数，由初始条件 给给出出 （3 3）式即单自由度系统有阻尼振动的位移通解。）式即单自由度系统有阻尼振动的位移通解。（33）其中其中（3 3）是有阻尼振动的位移通解另一种形式。）是有阻尼振动的位移通解另一种形式。其振幅其振幅随着时间随着时间t t的增的增长而衰减。长而衰减。A1A2A3Tdtx
23、由于阻尼的存在由于阻尼的存在对对于小阻尼，于小阻尼，周期略有增大周期略有增大为为了了表表示示振振幅幅衰衰减减的的快快慢慢，取取任任意意两两个个相相邻振幅之比邻振幅之比 A1A2A3Tdtx以初始条件代入，得以初始条件代入，得 2 2、当当 (临界阻尼状态临界阻尼状态)，得，得两个相两个相同的同的实实根：根：p p1 1=p=p2 2=-=-n n ，即方程之解，即方程之解为为：0tx这是一个单调衰减运动（随着这是一个单调衰减运动（随着t t增大，增大，x越来越小，趋于零），越来越小，趋于零），右图是不同初始条件下的位移时程图。右图是不同初始条件下的位移时程图。它们不是真正意义的振动。它们不是真
24、正意义的振动。式中式中e的指数分别为的指数分别为 它们都是负数它们都是负数 3 3、当当 （过过阻阻尼尼状状态态），得得两两个不同负根，方程解为：个不同负根，方程解为：因此这里因此这里xx(t)(t)也是一个单调衰减运动，也是一个单调衰减运动，而不是真正意义的振动。而不是真正意义的振动。0tx解：解：例例2.5-1 2.5-1 为为车车辆辆设设计计小小阻阻尼尼减减震震器器，要要求求振振动动1 1周周后后的的振振幅幅减减少少到到第第一一幅幅值值的的1/16.1/16.已已知知车车辆辆质质量量m=500kg=500kg，阻阻尼尼振振动动周周期期Td=1s=1s，试试求求减减震震器器的的刚刚度度系系数数k和阻尼系数和阻尼系数c。所以所以