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1、数学补充一1.变量：变量：在某个现象或过程中本身取值会发生变化的量在某个现象或过程中本身取值会发生变化的量一、变量、常量和函数一、变量、常量和函数2.常量：常量：在某个现象或过程中本身取值保持一定的量在某个现象或过程中本身取值保持一定的量3.函数：函数：x,y为两个相互联系的变量，若在为两个相互联系的变量，若在x的定义域内的的定义域内的 任意一个任意一个x值都有一个值都有一个y值与之对应，则称值与之对应，则称y是是x的函数的函数自变量自变量x的变化范围的变化范围函数函数f(x)的定义域的定义域所有所有y的取值的取值函数函数y的值域的值域1 微积分初步微积分初步 幂函数幂函数 y=xn(n为任意
2、实数为任意实数)三角函数三角函数 y=sinx,cosx,tgx,ctgx等等 指数函数指数函数 y=ex,ax 对数函数对数函数 y=logax,lnx 反三角函数反三角函数 y=arcsin x,arccos x 等等4.基本初等函数基本初等函数5.复合函数复合函数用基本初等函数复合而成的函数用基本初等函数复合而成的函数x=u2，u=cos，=t二、导数二、导数1 微分微分O1)1)自变量自变量自变量自变量 x x 的增量的增量的增量的增量:2)2)函数增量函数增量函数增量函数增量:3)3)平均变化率平均变化率平均变化率平均变化率:y和和 x之间满足什么关系之间满足什么关系?线性函数线性函
3、数线性函数线性函数其它函数的增量能否其它函数的增量能否写成类似的形式？写成类似的形式？抛物线函数抛物线函数抛物线函数抛物线函数含有高阶无穷小，其含有高阶无穷小，其它函数类似。它函数类似。正旋函数正旋函数正旋函数正旋函数e e 指数指数指数指数举例：举例：举例：举例：4)4)自变量微分自变量微分自变量微分自变量微分时自变量增量时自变量增量 x,改记成改记成 dx5)5)函数微分函数微分函数微分函数微分时相应的函数增量时相应的函数增量 y,记成记成 dyd dy y与与与与d dx x的关系的关系的关系的关系微分微分 忽略高阶无穷小忽略高阶无穷小补充补充补充补充数学上可以证明数学上可以证明,对无穷
4、小量对无穷小量dx,有有说明：符号说明：符号“d”的含义的含义微小的增量微小的增量例如：例如：dx、dm、dV微小量微小量例如：例如：dm、dV2 微商（导数）微商（导数）对对 y=f(x)，若，若 x 无限趋近某一数值无限趋近某一数值x0，f(x)则则无限趋近某一确定数值无限趋近某一确定数值a，则，则a就是函数就是函数f(x)在在x趋趋近近x0时的极限，记作：时的极限，记作：在在有函数值有函数值有函数值有函数值的情况下的情况下,极限就是极限就是函数值函数值函数值函数值;在在无函无函无函无函 数值数值数值数值的情况下的情况下,极限就显得格外重要了，例如：极限就显得格外重要了，例如：1)1)极限
5、极限极限极限 2)2)导数导数导数导数 OxyyxPQa.a.y y对对对对x x的平均变化率的平均变化率的平均变化率的平均变化率称作函数称作函数y=f(x)对自变量对自变量x的导数，的导数，b.b.y y对对对对x x的导数的导数的导数的导数 x0时时,的极限的极限定义为：定义为：等于等于f(x)曲线在曲线在x处切线的处切线的斜率斜率c.c.导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义导数的几何意义d.d.y y 对对对对 x x 的二阶导数的二阶导数的二阶导数的二阶导数导函数导函数 f(x)对对 x 的导数叫做的导数叫做 y 对对 x 的二阶导数，记的二阶导数，记作作例例例例 函数导数的几个
6、实例函数导数的几个实例函数导数的几个实例函数导数的几个实例3)3)复合函数的微商复合函数的微商复合函数的微商复合函数的微商链式法则链式法则:a.导数的基本运算法则导数的基本运算法则设设例例由数学归纳法由数学归纳法4)4)基本求导公式：基本求导公式：基本求导公式：基本求导公式：(1)(C)0，(2)(xn)nxn 1，(3)(sin x)cos x，(4)(cos x)sin x，(5)(tan x)sec2x，(6)(cot x)csc2x，(7)(sec x)sec x tan x，(8)(csc x)csc x cot x，(9)(ax)ax ln a，(10)(ex)ex，极大值或极小值
7、极大值或极小值?则由该点的二阶导数来确定则由该点的二阶导数来确定1)1)导数与极值导数与极值导数与极值导数与极值xyPOyxQM3 微商（导数）的应用微商（导数）的应用极大值点极大值点极小值点极小值点OxyyPxQMN拐点拐点定理定理1 1定义定义：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为限来确定未定式的值的方法称为洛必达洛必达(LHospital)(LHospital)法则法则。2 2 2 2）洛必达法则）洛必达法则）洛必达法则）洛必达法则例：例：例：求例：求三、不定积分三、不定积分若若 F(x)=f(x),则则 F(x
8、)+c=f(x),F(x)+c 就叫做就叫做 f(x)的原函数的原函数,有无穷多个；有无穷多个；函数函数 f(x)的所有原函数，就叫的所有原函数，就叫 f(x)的不定积分，的不定积分，记为：记为：1、原函数、原函数2、不定积分、不定积分f(x)被积函数被积函数x 积分变量积分变量积分符号积分符号C 积分常数积分常数3.不定积分的性质不定积分的性质(先导后积等于自身加上任意常数先导后积等于自身加上任意常数)(先积后导等于自身先积后导等于自身)例题例题（其实，不定积分（其实，不定积分就是导数的反运算）就是导数的反运算）4.不定积分的运算法则不定积分的运算法则1）函数的和的不定积分等各个函数的不定积
9、分的和，即函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即2）求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来，即可以提到积分号外面来，即3）若）若且且则则2 定积分定积分一、定积分一、定积分1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形曲边梯形曲边梯形曲边梯形是指在直角坐是指在直角坐标里标里 由由y y=f f(x x)曲线曲线曲线曲线与与x x=a a,x x=b b和和x x轴轴轴轴三条直线所围三条直线所围成的成的图形图形。思想：思想：思想：思想：整体整体分割分割小矩形小矩形求和得整体近似值求和得整体近似值。当分割无限细密时，所有当分割无限细
10、密时，所有小矩形面积之和的极限小矩形面积之和的极限就是就是曲边梯形面积曲边梯形面积的精确值。的精确值。Oxyxx+dxOxyxx+dx把把曲边梯形曲边梯形的底的底a,b分成分成n个小区间个小区间第第 i 个小曲边梯形的面积记为个小曲边梯形的面积记为小区间小区间的长度记为的长度记为把把n个小矩形总面积个小矩形总面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积2 函数函数f(x)在区间在区间a,b上的定积分上的定积分定积分的几何意义为曲边梯形面积定积分的几何意义为曲边梯形面积 设函数设函数 y=f(x)在区间在区间 a,b上连续，上连续，把把 a,b分成宽为分成宽为x的的 n个小区间，个小区间，当当 n 时，时，
11、的极限的极限叫函数叫函数 y=f(x)在区间在区间 a,b 上的上的定积分定积分，记作：记作：yxabxixi+xy=f(x)a,b积分区间积分区间积分号；积分号；被积函数；被积函数；被积表达式；被积表达式；积分变量；积分变量；积分的下限与上限。积分的下限与上限。说明说明定积分的几何意义：定积分的几何意义：定积分的几何意义：定积分的几何意义：在不同的实际问题中，积分在不同的实际问题中，积分可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，可以有完全不同的实际意义，但在几何图形上，它都表示由曲线它都表示由曲线 y y=f(x)、x轴轴及直线及直线x=a，x=b所围成的所围成的曲边梯形面积的代数和曲边梯形
12、面积的代数和。二、定积分的主要性质二、定积分的主要性质1、对调积分上下限，、对调积分上下限，定积分改变符号定积分改变符号2、被积函数中的常数因子、被积函数中的常数因子 可以提到积分符号外面可以提到积分符号外面3、两个函数的和或差在、两个函数的和或差在a,b上上 的定积分等于这两个函数分的定积分等于这两个函数分 别在别在a,b上定积分的和或上定积分的和或差差4、如果把区间、如果把区间a,b分成分成 a,c和和c,b则则三、牛顿三、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 设设F(x)为函数为函数f(x)在区间在区间 a,b 上的一个上的一个原函数原函数,即即 F(x)=)=f(x),),则则 通过不定积分计
13、算定积分！通过不定积分计算定积分！例例 已知：物体速度已知：物体速度其中其中v0，a是常数是常数求：求：0-t 时间内的路程时间内的路程四、定积分中值定理：四、定积分中值定理：如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续，上连续，则在积分区间则在积分区间a,b上上至少存在一个点至少存在一个点x x，使下式成立：使下式成立：f(x)dx f(x x)(b a)-积分中值公式积分中值公式 y=f(x)Ox y a b f(x x)f(x)dx =f(x x)(b a)例题例题 用定积分计算曲线长度用定积分计算曲线长度xdxdydlOyxy=f(x)作业作业P418/1（1）（）（2）（）（3）（）（4）3（1）（）（4）（）（5）（）（8）（）（9）数学知识数学知识