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1、主讲人：周晓军主讲人：周晓军 教授、博导教授、博导联系电话：联系电话：Email:办公地点：办公地点：浙江大学玉泉校区教浙江大学玉泉校区教1104机机 械械 工工 程程 测测 量量 学学 测试技术基础测试技术基础第二周授课内容第二周授课内容 瞬变信号与连续频谱瞬变信号与连续频谱(频谱密度函数）频谱密度函数）1.Fourier变换的定义变换的定义 2.Fourier变换的性质变换的性质 3.几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱0tx(t)E例：求图1和图2周期方波的频谱。解：对于图1的信号，其周期为 ，可得x(t)0tE图1图2进一步为：同理可得图2信号的频谱表示式为：00图1信号的频谱图2信号
2、的频谱两点重要的结论：当 ，即信号从周期信号转换为瞬态非周期信号时，频谱趋于连续。因此，瞬态非周期信号的频谱应该是连续的。当 ，即信号从周期信号转换为瞬态非周期信号时，。因此，无法用于描述瞬态非周期信号。对对 取极值，得频谱密度取极值，得频谱密度函数为：函数为：即为即为x(t)的傅里叶正变换。的傅里叶正变换。0Et频谱密度函数的图示解释：根据周期信号的复指数基展开，有根据周期信号的复指数基展开，有取取那么，得到傅里叶反变换为那么，得到傅里叶反变换为因此，傅里叶变换对为因此，傅里叶变换对为正变换正变换反变换反变换可记为可记为由于由于，因而有，因而有，上述傅里叶，上述傅里叶变换对可表示为：变换对可
3、表示为：正变换正变换反变换反变换可记为可记为其中其中是一个复数，可表示为：存在以下关系存在以下关系由于由于对对于于实实信号信号 ，有，有 因此，因此，对对于于实实信号幅信号幅频谱为频谱为偶函数，相偶函数，相频谱为频谱为奇函数。奇函数。傅里叶变换的存在的充分条件是在无限区间上绝对可傅里叶变换的存在的充分条件是在无限区间上绝对可积，即积，即 但是，自从引入广义函数概念以后，在傅里叶变换但是，自从引入广义函数概念以后，在傅里叶变换中允许奇异函数（如冲击函数）存在，这样使许多并不中允许奇异函数（如冲击函数）存在，这样使许多并不绝对可积的函数（如阶跃函数、符号函数及周期函数等）绝对可积的函数（如阶跃函数
4、、符号函数及周期函数等），其频谱函数有了确定的表示式。，其频谱函数有了确定的表示式。例例1 1 求矩形窗函数的频谱求矩形窗函数的频谱 解：解：应用欧拉公式应用欧拉公式E E-T/2-T/2T/2T/2t tw w(t t)0 0W(f)TETE0 01 1 T T1 1 T Tf f3 3 T T3 3 T T2 2 T T2 2 T T(f f)0 01 1 T T2 2 T T3 3 T T1 1 T T2 2 T T3 3 T TW(f)TETE0 01 1 T T1 1 T Tf f3 3 T T3 3 T T2 2 T T2 2 T T-幅频谱相频谱例例2 2 求下列函数的频谱求下列
5、函数的频谱 1 1t tx x(t t)0 0解：解：1/a1/af fX X(f f)0 0-1-1f f0 0例例3 3 求符号函数的频谱求符号函数的频谱 解：符号函数是例解：符号函数是例2当当a 0时的极限状态，因此时的极限状态，因此1 1t tsgnsgn(t t)0 0-1-1问题：如何求得阶跃函数的频谱？问题：如何求得阶跃函数的频谱？1 1）奇偶虚）奇偶虚实性性 若若x(t)为实偶函数，则为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数为实偶函数 若若x(t)为实奇函数，则为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数为虚奇函数 若若x(t)为虚偶函数，则为虚偶函数，则ReX
6、(f)=0，X(f)为虚偶函数为虚偶函数 若若x(t)为虚奇函数，则为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数为实奇函数2 2）线性叠加性性叠加性 如果如果那么那么因此，因此，Fourier变换是一种线性变换。变换是一种线性变换。证明：证明：3）对称性）对称性 如果如果则有则有IFT定义定义 互换互换t和和f用用-t代代t这是傅里叶变换的定义，因此上述结论得到验证这是傅里叶变换的定义，因此上述结论得到验证即即对称性举例对称性举例 利用该性质，可根据已知的傅里叶变换对推出未利用该性质，可根据已知的傅里叶变换对推出未知的傅里叶变换对。知的傅里叶变换对。4)4)时间尺度改变特性时间尺度改变特
7、性 如果如果则有则有得证得证证明证明尺度改变性质举例尺度改变性质举例 时间尺度改变特性，又称为时间展缩原理时间尺度改变特性，又称为时间展缩原理a)k=1b)k=0.5幅幅值增大增大频带变窄窄c)k=2幅幅值减小减小频带变宽5）时移和频移性质）时移和频移性质如果如果则有则有时移性质时移性质：频移性质频移性质：证明：证明：此此性性质质表表明明，在在时时域域中中信信号号沿沿时时间间轴轴平平移移一一个个常常值值时时，频频谱谱函函数数将将乘乘因因子子，即即只只改改变变相相频频谱谱，不不会会改改变幅频谱。变幅频谱。6）卷积性质（又称为褶积）卷积性质（又称为褶积）u卷积定义：卷积定义：u运算步骤：运算步骤：
8、反褶，即反褶，即平移，即平移，即相乘，即相乘，即积分，即积分，即u图形解释图形解释 1 10 01 1-1/2-1/21 10 0-2-21 10 02 21 10 0 信号信号 反反褶褶 平移平移1 10 01 1-1/2-1/21 10 01 1-1/2-1/2 相乘相乘和和积分积分 1 10 01 1-1/2-1/21 10 01 1-1/2-1/21 10 01 1-1/2-1/2 卷积结果卷积结果15/1615/160 01 1-1/2-1/22 23 3卷积起到钝化作用；卷积起到钝化作用；计算相当繁琐。计算相当繁琐。u系统与信号的关系系统与信号的关系 对于一个线性系统，其系统函数为
9、对于一个线性系统，其系统函数为h(t)，那么，输那么，输入信号入信号x(t)和输出信号和输出信号y(t)之间存在一个卷积关系，即之间存在一个卷积关系，即h(t)x(t)y(t)卷积性质可表述为卷积性质可表述为：（这个性质很重要）：（这个性质很重要）卷积一般难于计算，应用傅里叶变换的性质，可卷积一般难于计算，应用傅里叶变换的性质，可以将之化为乘积，然后再做反变换。以将之化为乘积，然后再做反变换。u卷积性质卷积性质7)微分与积分性质微分与积分性质同同理理若若则则证明证明即即微分性质微分性质积分性质积分性质傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 积积 分分时时 移移 频域微分频域微分尺度变换尺度变
10、换 时域微分时域微分对称性对称性 x1(t)x2(t)频域卷积频域卷积线性叠加线性叠加 x1(t)x2(t)时域卷积时域卷积实奇函数实奇函数虚奇函数虚奇函数 共共 轭轭虚偶函数虚偶函数虚偶函数虚偶函数 翻翻 转转 虚奇函数虚奇函数实奇函数实奇函数 频频 移移 实偶函数实偶函数实偶函数实偶函数函数的函数的奇偶虚实奇偶虚实性性频频 域域时时 域域性性 质质频频 域域时时 域域性性 质质3.3.几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱3.1 3.1 单位脉冲函数单位脉冲函数(t t)函数函数)的频谱的频谱 函数定义函数定义其面积（强度）：其面积（强度）：0 0t t(t t)/2/20 01/1/s s
11、(t t)t t 函数的采样性质函数的采样性质 卷积性卷积性 函数与其它信号的卷积是卷积中最为简单的一函数与其它信号的卷积是卷积中最为简单的一类形式。把类形式。把 函数的卷积性质描述为：函数的卷积性质描述为：函数与其它函数的卷积示例函数与其它函数的卷积示例 函数的频谱函数的频谱 对对(t t)取傅里叶变换取傅里叶变换频谱特点：频谱特点：有无限宽广的频谱；有无限宽广的频谱；在所有的频段上都是等强度的。在所有的频段上都是等强度的。均匀谱均匀谱白噪声白噪声函数是偶函数函数是偶函数 利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对叶变换对 对称性对称性频
12、移性质频移性质时移性质时移性质（各频率成分分别移相（各频率成分分别移相2 2 ftft0 0）(t t t t0 0)(f f)（单位脉冲谱线）（单位脉冲谱线）1 1（幅值为（幅值为1 1的直流量）的直流量）1 1（均匀频谱密度函数）（均匀频谱密度函数）(t t)（单位瞬时脉冲）（单位瞬时脉冲）频频 域域 时时 域域 常用的常用的(t t)函数的性质函数的性质3.2 正余弦函数的频谱密度函数正余弦函数的频谱密度函数 正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接正余弦函数不满足绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。对之进行傅氏变换。由欧拉公式知：由欧拉公式知：00ttsin2 f0tcos2 f0t
13、1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f03.3 3.3 等间隔周期单位脉冲序列（梳状函数）的频谱等间隔周期单位脉冲序列（梳状函数）的频谱 其中其中Ts为周期；为周期；n为整数。为整数。周期单位脉冲序列（梳状函数）为周期函数。因周期单位脉冲序列（梳状函数）为周期函数。因此可以表示成傅氏级数此可以表示成傅氏级数因为在（因为在（-Ts/2，Ts/2）区间内只有一个）区间内只有一个 函数函数(t)，故，故式中式中从而从而 所以所以 时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列；时域周期单位脉冲序列的频谱也是周期脉冲序列；时域周期为时域周期为Ts，则频域周期为，则频域周期为1/Ts；时域脉冲强度为时域脉冲强度为1，频域中的脉冲强度为为，频域中的脉冲强度为为1/Ts。.comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts.COMB(f,fs)1/Ts01Ts2Ts1Ts2Ts作业：P40:1-3;1-4;1-5;1-7;1-3;1-4;1-5;1-7;The EndThe EndBye-Bye!